Resolver ecuaciones cuadráticas. Resolver ecuaciones lineales con ejemplos Raíces de una ecuación cuadrática

21.02.2024 -

Las ecuaciones cuadráticas se estudian en octavo grado, por lo que aquí no hay nada complicado. La capacidad de resolverlos es absolutamente necesaria.

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde los coeficientes a, byc son números arbitrarios y a ≠ 0.

Antes de estudiar métodos de solución específicos, tenga en cuenta que todas las ecuaciones cuadráticas se pueden dividir en tres clases:

No tener raíces;
Tener exactamente una raíz;
Tienen dos raíces diferentes.

Esta es una diferencia importante entre ecuaciones cuadráticas y lineales, donde la raíz siempre existe y es única. ¿Cómo determinar cuántas raíces tiene una ecuación? Hay algo maravilloso para esto. discriminante.

discriminante

Sea la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0. Entonces el discriminante es simplemente el número D = b 2 − 4ac.

Necesitas saber esta fórmula de memoria. De dónde viene no es importante ahora. Otra cosa es importante: por el signo del discriminante se puede determinar cuántas raíces tiene una ecuación cuadrática. A saber:

Si D< 0, корней нет;
Si D = 0, hay exactamente una raíz;
Si D > 0, habrá dos raíces.

Tenga en cuenta: el discriminante indica el número de raíces, y no sus signos, como por alguna razón mucha gente cree. Echa un vistazo a los ejemplos y lo entenderás todo tú mismo:

Tarea. ¿Cuántas raíces tienen las ecuaciones cuadráticas?

x2 − 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Escribamos los coeficientes de la primera ecuación y encontremos el discriminante:
a = 1, segundo = −8, c = 12;
re = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Entonces el discriminante es positivo, entonces la ecuación tiene dos raíces diferentes. Analizamos la segunda ecuación de manera similar:
a = 5; segundo = 3; c = 7;
re = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

El discriminante es negativo, no hay raíces. La última ecuación que queda es:
a = 1; segundo = −6; c = 9;
re = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

El discriminante es cero; la raíz será uno.

Tenga en cuenta que se han escrito coeficientes para cada ecuación. Sí, es largo, sí, es tedioso, pero no mezclarás las probabilidades ni cometerás errores estúpidos. Elija usted mismo: velocidad o calidad.

Por cierto, si lo dominas, después de un tiempo no necesitarás anotar todos los coeficientes. Realizarás tales operaciones en tu cabeza. La mayoría de la gente empieza a hacer esto después de 50-70 ecuaciones resueltas; en general, no tanto.

Raíces de una ecuación cuadrática

Pasemos ahora a la solución en sí. Si el discriminante D > 0, las raíces se pueden encontrar usando las fórmulas:

Fórmula básica para las raíces de una ecuación cuadrática.

Cuando D = 0, puedes usar cualquiera de estas fórmulas; obtendrás el mismo número, que será la respuesta. Finalmente, si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 − 2x − 3 = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

Primera ecuación:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; segundo = −2; c = −3;
re = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ la ecuación tiene dos raíces. Encontrémoslos:

Segunda ecuación:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; segundo = −2; c = 15;
re = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ la ecuación nuevamente tiene dos raíces. vamos a encontrarlos

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(alinear)\]

Finalmente, la tercera ecuación:
x2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
re = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ la ecuación tiene una raíz. Se puede utilizar cualquier fórmula. Por ejemplo, el primero:

Como puedes ver en los ejemplos, todo es muy sencillo. Si conoces las fórmulas y sabes contar, no habrá problemas. La mayoría de las veces, se producen errores al sustituir coeficientes negativos en la fórmula. Una vez más, la técnica descrita anteriormente le ayudará: mire la fórmula literalmente, escriba cada paso y muy pronto se librará de los errores.

Ecuaciones cuadráticas incompletas

Sucede que una ecuación cuadrática es ligeramente diferente de lo que se da en la definición. Por ejemplo:

x2 + 9x = 0;
x 2 − 16 = 0.

Es fácil notar que a estas ecuaciones les falta uno de los términos. Estas ecuaciones cuadráticas son incluso más fáciles de resolver que las estándar: ni siquiera requieren calcular el discriminante. Entonces, introduzcamos un nuevo concepto:

La ecuación ax 2 + bx + c = 0 se llama ecuación cuadrática incompleta si b = 0 o c = 0, es decir el coeficiente de la variable x o del elemento libre es igual a cero.

