الصيغ المثلثية: جيب التمام والجيب والظل للزاوية المزدوجة. الصيغ المثلثية: جيب التمام والجيب والظل للزاوية المزدوجة اشتقاق صيغة جيب الزاوية المزدوجة

في علم المثلثات، يكون استخلاص العديد من الصيغ أسهل من حفظها. جيب التمام للزاوية المزدوجة صيغة رائعة! يسمح لك بالحصول على صيغ لتقليل الدرجات وصيغ لنصف الزوايا.

لذلك، نحن بحاجة إلى جيب تمام الزاوية المزدوجة والوحدة المثلثية:

بل إنها متشابهة: في صيغة جيب التمام للزاوية المزدوجة هو الفرق بين مربعي جيب التمام والجيب، وفي الوحدة المثلثية هو مجموعهما. إذا عبرنا عن جيب التمام من الوحدة المثلثية:

ونعوضه في جيب تمام الزاوية المزدوجة فنحصل على:

هذه صيغة أخرى لجيب التمام للزاوية المزدوجة:

هذه الصيغة هي المفتاح للحصول على صيغة التخفيض:

لذا، فإن صيغة تقليل درجة الجيب هي:

إذا تم استبدال زاوية ألفا بنصف زاوية ألفا في النصف، وتم استبدال الزاوية المزدوجة ألفا بزاوية ألفا، فسنحصل على صيغة نصف الزاوية للجيب:

الآن يمكننا التعبير عن الجيب من الوحدة المثلثية:

دعنا نستبدل هذا التعبير في صيغة جيب التمام للزاوية المزدوجة:

حصلنا على صيغة أخرى لجيب تمام الزاوية المزدوجة:

هذه الصيغة هي المفتاح لإيجاد صيغة لتقليل قوة جيب التمام ونصف زاوية جيب التمام.

وبالتالي، فإن صيغة تقليل درجة جيب التمام هي:

إذا استبدلنا α بـ α/2، و2α بـ α، فسنحصل على صيغة الوسيطة النصفية لجيب التمام:

بما أن الظل هو نسبة الجيب إلى جيب التمام، فإن صيغة الظل هي:

ظل التمام هو نسبة جيب التمام إلى الجيب. ولذلك، فإن صيغة ظل التمام هي:

بالطبع، في عملية تبسيط التعبيرات المثلثية، ليس هناك أي معنى في استخلاص صيغة نصف زاوية أو تقليل درجة في كل مرة. من الأسهل بكثير وضع ورقة بها صيغ أمامك. وسوف يتحرك التبسيط بشكل أسرع، وسوف تقوم الذاكرة المرئية بتشغيل الحفظ.

لكن لا يزال الأمر يستحق اشتقاق هذه الصيغ عدة مرات. بعد ذلك، ستكون متأكدًا تمامًا من أنه أثناء الامتحان، عندما لا يكون من الممكن استخدام ورقة الغش، فسوف تحصل عليها بسهولة إذا دعت الحاجة.

الأسئلة الأكثر شيوعاً

هل من الممكن عمل ختم على مستند حسب العينة المقدمة؟ إجابة انه من الممكن. أرسل نسخة ممسوحة ضوئيًا أو صورة ذات نوعية جيدة إلى عنوان بريدنا الإلكتروني، وسنقوم بعمل النسخة اللازمة.

ما هي أنواع الدفع التي تقبلونها؟ إجابة يمكنك دفع ثمن الوثيقة عند استلامها عن طريق البريد، بعد التحقق من صحة إكمال الدبلوم وجودته. ويمكن القيام بذلك أيضًا في مكاتب شركات البريد التي تقدم خدمات الدفع نقدًا عند التسليم.
جميع شروط التسليم والدفع للمستندات موضحة في قسم "الدفع والتسليم". نحن أيضًا على استعداد للاستماع إلى اقتراحاتكم فيما يتعلق بشروط التسليم والدفع مقابل المستند.

هل يمكنني التأكد من أنك بعد تقديم الطلب لن تختفي بأموالي؟ إجابة لدينا خبرة طويلة في مجال إنتاج الدبلومات. لدينا العديد من المواقع التي يتم تحديثها باستمرار. يعمل المتخصصون لدينا في أجزاء مختلفة من البلاد، وينتجون أكثر من 10 وثائق يوميًا. على مر السنين، ساعدت وثائقنا العديد من الأشخاص على حل مشاكل التوظيف أو الانتقال إلى وظائف ذات رواتب أعلى. لقد اكتسبنا الثقة والتقدير بين العملاء، لذلك لا يوجد أي سبب على الإطلاق للقيام بذلك. علاوة على ذلك، من المستحيل القيام بذلك فعليًا: فأنت تدفع ثمن طلبك في اللحظة التي تستلمه فيها بين يديك، ولا يوجد دفع مسبق.

