Rumus trigonometri: cosinus, sinus dan tangen sudut ganda. Rumus trigonometri: kosinus, sinus, dan tangen sudut ganda Turunan rumus sinus sudut ganda

Dalam trigonometri, banyak rumus yang lebih mudah diturunkan daripada dihafal. Kosinus sudut ganda adalah rumus yang luar biasa! Ini memungkinkan Anda mendapatkan rumus untuk mengurangi derajat dan rumus untuk setengah sudut.

Jadi, kita memerlukan kosinus sudut ganda dan satuan trigonometri:

Keduanya bahkan serupa: dalam rumus kosinus sudut ganda, ini adalah selisih antara kuadrat kosinus dan sinus, dan dalam satuan trigonometri adalah jumlah keduanya. Jika kita menyatakan kosinus dari satuan trigonometri:

dan substitusikan ke kosinus sudut ganda, kita peroleh:

Ini adalah rumus kosinus sudut ganda lainnya:

Rumus ini adalah kunci untuk mendapatkan rumus reduksi:

Jadi, rumus untuk menurunkan derajat sinus adalah:

Jika di dalamnya sudut alpha diganti dengan setengah sudut alpha menjadi dua, dan sudut ganda dua alpha diganti dengan sudut alpha, maka diperoleh rumus setengah sudut sinus:

Sekarang kita dapat menyatakan sinus dari satuan trigonometri:

Mari kita substitusikan ekspresi ini ke dalam rumus cosinus sudut ganda:

Kami mendapat rumus lain untuk kosinus sudut ganda:

Rumus ini adalah kunci untuk mencari rumus pengurangan pangkat kosinus dan setengah sudut kosinus.

Jadi, rumus penurunan derajat kosinus adalah:

Jika kita mengganti α dengan α/2, dan 2α dengan α, kita memperoleh rumus setengah argumen untuk kosinus:

Karena tangen adalah perbandingan sinus dan kosinus, maka rumus tangen adalah:

Kotangen adalah rasio kosinus terhadap sinus. Oleh karena itu, rumus kotangen adalah:

Tentu saja, dalam proses menyederhanakan ekspresi trigonometri, tidak ada gunanya menurunkan rumus setengah sudut atau mengurangi satu derajat setiap saat. Jauh lebih mudah untuk meletakkan selembar kertas berisi rumus di depan Anda. Dan penyederhanaan akan bergerak lebih cepat, dan memori visual akan menghidupkan hafalan.

Namun masih ada baiknya untuk menurunkan rumus ini beberapa kali. Maka Anda akan benar-benar yakin bahwa selama ujian, ketika tidak memungkinkan untuk menggunakan contekan, Anda akan dengan mudah mendapatkannya jika diperlukan.

Pertanyaan Paling Sering Diajukan

Apakah mungkin membuat stempel pada suatu dokumen sesuai dengan contoh yang diberikan? Menjawab Iya itu mungkin. Kirimkan salinan pindaian atau foto berkualitas baik ke alamat email kami, dan kami akan membuat duplikat yang diperlukan.

Jenis pembayaran apa yang Anda terima? Menjawab Anda dapat membayar dokumen tersebut setelah diterima oleh kurir, setelah memeriksa kebenaran pengisian dan kualitas pelaksanaan ijazah. Hal ini juga dapat dilakukan di kantor perusahaan pos yang menawarkan layanan pengiriman tunai.
Semua ketentuan pengiriman dan pembayaran dokumen dijelaskan di bagian “Pembayaran dan Pengiriman”. Kami juga siap mendengarkan saran Anda mengenai syarat pengiriman dan pembayaran dokumen.

Dapatkah saya yakin bahwa setelah melakukan pemesanan, Anda tidak akan kehilangan uang saya? Menjawab Kami mempunyai pengalaman yang cukup panjang dalam bidang produksi ijazah. Kami memiliki beberapa situs web yang terus diperbarui. Spesialis kami bekerja di berbagai belahan negara, menghasilkan lebih dari 10 dokumen setiap hari. Selama bertahun-tahun, dokumen kami telah membantu banyak orang memecahkan masalah ketenagakerjaan atau beralih ke pekerjaan dengan gaji lebih tinggi. Kami telah mendapatkan kepercayaan dan pengakuan di antara klien, jadi sama sekali tidak ada alasan bagi kami untuk melakukan hal ini. Selain itu, hal ini tidak mungkin dilakukan secara fisik: Anda membayar pesanan saat Anda menerimanya, tidak ada pembayaran di muka.