Por supuesto, es posible un caso muy difícil cuando ambos coeficientes son iguales a cero: b = c = 0. En este caso, la ecuación toma la forma ax 2 = 0. Obviamente, dicha ecuación tiene una única raíz: x = 0.

Consideremos los casos restantes. Sea b = 0, entonces obtenemos una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 + c = 0. Transformémosla un poco:

Dado que la raíz cuadrada aritmética sólo existe para un número no negativo, la última igualdad tiene sentido sólo para (−c /a) ≥ 0. Conclusión:

Si en una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 + c = 0 se satisface la desigualdad (−c /a) ≥ 0, habrá dos raíces. La fórmula se da arriba;
Si (−c/a)< 0, корней нет.

Como puede ver, no se requería un discriminante: no hay ningún cálculo complejo en ecuaciones cuadráticas incompletas. De hecho, ni siquiera es necesario recordar la desigualdad (−c /a) ≥ 0. Basta expresar el valor x 2 y ver qué hay al otro lado del signo igual. Si hay un número positivo, habrá dos raíces. Si es negativo, no habrá raíces en absoluto.

Ahora veamos ecuaciones de la forma ax 2 + bx = 0, en las que el elemento libre es igual a cero. Aquí todo es sencillo: siempre habrá dos raíces. Basta factorizar el polinomio:

Sacando el factor común de paréntesis

El producto es cero cuando al menos uno de los factores es cero. De aquí vienen las raíces. En conclusión, veamos algunas de estas ecuaciones:

Tarea. Resolver ecuaciones cuadráticas:

x2 − 7x = 0;

5x 2 + 30 = 0;

4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. No hay raíces, porque un cuadrado no puede ser igual a un número negativo.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.

El uso de ecuaciones está muy extendido en nuestra vida. Se utilizan en muchos cálculos, construcción de estructuras e incluso deportes. El hombre utilizó ecuaciones en la antigüedad y desde entonces su uso no ha hecho más que aumentar. Resolver ecuaciones de noveno grado implica el uso de muchos métodos de resolución diferentes: métodos gráficos y de suma algebraica, introducir nuevas variables, usar funciones y convertir ecuaciones de un tipo a uno más simple, y mucho más. El método para resolver la ecuación se selecciona en función de los datos iniciales, por lo que es mejor comprender los métodos claramente mediante ejemplos.

Supongamos que se nos da una ecuación de la siguiente forma:

\[\frac (18)(x^2-6x)-\frac(12)(x^2+6x)=\frac (1)(x)\]

Para resolver esta ecuación, divide los lados izquierdo y derecho por \

\[\frac(18)(x-6)-\frac(12)(x+6)=1\]

\[\frac (6x+180)(x^2-36)=1\]

Las dos raíces resultantes son la solución de esta ecuación.

Resolvamos la ecuación:

\[ (x^2-2x)^2-3x^2+6x-4=0 \]

Es necesario encontrar la suma de todas las raíces de esta ecuación. Para hacer esto necesitas reemplazar:

Las raíces de esta ecuación serán 2 números: -1 y 4. Por lo tanto:

\[\begin(bmatrix) x^2-2x=-1\\ x^2-2x=4 \end(bmatrix)\] \[\begin(bmatrix) x=1\\ x=1\pm\sqrt5 \end(bmatriz)\]

La suma de las 3 raíces es igual a 4, que será la respuesta para resolver esta ecuación.

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Recordemos las propiedades básicas de los grados. Sean a > 0, b > 0, n, m cualquier número real. Entonces
1) una norte una metro = una norte + metro

2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(n-m) \)

3) (un) m = un nm

4) (ab) n = a n b n

5) \(\left(\frac(a)(b) \right)^n = \frac(a^n)(b^n) \)

7) a n > 1, si a > 1, n > 0

8) un norte 1, norte
9) a n > a m si 0

En la práctica, a menudo se utilizan funciones de la forma y = a x, donde a es un número positivo dado, x es una variable. Tales funciones se llaman indicativo. Este nombre se explica por el hecho de que el argumento de la función exponencial es el exponente y la base del exponente es el número dado.