هل يمكنني طلب دبلوم من أي جامعة؟ إجابة بشكل عام، نعم. نحن نعمل في هذا المجال منذ ما يقرب من 12 عامًا. خلال هذا الوقت، تم تشكيل قاعدة بيانات كاملة تقريبا للوثائق الصادرة عن جميع الجامعات تقريبا في البلاد لسنوات مختلفة من الإصدار. كل ما عليك هو اختيار الجامعة والتخصص والمستند وتعبئة نموذج الطلب.

ماذا تفعل إذا وجدت أخطاء مطبعية وأخطاء في المستند؟ إجابة عند استلام مستند من شركة البريد السريع أو البريد لدينا، نوصيك بالتحقق بعناية من جميع التفاصيل. إذا تم اكتشاف خطأ مطبعي أو خطأ أو عدم دقة، فيحق لك عدم استلام الدبلوم، ولكن يجب عليك الإشارة إلى العيوب المكتشفة شخصيًا إلى شركة البريد السريع أو كتابيًا عن طريق إرسال بريد إلكتروني.
سنقوم بتصحيح المستند في أقرب وقت ممكن وإعادة إرساله إلى العنوان المحدد. وبطبيعة الحال، سيتم دفع تكاليف الشحن من قبل شركتنا.
لتجنب سوء الفهم هذا، قبل ملء النموذج الأصلي، نرسل إلى العميل عبر البريد الإلكتروني نموذجًا بالحجم الطبيعي للوثيقة المستقبلية للتحقق من النسخة النهائية والموافقة عليها. قبل إرسال المستند عن طريق البريد أو البريد، نقوم أيضًا بالتقاط صور ومقاطع فيديو إضافية (بما في ذلك الضوء فوق البنفسجي) حتى يكون لديك فكرة واضحة عما ستحصل عليه في النهاية.

ماذا علي أن أفعل لطلب دبلوم من شركتك؟ إجابة لطلب وثيقة (شهادة، دبلوم، شهادة أكاديمية، وما إلى ذلك)، يجب عليك ملء نموذج الطلب عبر الإنترنت على موقعنا أو تقديم بريدك الإلكتروني حتى نتمكن من إرسال نموذج طلب إليك، والذي يتعين عليك تعبئته وإرساله مرة أخرى لنا.
إذا كنت لا تعرف ما يجب الإشارة إليه في أي حقل من استمارة الطلب/الاستبيان، فاتركها فارغة. لذلك سنوضح كافة المعلومات الناقصة عبر الهاتف.

آخر مراجعات

توريوايلد:

قررت شراء دبلوم من شركتكم عندما انتقلت إلى مدينة أخرى ولم أتمكن من العثور على شهادتي بين أغراضي. بدونه، لم أكن لأحصل على وظيفة جيدة ذات أجر جيد. وأكد لي مستشارك أن هذه المعلومات لم يتم الكشف عنها، ولن يميز أحد الوثيقة عن الأصل. لم تكن هناك شكوك، ولكن كان علي أن أخاطر. أعجبني أنه لا يلزم الدفع المسبق. بشكل عام، حصلت على شهادتي في الوقت المحدد ولم أخدع. شكرًا لك!

أوكسانا إيفانوفنا:

عندما سُرقت شهادتي، شعرت بالانزعاج الشديد. بعد كل شيء، لقد تم طردي في ذلك الوقت، والآن يكاد يكون من المستحيل العثور على وظيفة جيدة دون الحصول على دبلوم التعليم العالي. لحسن الحظ، اقترح أحد الجيران الاتصال بمؤسستك. في البداية كنت متشككًا، لكنني قررت المخاطرة. اتصلت بمدير الشركة وشرحت لي وضعي. وأنا محظوظ! لقد فعلوا كل شيء على الفور، والأهم من ذلك أنهم وعدوا بعدم إفشاء سري. لقد كنت قلقًا من أن حقيقة أنني اشتريت الدبلوم لن تظهر لاحقًا.