Bisakah saya memesan ijazah dari universitas mana pun? Menjawab Secara umum, ya. Kami telah bekerja di bidang ini selama hampir 12 tahun. Selama ini, database dokumen yang hampir lengkap yang dikeluarkan oleh hampir semua universitas di tanah air dan untuk tahun penerbitan yang berbeda telah terbentuk. Yang Anda perlukan hanyalah memilih universitas, spesialisasi, dokumen, dan mengisi formulir pemesanan.

Apa yang harus dilakukan jika Anda menemukan kesalahan ketik dan kesalahan dalam suatu dokumen? Menjawab Saat menerima dokumen dari kurir atau perusahaan pos kami, kami menyarankan Anda memeriksa semua detailnya dengan cermat. Jika ditemukan kesalahan ketik, kesalahan atau ketidakakuratan, Anda berhak untuk tidak mengambil ijazah, tetapi Anda harus menunjukkan cacat yang terdeteksi secara pribadi kepada kurir atau secara tertulis dengan mengirimkan email.
Kami akan memperbaiki dokumen tersebut sesegera mungkin dan mengirimkannya kembali ke alamat yang ditentukan. Tentu saja, pengiriman akan ditanggung oleh perusahaan kami.
Untuk menghindari kesalahpahaman seperti itu, sebelum mengisi formulir asli, kami mengirimkan email kepada pelanggan mock-up dokumen yang akan datang untuk diperiksa dan disetujui versi finalnya. Sebelum mengirimkan dokumen melalui kurir atau surat, kami juga mengambil foto dan video tambahan (termasuk dalam sinar ultraviolet) sehingga Anda memiliki gambaran yang jelas tentang apa yang akan Anda terima pada akhirnya.

Apa yang harus saya lakukan untuk memesan ijazah dari perusahaan Anda? Menjawab Untuk memesan dokumen (sertifikat, diploma, sertifikat akademik, dll.), Anda harus mengisi formulir pemesanan online di website kami atau memberikan email Anda sehingga kami dapat mengirimkan formulir aplikasi, yang perlu Anda isi dan kirimkan kembali untuk kita.
Jika Anda tidak tahu apa yang harus ditunjukkan pada kolom formulir pemesanan/kuesioner, kosongkan saja. Oleh karena itu, kami akan mengklarifikasi semua informasi yang hilang melalui telepon.

Ulasan Terbaru

Torywild:

Saya memutuskan untuk membeli ijazah dari perusahaan Anda ketika saya pindah ke kota lain dan tidak dapat menemukan ijazah saya di antara barang-barang saya. Tanpa dia, saya tidak akan dipekerjakan untuk pekerjaan yang bagus dan bergaji tinggi. Konsultan Anda meyakinkan saya bahwa informasi ini tidak diungkapkan, dan tidak ada yang akan membedakan dokumen tersebut dari aslinya. Tidak ada keraguan, tapi saya harus mengambil risiko. Saya suka karena tidak diperlukan pembayaran di muka. Secara umum, saya menerima ijazah tepat waktu dan saya tidak tertipu. Terima kasih!

Oksana Ivanovna:

Ketika ijazah saya dicuri, saya sangat sedih. Lagipula, saya baru saja dipecat pada saat itu, dan sekarang hampir mustahil mendapatkan pekerjaan yang bagus tanpa ijazah pendidikan tinggi. Untungnya, seorang tetangga menyarankan untuk menghubungi organisasi Anda. Awalnya saya skeptis, tetapi memutuskan untuk mengambil risiko. Saya menelepon manajer perusahaan dan menjelaskan situasi saya. Dan saya beruntung! Mereka melakukan segalanya dengan cepat, dan yang terpenting, mereka berjanji tidak akan membocorkan rahasiaku. Saya khawatir fakta bahwa saya telah membeli ijazah tersebut tidak akan terungkap di kemudian hari.

Masha Kutenkova:

Terima kasih atas pekerjaannya! Saya memesan ijazah dari tahun 1991. Ketika mereka mulai mengumpulkan dokumen, ternyata pengalamannya masih sedikit, dan mereka juga membutuhkan kertas yang menegaskan pendidikan mereka. Saya tidak memilikinya, dan bos mengetahui hal ini, dan dia sendiri yang merekomendasikan perusahaan Anda (tampaknya, saya tidak seperti karyawan). Di dokumen itu, dia menunjukkan detailnya kepada saya - mereka mengatakan, pada tahun berapa mereka menggunakan tinta atau tinta, ketebalan tanda tangan, dll. Terima kasih atas ketelitian dan kualitasnya!