Definición. Una función exponencial es una función de la forma y = a x, donde a es un número dado, a > 0, \(a \neq 1\)

La función exponencial tiene las siguientes propiedades

1) El dominio de definición de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales.
Esta propiedad se deriva del hecho de que la potencia a x donde a > 0 está definida para todos los números reales x.

2) El conjunto de valores de la función exponencial es el conjunto de todos los números positivos.
Para verificar esto, necesitas demostrar que la ecuación a x = b, donde a > 0, \(a \neq 1\), no tiene raíces si \(b \leq 0\), y tiene raíz para cualquier b > 0.

3) La función exponencial y = a x aumenta en el conjunto de todos los números reales si a > 1 y disminuye si 0. Esto se deduce de las propiedades de grado (8) y (9)

Construyamos gráficas de funciones exponenciales y = a x para a > 0 y para 0. Usando las propiedades consideradas, observamos que la gráfica de la función y = a x para a > 0 pasa por el punto (0; 1) y se encuentra arriba el eje Buey.
Si x 0.
Si x > 0 y |x| aumenta, la gráfica aumenta rápidamente.

Gráfica de la función y = a x en 0 Si x > 0 y aumenta, entonces la gráfica se acerca rápidamente al eje Ox (sin cruzarlo). Por tanto, el eje Ox es la asíntota horizontal de la gráfica.
si x

Ecuaciones exponenciales

Consideremos varios ejemplos de ecuaciones exponenciales, es decir ecuaciones en las que la incógnita está contenida en el exponente. Resolver ecuaciones exponenciales a menudo se reduce a resolver la ecuación a x = a b donde a > 0, \(a \neq 1\), x es una incógnita. Esta ecuación se resuelve usando la propiedad de las potencias: potencias con la misma base a > 0, \(a \neq 1\) son iguales si y solo si sus exponentes son iguales.

Resolver la ecuación 2 3x 3 x = 576
Dado que 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, la ecuación se puede escribir como 8 x 3 x = 24 2, o como 24 x = 24 2, de donde x = 2.
Respuesta x = 2

Resuelve la ecuación 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25
Tomando el factor común 3 x - 2 entre paréntesis del lado izquierdo, obtenemos 3 x - 2 (3 3 - 2) = 25, 3 x - 2 25 = 25,
de donde 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
Respuesta x = 2

Resuelve la ecuación 3x = 7x
Dado que \(7^x \neq 0 \) , la ecuación se puede escribir en la forma \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \), de donde \(\left(\frac(3 )( 7) \derecha) ^x = 1 \), x = 0
Respuesta x = 0

Resuelve la ecuación 9 x - 4 3 x - 45 = 0
Reemplazando 3 x = t, esta ecuación se reduce a la ecuación cuadrática t 2 - 4t - 45 = 0. Resolviendo esta ecuación, encontramos sus raíces: t 1 = 9, t 2 = -5, de donde 3 x = 9, 3 x = -5 .
La ecuación 3 x = 9 tiene raíz x = 2, y la ecuación 3 x = -5 no tiene raíz, ya que la función exponencial no puede tomar valores negativos.
Respuesta x = 2

Resuelve la ecuación 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
Escribamos la ecuación en la forma
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2, de donde
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 x - 2 23 = 5 x - 2 23
\(\left(\frac(2)(5) \right) ^(x-2) = 1 \)
x - 2 = 0
Respuesta x = 2

Resuelve la ecuación 3 |x - 1| = 3 |x + 3|
Dado que 3 > 0, \(3 \neq 1\), entonces la ecuación original es equivalente a la ecuación |x-1| = |x+3|
Al elevar al cuadrado esta ecuación, obtenemos su corolario (x - 1) 2 = (x + 3) 2, de donde
x2 - 2x + 1 = x2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
La verificación muestra que x = -1 es la raíz de la ecuación original.
Respuesta x = -1

Una ecuación con una incógnita, que, después de abrir los paréntesis y traer términos similares, toma la forma

hacha + b = 0, donde a y b son números arbitrarios, se llama ecuación lineal con una desconocida. Hoy descubriremos cómo resolver estas ecuaciones lineales.

Por ejemplo, todas las ecuaciones:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - lineal.

El valor de la incógnita que convierte la ecuación en una igualdad verdadera se llama decisión o raíz de la ecuación .