ماشا كوتينكوفا:

شكرا على العمل! لقد طلبت دبلومًا من عام 1991. عندما بدأوا في رفع المستندات، اتضح أن هناك القليل من الخبرة، وكانوا بحاجة أيضًا إلى ورقة تؤكد تعليمهم. لم يكن لدي واحدة، وكان الرئيس يعرف ذلك، وأوصت بشركتك بنفسها (على ما يبدو، أنا لست موظفًا على الإطلاق). في الوثيقة، أشارت لي إلى التفاصيل - يقولون، في أي سنة يستخدمون الحبر أو الحبر، وسمك التوقيع، وما إلى ذلك. شكرًا لك على الدقة والجودة!

موافق:

بعد قراءة قصص عن الفصل المخزي للموظفين الذين طبعت شهاداتهم على طابعة ملونة، ذهبت لتقديم طلب إلى الجامعة. للأسف، لا توجد ميزانية ولا أموال للدراسة ولا أموال لدفع تكاليف الجلسات، لذلك كان علي المخاطرة. على الرغم من أنني سعيد جدًا لأنني التقيت بشركتك. على الرغم من أنه لم يتم تعييني بشهادتك بسبب فشل الجزء العملي، إلا أن هذا ليس خطأك. بمجرد أن أجد مكانًا جديدًا، سأأتي إليك مباشرة، دون تأخير!

جيري تيري:

عندما أشاهد الحرج الذي تم طرد زميلي من العمل للحصول على دبلوم مزيف، كان مخيفا أن تحذو حذوه. لولا العرابة التي طلبت منك، لم أكن لأخاطر. وأكدت أن كل شيء يسير على ما يرام هنا، وأن اسمي سيكون موجودًا في كل مكان عندما تكون هناك حاجة إليه. كان لدي 4 أيام للقيام بكل شيء. شكرًا لك على سرعتك - لقد أكملناها في 3، وتمكنا أيضًا من دراسة طرق تزوير المستندات بدقة، لكن النموذج الخاص بك لا يعتبر مزيفًا، مما يعني أنه سيتم اعتباره أصليًا.

أندريه:

لم أكن أعتقد أبدًا أنني سأضطر إلى شراء دبلوم. بعد المدرسة، ذهبت ابنتي إلى بولندا للعمل، وعندما عادت بعد 5 سنوات، أرادت الحصول على وظيفة مصممة ملابس في دار أزياء محلية. بدون دبلوم، لا أحد يريد توظيفها. لقد فهم أنه إذا لم يحصل على هذه الوظيفة، فسوف يغادر مرة أخرى. قضيت المساء أتصفح الإنترنت، وفي الصباح كنت بالفعل في المكتب مع مستندات ابنتي. وبعد أسبوع، أخذ معها شهادتها، وبقيت أخيرًا للعمل في مدينتها في الوظيفة المطلوبة. ليس لديك أي فكرة عن مدى امتناني لك!

تسمح لك صيغ الجمع بالتعبير عن sin(2*a) وcos(2*a) وtan(a) من خلال الدوال المثلثية للزاوية a.

1. cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

2. الخطيئة(أ+ب) = الخطيئة(أ)*cos(ب) + cos(a)*الخطيئة(ب).

3. tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

دعونا نضع أ = ب في هذه الصيغ. ونتيجة لذلك نحصل على الهويات التالية:

1. الخطيئة(2*أ) = 2*الخطيئة(أ)*cos(أ).

2. cos(2*a) = (cos(a)) 2 - (sin(a)) 2 .

3. tg(2*a) = (2*tg(a))/(1-(tg(a)) 2).

تسمى هذه الهويات صيغ الزاوية المزدوجة. دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة لاستخدام صيغ الزاوية المزدوجة.

مثال 1.أوجد قيمة sin(2*a)، مع العلم أن cos(a) = -0.8 وأن a هي زاوية الربع الثالث. حل:

أولا دعونا نحسب الخطيئة (أ). بما أن الزاوية a هي الربع الثالث، فإن جيب الربع الثالث سيكون سالبًا:

sin(a) = -v(1-(cos(a)) 2) = -v(1-0.64) = -v0.36 = -0.6.

باستخدام صيغة جيب الزاوية المزدوجة لدينا:

sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*(-0.6)*(-0.8) = 0.96 .

الجواب: الخطيئة (2 * أ) = 0.96.

