Trigonometrik formüller: kosinüs, sinüs ve çift açının tanjantı. Trigonometrik formüller: Çift açının kosinüsü, sinüsü ve tanjantı Çift açının sinüsü formülünün türetilmesi

Trigonometride birçok formülün türetilmesi ezberlemekten daha kolaydır. Çift açının kosinüsü harika bir formül! Dereceleri azaltmak için formüller ve yarım açılar için formüller elde etmenizi sağlar.

Yani çift açının kosinüsüne ve trigonometrik birime ihtiyacımız var:

Hatta benzerler: çift açılı kosinüs formülünde kosinüs ve sinüsün kareleri arasındaki farktır ve trigonometrik birimde bunların toplamıdır. Kosinüsü trigonometrik birimden ifade edersek:

ve bunu çift açının kosinüsüne koyarsak şunu elde ederiz:

Bu başka bir çift açılı kosinüs formülüdür:

Bu formül indirgeme formülünü elde etmenin anahtarıdır:

Yani sinüs derecesini azaltma formülü şöyledir:

İçinde alfa açısı yarı yarıya alfa açısıyla değiştirilirse ve iki alfa çift açısı bir alfa açısıyla değiştirilirse, sinüs için yarım açı formülünü elde ederiz:

Artık sinüsü trigonometrik birimden ifade edebiliriz:

Bu ifadeyi çift açılı kosinüs formülünde yerine koyalım:

Çift açının kosinüsü için başka bir formülümüz var:

Bu formül, kosinüsün gücünü ve kosinüsün yarım açısını azaltacak formülü bulmanın anahtarıdır.

Dolayısıyla kosinüs derecesini azaltma formülü şöyledir:

α'yı α/2 ile ve 2α'yı α ile değiştirirsek, kosinüsün yarı argümanının formülünü elde ederiz:

Teğet sinüsün kosinüse oranı olduğundan, tanjant formülü şöyledir:

Kotanjant kosinüsün sinüse oranıdır. Bu nedenle kotanjant formülü şöyledir:

Elbette trigonometrik ifadelerin basitleştirilmesi sürecinde her seferinde yarım açının formülünü çıkarmanın veya bir dereceyi azaltmanın bir anlamı yok. Önünüze formüllerin olduğu bir kağıt koymak çok daha kolaydır. Ve basitleştirme daha hızlı ilerleyecek ve görsel hafıza ezberlemeyi etkinleştirecek.

Ancak yine de bu formülleri birkaç kez türetmeye değer. O zaman sınav sırasında kopya kağıdı kullanmanın mümkün olmadığı durumlarda, ihtiyaç duyulması halinde kopya kağıdını kolayca alacağınızdan kesinlikle emin olacaksınız.

En Sık Sorulan Sorular

Verilen örneğe göre bir belgeye damga basmak mümkün müdür? Cevap Evet mümkün. Taranmış bir kopyayı veya kaliteli bir fotoğrafı e-posta adresimize gönderin, gerekli kopyayı oluşturalım.

Ne tür ödemeleri kabul ediyorsunuz? Cevap Diplomanın tamamlanma doğruluğunu ve uygulanma kalitesini kontrol ettikten sonra, kurye tarafından teslim alındıktan sonra belgenin ödemesini yapabilirsiniz. Bu aynı zamanda teslimatta nakit ödeme hizmeti sunan posta şirketlerinin ofislerinde de yapılabilir.
Belgelere ilişkin tüm teslimat ve ödeme koşulları “Ödeme ve Teslimat” bölümünde açıklanmıştır. Belgenin teslimat ve ödeme koşullarıyla ilgili önerilerinizi de dinlemeye hazırız.