Por ejemplo, si en la ecuación 3x + 7 = 13 en lugar de la incógnita x sustituimos el número 2, obtenemos la igualdad correcta 3 2 +7 = 13. Esto significa que el valor x = 2 es la solución o raíz de la ecuación.

Y el valor x = 3 no convierte la ecuación 3x + 7 = 13 en una verdadera igualdad, ya que 3 2 +7 ≠ 13. Esto significa que el valor x = 3 no es una solución ni una raíz de la ecuación.

Resolver cualquier ecuación lineal se reduce a resolver ecuaciones de la forma

hacha + b = 0.

Movamos el término libre del lado izquierdo de la ecuación hacia la derecha, cambiando el signo delante de b al opuesto, obtenemos

Si a ≠ 0, entonces x = ‒ b/a .

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación 3x + 2 =11.

Movamos 2 del lado izquierdo de la ecuación hacia la derecha, cambiando el signo delante de 2 al opuesto, obtenemos
3x = 11 – 2.

Hagamos la resta, entonces.
3x = 9.

Para encontrar x, necesitas dividir el producto por un factor conocido, es decir
x = 9:3.

Esto significa que el valor x = 3 es la solución o raíz de la ecuación.

Respuesta: x = 3.

Si a = 0 y b = 0, entonces obtenemos la ecuación 0x = 0. Esta ecuación tiene infinitas soluciones, ya que cuando multiplicamos cualquier número por 0 obtenemos 0, pero b también es igual a 0. La solución de esta ecuación es cualquier número.

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

Ampliemos los corchetes:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Aquí hay algunos términos similares:
0x = 0.

Respuesta: x - cualquier número.

Si a = 0 y b ≠ 0, entonces obtenemos la ecuación 0x = - b. Esta ecuación no tiene soluciones, ya que cuando multiplicamos cualquier número por 0 obtenemos 0, pero b ≠ 0.

Ejemplo 3. Resuelve la ecuación x + 8 = x + 5.

Agrupemos los términos que contienen incógnitas en el lado izquierdo y los términos libres en el lado derecho:
x – x = 5 – 8.

Aquí hay algunos términos similares:
0х = ‒ 3.

Respuesta: no hay soluciones.

En Figura 1 muestra un diagrama para resolver una ecuación lineal

Tracemos un esquema general para resolver ecuaciones con una variable. Consideremos la solución al ejemplo 4.

Ejemplo 4. Supongamos que necesitamos resolver la ecuación.

1) Multiplica todos los términos de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores, igual a 12.

2) Después de la reducción obtenemos
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Para separar términos que contienen términos desconocidos y libres, abra los corchetes:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Agrupemos en una parte los términos que contienen incógnitas y en la otra, términos libres:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Presentemos términos similares:
- 22х = - 154.

6) Dividimos por – 22, obtenemos
x = 7.

Como puedes ver, la raíz de la ecuación es siete.

Generalmente tal Las ecuaciones se pueden resolver usando el siguiente esquema.:

a) llevar la ecuación a su forma entera;

b) abrir los corchetes;

c) agrupar los términos que contienen la incógnita en una parte de la ecuación y los términos libres en la otra;

d) traer miembros similares;

e) resolver una ecuación de la forma aх = b, que se obtuvo después de traer términos similares.

Sin embargo, este esquema no es necesario para todas las ecuaciones. Al resolver muchas ecuaciones más simples, no debes comenzar desde la primera, sino desde la segunda ( Ejemplo. 2), tercero ( Ejemplo. 13) e incluso desde la quinta etapa, como en el ejemplo 5.

Ejemplo 5. Resuelve la ecuación 2x = 1/4.

Encuentra la incógnita x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

Veamos cómo resolver algunas ecuaciones lineales que se encuentran en el examen estatal principal.

Ejemplo 6. Resuelve la ecuación 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Respuesta: - 0,125

Ejemplo 7. Resuelve la ecuación – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Respuesta: 2.3

Ejemplo 8. Resuelve la ecuación

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Ejemplo 9. Encuentre f(6) si f (x + 2) = 3 7

Solución

Como necesitamos encontrar f(6) y sabemos f (x + 2),
entonces x + 2 = 6.

Resolvemos la ecuación lineal x + 2 = 6,
obtenemos x = 6 – 2, x = 4.

Si x = 4 entonces
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Respuesta: 27.

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