مثال 2.بسّط التعبير sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a). حل:

دعونا نخرج الخطيئة (أ) * جتا (أ) من الأقواس. نحن نحصل:

الخطيئة(أ)*(cos(a)) 3 - (الخطيئة(a)) 3 *cos(a) = الخطيئة(a)*cos(a)*(cos(a)) 2 - (الخطيئة(a)) 2).

الآن دعونا نستخدم صيغ الزاوية المزدوجة:

= (1/2)*(2*الخطيئة(أ)*cos(a))*cos(2*a) = (1/2)*الخطيئة(2*أ)*الخطيئة(2*أ) = (1) /4)*الخطيئة(4*أ).

الجواب: sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = (1/4)*sin(4*a).

باستخدام صيغ الزاوية المزدوجة يمكنك الحصول على التعبيرات التالية

1 - cos(2*a) = 2*(sin(a)) 2 ,

1 + cos(2*a) = 2*(cos(a)) 2 .

في بعض الأحيان، عند حل الأمثلة، يكون من المناسب جدًا استخدام هذه الصيغ. خذ بعين الاعتبار المثال التالي:

مثال 3.بسّط التعبير (1-cos(a))/(1+cos(a)). حل:

لنطبق الصيغ المكتوبة أعلاه على التعبيرات (1-cos(a)) و(1+cos(a)). للقيام بذلك، نمثل أولاً الزاوية a في شكل المنتج التالي 2*(a/2).

ونتيجة للتحولات نحصل على:

(1-cos(a))/(1+cos(a)) = (2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2),

باستخدام تعريف الظل لدينا:

(2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2)= (tg(a/2)) 2 .

الإجابة: (1-cos(a))/(1+cos(a))= (tg(a/2)) 2 .

- ستكون هناك بالتأكيد مهام في علم المثلثات. غالبًا ما يكون علم المثلثات غير محبوب بسبب الحاجة إلى حشر عدد كبير من الصيغ الصعبة، التي تعج بالجيب وجيب التمام والظل وظل التمام. لقد قدم الموقع بالفعل نصيحة حول كيفية تذكر الصيغة المنسية، باستخدام مثال صيغ Euler و Peel.

وسنحاول في هذه المقالة أن نبين أنه يكفي أن تعرف جيدًا خمس صيغ مثلثية بسيطة فقط، وأن يكون لديك فهم عام للباقي واشتقاقها مع تقدمك. إنه مثل الحمض النووي: الجزيء لا يخزن المخططات الكاملة لكائن حي مكتمل. بل يحتوي على تعليمات لتجميعه من الأحماض الأمينية المتوفرة. لذا، في علم المثلثات، بمعرفة بعض المبادئ العامة، سنحصل على جميع الصيغ الضرورية من مجموعة صغيرة من تلك التي يجب وضعها في الاعتبار.

سنعتمد على الصيغ التالية:

من صيغ مجموع الجيب وجيب التمام، ومعرفة تكافؤ دالة جيب التمام وغرابة دالة الجيب، واستبدال -b بدلاً من b، نحصل على صيغ للاختلافات:

1. جيب من الفرق: خطيئة(أ-ب) = خطيئةأكوس(-ب)+كوسأخطيئة(-ب) = خطيئةأكوسب-كوسأخطيئةب
2. جيب تمام الفرق: كوس(أ-ب) = كوسأكوس(-ب)-خطيئةأخطيئة(-ب) = كوسأكوسب+خطيئةأخطيئةب

وبوضع a = b في نفس الصيغ، نحصل على صيغ جيب التمام وجيب التمام للزوايا المزدوجة:

1. جيب الزاوية المزدوجة: خطيئة2 أ = خطيئة(أ+أ) = خطيئةأكوسأ+كوسأخطيئةأ = 2خطيئةأكوسأ
2. جيب تمام الزاوية المزدوجة: كوس2 أ = كوس(أ+أ) = كوسأكوسأ-خطيئةأخطيئةأ = كوس2 أ-خطيئة2 أ

يتم الحصول على صيغ الزوايا المتعددة الأخرى بالمثل:

1. جيب الزاوية الثلاثية: خطيئة3 أ = خطيئة(2أ+أ) = خطيئة2 أكوسأ+كوس2 أخطيئةأ = (2خطيئةأكوسأ)كوسأ+(كوس2 أ-خطيئة2 أ)خطيئةأ = 2خطيئةأكوس2 أ+خطيئةأكوس2 أ-خطيئة 3 أ = 3 خطيئةأكوس2 أ-خطيئة 3 أ = 3 خطيئةأ(1-خطيئة2 أ)-خطيئة 3 أ = 3 خطيئةأ-4خطيئة 3 أ
2. جيب تمام الزاوية الثلاثية: كوس3 أ = كوس(2أ+أ) = كوس2 أكوسأ-خطيئة2 أخطيئةأ = (كوس2 أ-خطيئة2 أ)كوسأ-(2خطيئةأكوسأ)خطيئةأ = كوس 3 أ- خطيئة2 أكوسأ-2خطيئة2 أكوسأ = كوس 3 أ-3 خطيئة2 أكوسأ = كوس 3 أ-3(1- كوس2 أ)كوسأ = 4كوس 3 أ-3 كوسأ

قبل أن ننتقل، دعونا نلقي نظرة على مشكلة واحدة.
معطى: الزاوية حادة.
أوجد جيب تمامها إذا
الحل مقدم من أحد الطلاب :
لأن ، الذي - التي خطيئةأ= 3،أ كوسأ = 4.
(من فكاهة الرياضيات)

لذا، فإن تعريف الظل يربط هذه الوظيفة بكل من الجيب وجيب التمام. لكن يمكنك الحصول على صيغة تربط الظل بجيب التمام فقط. لاشتقاقها، نأخذ الهوية المثلثية الرئيسية: خطيئة 2 أ+كوس 2 أ= 1 ونقسمه على كوس 2 أ. نحن نحصل:

وبالتالي فإن الحل لهذه المشكلة سيكون:

(بما أن الزاوية حادة، عند استخراج الجذر تؤخذ الإشارة +)

صيغة ظل المجموع هي صيغة أخرى يصعب تذكرها. لنخرجها هكذا:

عرض على الفور و

من صيغة جيب التمام لزاوية مزدوجة، يمكنك الحصول على صيغ جيب التمام وجيب التمام لأنصاف الزوايا. للقيام بذلك، إلى الجانب الأيسر من صيغة جيب التمام للزاوية المزدوجة:
كوس2 أ = كوس 2 أ-خطيئة 2 أ
نضيف واحدة، وإلى اليمين - وحدة مثلثية، أي. مجموع مربعات الجيب وجيب التمام.
كوس2 أ+1 = كوس2 أ-خطيئة2 أ+كوس2 أ+خطيئة2 أ
2كوس 2 أ = كوس2 أ+1
تعبير كوسأخلال كوس2 أوبتغيير المتغيرات نحصل على:

يتم أخذ العلامة اعتمادا على الربع.

وبالمثل، بطرح واحد من الجانب الأيسر من المساواة ومجموع مربعات الجيب وجيب التمام من اليمين، نحصل على:
كوس2 أ-1 = كوس2 أ-خطيئة2 أ-كوس2 أ-خطيئة2 أ
2خطيئة 2 أ = 1-كوس2 أ

وأخيرًا، لتحويل مجموع الدوال المثلثية إلى منتج، نستخدم التقنية التالية. لنفترض أننا بحاجة إلى تمثيل مجموع الجيب كمنتج خطيئةأ+خطيئةب. دعونا نقدم المتغيرات x وy بحيث a = x+y, b+x-y. ثم
خطيئةأ+خطيئةب = خطيئة(س+ص)+ خطيئة(س-ص) = خطيئةس كوسص+ كوسس خطيئةص+ خطيئةس كوسذ- كوسس خطيئةص=2 خطيئةس كوسذ. دعونا الآن نعبر عن x و y بدلالة a و b.

بما أن a = x+y، b = x-y، إذن . لهذا

يمكنك الانسحاب على الفور

1. صيغة للتقسيم منتجات الجيب وجيب التمامالخامس كمية: خطيئةأكوسب = 0.5(خطيئة(أ+ب)+خطيئة(أ-ب))

ننصحك بالتدرب على الصيغ واشتقاقها بنفسك لتحويل فرق جيب التمام ومجموع جيب التمام وفرقهما إلى حاصل الضرب، وكذلك لتقسيم حاصل ضرب جيب التمام وجيب التمام إلى المجموع. بعد إكمال هذه التمارين، ستتقن تمامًا مهارة استخلاص الصيغ المثلثية ولن تضيع حتى في أصعب اختبار أو أولمبياد أو اختبار.