Sipariş verdikten sonra paramla birlikte ortadan kaybolmayacağınızdan emin olabilir miyim? Cevap Diploma üretimi alanında oldukça uzun bir deneyime sahibiz. Sürekli güncellenen birçok web sitemiz var. Uzmanlarımız ülkenin farklı yerlerinde çalışıyor ve günde 10'dan fazla belge üretiyor. Yıllar geçtikçe belgelerimiz birçok kişinin istihdam sorunlarını çözmesine veya daha yüksek maaşlı işlere geçmesine yardımcı oldu. Müşteriler arasında güven ve tanınma kazandık, dolayısıyla bunu yapmamız için kesinlikle hiçbir neden yok. Üstelik bunu fiziksel olarak yapmak kesinlikle imkansızdır: Siparişinizi elinize aldığınızda ödersiniz, ön ödeme yoktur.

Herhangi bir üniversiteden diploma sipariş edebilir miyim? Cevap Genel olarak evet. Yaklaşık 12 yıldır bu alanda çalışıyoruz. Bu süre zarfında, ülkedeki hemen hemen tüm üniversiteler tarafından ve farklı yayınlanma yılları için yayınlanan neredeyse eksiksiz bir belge veri tabanı oluşturuldu. Tek ihtiyacınız olan üniversiteyi, uzmanlık alanını, belgeyi seçip sipariş formunu doldurmak.

Bir belgede yazım hataları ve hatalar bulursanız ne yapmalısınız? Cevap Kurye veya posta şirketimizden belge alırken tüm detayları dikkatlice kontrol etmenizi öneririz. Bir yazım hatası, hata veya yanlışlık tespit edilmesi durumunda diplomayı teslim almama hakkına sahipsiniz ancak tespit edilen kusurları kuryeye bizzat veya yazılı olarak e-posta göndererek bildirmeniz gerekir.
Belgeyi en kısa sürede düzeltip belirtilen adrese tekrar göndereceğiz. Kargo ücreti elbette firmamız tarafından ödenecektir.
Bu tür yanlış anlamaları önlemek için, orijinal formu doldurmadan önce, nihai versiyonun kontrol edilmesi ve onaylanması için müşteriye gelecekteki belgenin bir modelini e-postayla gönderiyoruz. Belgeyi kurye veya posta yoluyla göndermeden önce, sonunda ne alacağınıza dair net bir fikriniz olması için ek fotoğraf ve videolar da çekiyoruz (ultraviyole ışık dahil).

Şirketinizden diploma siparişi vermek için ne yapmalıyım? Cevap Bir belge (sertifika, diploma, akademik sertifika vb.) sipariş etmek için web sitemizdeki çevrimiçi sipariş formunu doldurmanız veya size doldurup geri göndermeniz gereken bir başvuru formu gönderebilmemiz için e-posta adresinizi vermeniz gerekir. bize.
Sipariş formunun/anketin herhangi bir alanında ne belirtmeniz gerektiğini bilmiyorsanız boş bırakın. Bu nedenle tüm eksik bilgileri telefonla netleştireceğiz.

En son incelemeler

:

Başka bir şehre taşındığımda eşyalarım arasında diplomamı bulamayınca firmanızdan diploma almaya karar verdim. O olmasaydı, iyi ve iyi maaşlı bir işe alınamazdım. Danışmanınız bana bu bilgilerin ifşa edilmeyeceğine ve hiç kimsenin belgeyi orijinalinden ayırt edemeyeceğine dair güvence verdi. Hiç şüphem yoktu ama risk almak zorundaydım. Ön ödeme gerekmemesini beğendim. Genel olarak diplomamı zamanında aldım ve aldatılmadım. Teşekkür ederim!

Oksana İvanovna:

Diplomam çalınınca çok üzüldüm. Sonuçta tam o sırada kovuldum ve artık yüksek öğrenim diploması olmadan iyi bir iş bulmak neredeyse imkansız. Neyse ki bir komşunuz kuruluşunuzla iletişime geçmenizi önerdi. İlk başta şüpheciydim ama risk almaya karar verdim. Firma yöneticisini arayıp durumumu anlattım. Ve ben şanslıyım! Her şeyi derhal yaptılar ve en önemlisi sırrımı ifşa etmeyeceklerine söz verdiler. Diplomayı satın aldığımın sonradan ortaya çıkmayacağından endişeleniyordum.

Masha Kutenkova:

Çalışma için teşekkürler! 1991'den itibaren diploma sipariş ettim. Belgeleri toplamaya başladıklarında çok az deneyim olduğu ve ayrıca eğitimlerini onaylayan bir belgeye ihtiyaçları olduğu ortaya çıktı. Bende yoktu ve patron bunu biliyordu ve şirketinizi kendisi tavsiye etti (görünüşe göre ben bir çalışan gibi değilim). Belgede bana detayları gösterdi - hangi yıllarda mürekkep veya mürekkep kullandıklarını, imzanın kalınlığını vb. diyorlar. Titizlik ve kalite için teşekkür ederim!

LenOK:

Diplomaları renkli yazıcıda basılan çalışanların utanç verici işten çıkarılma hikayelerini okuduktan sonra üniversiteye başvurmaya gittim. Ne yazık ki bütçem yok, ders çalışacak param yok ve seanslar için ödeyecek param yok, bu yüzden risk almak zorunda kaldım. Yine de şirketinizle tanıştığıma çok sevindim. Her ne kadar pratik bloğun başarısızlığı nedeniyle sizin diplomanızla işe alınmamış olsam da, bu sizin hatanız değil. Yeni bir yer bulur bulmaz, gecikmeden doğrudan size geleceğim!

Jerry Terry:

Meslektaşımın sahte bir diploma yüzünden işten atılmasını ne kadar utanç verici bir şekilde izlemek, onun örneğini takip etmek korkutucuydu. Eğer senden sipariş veren vaftiz ana olmasaydı bu riski almazdım. Burada her şeyin yolunda olduğuna ve adımın ihtiyaç duyulan her yerde yer alacağına dair güvence verdi. Her şeyi yapmak için 4 günüm vardı. Hızınız için teşekkür ederiz - bunu 3'te tamamladık ve ayrıca sahte belge oluşturma yöntemlerini titizlikle incelemeyi başardık, ancak formunuz sahte olarak nitelendirilmiyor, bu da orijinal sayılacağı anlamına geliyor.

Andrey:

Diploma satın almam gerekeceğini hiç düşünmezdim. Kızım okuldan sonra çalışmak için Polonya'ya gitti; 5 yıl sonra döndüğünde yerel bir moda evinde giyim tasarımcısı olarak iş bulmak istedi. Diploması olmadığı için kimse onu işe almak istemedi. Bu işi alamazsa tekrar ayrılacağını anlamıştı. Akşamı internette gezinerek geçirdim ve sabah kızımın belgeleriyle birlikte ofisteydim. Bir hafta sonra diplomasını da yanına aldı ve sonunda şehrinde istediği pozisyonda çalışmaya devam etti. Sana ne kadar minnettar olduğum hakkında hiçbir fikrin yok!

Toplama formülleri sin(2*a), cos(2*a) ve tan(a)'yı a açısının trigonometrik fonksiyonları aracılığıyla ifade etmenize olanak tanır.

1. cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

2. sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b).

3. tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

Bu formüllere a = b koyalım. Sonuç olarak aşağıdaki kimlikleri elde ederiz:

1. sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a).

2. cos(2*a) = (cos(a)) 2 - (sin(a)) 2 .

3. tg(2*a) = (2*tg(a))/(1-(tg(a)) 2).

Bu özdeşliklere çift açı formülleri denir. Çift açılı formüllerin kullanımına ilişkin birkaç örneğe bakalım.

Örnek 1. cos(a) = -0,8 ve a'nın 3. çeyrek açı olduğunu bilerek sin(2*a)'nın değerini bulun. Çözüm:

İlk önce sin(a)'yı hesaplayalım. a açısı üçüncü çeyrek olduğundan, üçüncü çeyrekteki sinüs negatif olacaktır:

sin(a) = -v(1-(cos(a)) 2) = -v(1-0,64) = -v0,36 = -0,6.

Çift açılı sinüs formülünü kullanarak elimizde:

sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*(-0,6)*(-0,8) = 0,96 .

Cevap: sin(2*a) = 0,96.

Örnek 2. sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) ifadesini basitleştirin. Çözüm:

Sin(a)*cos(a)'yı parantezlerden çıkaralım. Şunu elde ederiz:

sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = sin(a)*cos(a)*(cos(a)) 2 - (sin(a)) 2).

Şimdi çift açı formüllerini kullanalım:

= (1/2)*(2*sin(a)*cos(a))*cos(2*a) = (1/2)*sin(2*a)*sin(2*a) = (1 /4)*sin(4*a).

Cevap: sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = (1/4)*sin(4*a).

Çift açı formüllerini kullanarak aşağıdaki ifadeleri elde edebilirsiniz.

1 - cos(2*a) = 2*(sin(a)) 2 ,

1 + cos(2*a) = 2*(cos(a)) 2 .

Bazen örnekleri çözerken bu formülleri kullanmak çok uygundur. Aşağıdaki örneği düşünün:

Örnek 3.(1-cos(a))/(1+cos(a)) ifadesini basitleştirin. Çözüm:

Yukarıda yazılan formülleri (1-cos(a)) ve (1+cos(a)) ifadelerine uygulayalım. Bunu yapmak için öncelikle a açısını aşağıdaki 2*(a/2) çarpımı şeklinde temsil ediyoruz.

Dönüşümlerin bir sonucu olarak şunu elde ederiz:

(1-cos(a))/(1+cos(a)) = (2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2),

Teğet tanımını kullanarak elimizde:

(2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2)= (tg(a/2)) 2 .

Cevap: (1-cos(a))/(1+cos(a))= (tg(a/2)) 2 .

– Kesinlikle trigonometri ile ilgili görevler olacak. Trigonometri, sinüsler, kosinüsler, teğetler ve kotanjantlarla dolu çok sayıda zor formülü doldurma ihtiyacı nedeniyle çoğu zaman sevilmez. Site zaten bir zamanlar Euler ve Peel formülleri örneğini kullanarak unutulmuş bir formülün nasıl hatırlanacağı konusunda tavsiyeler vermişti.

Ve bu makalede, yalnızca beş basit trigonometrik formülü kesin olarak bilmenin ve geri kalanı hakkında genel bir anlayışa sahip olmanın ve ilerledikçe bunları türetmenin yeterli olduğunu göstermeye çalışacağız. Tıpkı DNA'da olduğu gibi: Molekül, tamamlanmış bir canlı yaratığın tüm planlarını saklamaz. Aksine, mevcut amino asitlerden bir araya getirilmesi için talimatlar içerir. Yani trigonometride bazı genel prensipleri bilerek, akılda tutulması gereken küçük bir formül kümesinden gerekli tüm formülleri alacağız.

Aşağıdaki formüllere güveneceğiz:

Sinüs ve kosinüs toplamları formüllerinden, kosinüs fonksiyonunun paritesini ve sinüs fonksiyonunun tuhaflığını bilerek, b yerine -b'yi koyarak, farklar için formüller elde ederiz:

1. Farkın sinüsü: günah(a-b) = günahAçünkü(-B)+çünküAgünah(-B) = günahAçünküB-çünküAgünahB
2. Farkın kosinüsü: çünkü(a-b) = çünküAçünkü(-B)-günahAgünah(-B) = çünküAçünküB+günahAgünahB

a = b'yi aynı formüllere yerleştirerek çift açıların sinüs ve kosinüs formüllerini elde ederiz:

1. Çift açının sinüsü: günah2a = günah(a+a) = günahAçünküA+çünküAgünahA = 2günahAçünküA
2. Çift açının kosinüsü: çünkü2a = çünkü(a+a) = çünküAçünküA-günahAgünahA = çünkü2 bir-günah2 bir

Diğer çoklu açıların formülleri de benzer şekilde elde edilir:

1. Üçlü açının sinüsü: günah3 A = günah(2a+a) = günah2açünküA+çünkü2agünahA = (2günahAçünküA)çünküA+(çünkü2 bir-günah2 bir)günahA = 2günahAçünkü2 bir+günahAçünkü2 bir-günah 3 bir = 3 günahAçünkü2 bir-günah 3 bir = 3 günahA(1-günah2 bir)-günah 3 bir = 3 günahA-4günah 3 A
2. Üçlü açının kosinüsü: çünkü3 A = çünkü(2a+a) = çünkü2açünküA-günah2agünahA = (çünkü2 bir-günah2 bir)çünküA-(2günahAçünküA)günahA = çünkü 3 A- günah2 birçünküA-2günah2 birçünküA = çünkü 3 a-3 günah2 birçünküA = çünkü 3 a-3(1- çünkü2 bir)çünküA = 4çünkü 3 a-3 çünküA

Devam etmeden önce bir soruna bakalım.
Verilen: açı dardır.
Eğer kosinüsünü bulun
Bir öğrencinin verdiği çözüm:
Çünkü , O günahA= 3,a çünküA = 4.
(Matematik mizahından)

Dolayısıyla tanjantın tanımı bu fonksiyonu hem sinüs hem de kosinüs ile ilişkilendirir. Ancak teğeti yalnızca kosinüsle ilişkilendiren bir formül elde edebilirsiniz. Bunu türetmek için ana trigonometrik özdeşliği alıyoruz: günah 2 A+çünkü 2 A= 1 ve bunu böl çünkü 2 A. Şunu elde ederiz:

Yani bu sorunun çözümü şöyle olacaktır:

(Açı dar olduğundan kök çıkartılırken + işareti alınır)

Bir toplamın tanjant formülü hatırlanması zor olan başka bir formüldür. Şu şekilde çıktısını alalım:

Hemen görüntülenir ve

Çift açı için kosinüs formülünden yarım açılar için sinüs ve kosinüs formüllerini elde edebilirsiniz. Bunu yapmak için çift açılı kosinüs formülünün sol tarafına:
çünkü2 A = çünkü 2 A-günah 2 A
bir tane ekliyoruz ve sağa - bir trigonometrik birim, yani. sinüs ve kosinüs karelerinin toplamı.
çünkü2a+1 = çünkü2 bir-günah2 bir+çünkü2 bir+günah2 bir
2çünkü 2 A = çünkü2 A+1
İfade etme çünküA başından sonuna kadar çünkü2 A ve değişkenleri değiştirerek şunu elde ederiz:

İşaret çeyreğe bağlı olarak alınır.

Benzer şekilde eşitliğin sol tarafından bir ve sağdan sinüs ve kosinüs karelerinin toplamından bir çıkardığımızda şunu elde ederiz:
çünkü2a-1 = çünkü2 bir-günah2 bir-çünkü2 bir-günah2 bir
2günah 2 A = 1-çünkü2 A

Son olarak trigonometrik fonksiyonların toplamını çarpıma dönüştürmek için aşağıdaki tekniği kullanıyoruz. Diyelim ki sinüslerin toplamını bir çarpım olarak temsil etmemiz gerekiyor günahA+günahB. a = x+y, b+x-y olacak şekilde x ve y değişkenlerini tanıtalım. Daha sonra
günahA+günahB = günah(x+y)+ günah(x-y) = günah X çünkü y+ çünkü X günah y+ günah X çünkü y... çünkü X günah y=2 günah X çünkü y. Şimdi x ve y'yi a ve b cinsinden ifade edelim.

a = x+y, b = x-y olduğundan, o zaman . Bu yüzden

Hemen geri çekilebilirsiniz

1. Bölümlendirme formülü sinüs ve kosinüs çarpımları V miktar: günahAçünküB = 0.5(günah(a+b)+günah(a-b))

Sinüslerin farkını ve kosinüslerin toplamını ve farkını çarpıma dönüştürmek, sinüs ve kosinüslerin çarpımlarını toplama bölmek için kendi başınıza pratik yapmanızı ve formüller türetmenizi öneririz. Bu alıştırmaları tamamladıktan sonra, trigonometrik formülleri türetme becerisinde iyice ustalaşacak ve en zor testlerde, olimpiyatlarda veya testlerde bile kaybolmayacaksınız.