LenOKE:

Setelah membaca cerita tentang pemecatan yang memalukan terhadap karyawan yang ijazahnya dicetak pada printer berwarna, saya mendaftar ke universitas. Sayangnya, tidak ada anggaran, tidak ada uang untuk belajar, dan tidak ada uang untuk membayar sesi, jadi saya harus mengambil risiko. Meskipun saya sangat senang bertemu dengan perusahaan Anda. Meskipun saya tidak dipekerjakan dengan ijazah Anda karena kegagalan blok praktik, itu bukan salah Anda. Begitu saya menemukan tempat baru, saya akan langsung mendatangi Anda, tanpa penundaan!

Jerry Terry:

Melihat betapa malunya rekan saya dipecat dari pekerjaannya karena ijazah palsu, sungguh menakutkan untuk mengikuti teladannya. Jika bukan karena ibu baptis yang memesan dari Anda, saya tidak akan mengambil risiko. Dia meyakinkan bahwa semuanya baik-baik saja di sini, dan nama saya akan ada di mana pun jika diperlukan. Saya punya waktu 4 hari untuk melakukan semuanya. Terima kasih atas kecepatan Anda - kami menyelesaikannya dalam 3, dan juga berhasil mempelajari metode pemalsuan dokumen dengan cermat, tetapi formulir Anda tidak memenuhi syarat sebagai palsu, yang berarti akan dianggap asli.

andrey:

Saya tidak pernah berpikir bahwa saya harus membeli ijazah. Sepulang sekolah, putri saya pergi ke Polandia untuk bekerja; ketika dia kembali 5 tahun kemudian, dia ingin mendapatkan pekerjaan sebagai perancang pakaian di rumah mode setempat. Tanpa ijazah, tidak ada yang mau mempekerjakannya. Dia mengerti bahwa jika dia tidak mendapatkan pekerjaan ini, dia akan pergi lagi. Saya menghabiskan malam itu berselancar di Internet, dan di pagi hari saya sudah berada di kantor dengan membawa dokumen putri saya. Seminggu kemudian, dia membawa ijazahnya, dan dia akhirnya tetap bekerja di kotanya dengan posisi yang diinginkan. Anda tidak tahu betapa berterima kasihnya saya kepada Anda!

Rumus penjumlahan memungkinkan Anda menyatakan sin(2*a), cos(2*a) dan tan(a) melalui fungsi trigonometri sudut a.

1. cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

2. sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b).

3. tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

Mari kita masukkan a = b ke dalam rumus ini. Hasilnya, kami memperoleh identitas berikut:

1. dosa(2*a) = 2*dosa(a)*cos(a).

2. cos(2*a) = (cos(a)) 2 - (sin(a)) 2 .

3. tg(2*a) = (2*tg(a))/(1-(tg(a)) 2).

Identitas ini disebut rumus sudut ganda. Mari kita lihat beberapa contoh penggunaan rumus sudut ganda.

Contoh 1. Tentukan nilai sin(2*a), dengan mengetahui bahwa cos(a) = -0,8 dan a adalah sudut seperempat ke-3. Larutan:

Pertama mari kita hitung sin(a). Karena sudut a adalah kuarter ketiga, maka sinus pada kuarter ketiga akan bernilai negatif:

sin(a) = -v(1-(cos(a)) 2) = -v(1-0.64) = -v0.36 = -0.6.

Dengan menggunakan rumus sinus sudut ganda kita mempunyai:

sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*(-0.6)*(-0.8) = 0.96 .

Jawaban: sin(2*a) = 0,96.

Contoh 2. Sederhanakan persamaan sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a). Larutan:

Mari kita keluarkan sin(a)*cos(a) dari tanda kurung. Kita mendapatkan:

sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = sin(a)*cos(a)*(cos(a)) 2 - (sin(a)) 2).

Sekarang mari kita gunakan rumus sudut ganda:

= (1/2)*(2*sin(a)*cos(a))*cos(2*a) = (1/2)*sin(2*a)*sin(2*a) = (1 /4)*dosa(4*a).

Jawaban: sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = (1/4)*sin(4*a).

Dengan menggunakan rumus sudut ganda, Anda dapat memperoleh ekspresi berikut

1 - cos(2*a) = 2*(dosa(a)) 2 ,

1 + cos(2*a) = 2*(cos(a)) 2 .

Terkadang saat menyelesaikan contoh, sangat mudah menggunakan rumus ini. Perhatikan contoh berikut:

Contoh 3. Sederhanakan persamaan (1-cos(a))/(1+cos(a)). Larutan:

Mari kita terapkan rumus yang tertulis di atas untuk ekspresi (1-cos(a)) dan (1+cos(a)). Untuk melakukan ini, pertama-tama kita nyatakan sudut a dalam bentuk hasil kali berikut 2*(a/2).

Sebagai hasil dari transformasi yang kita peroleh:

(1-cos(a))/(1+cos(a)) = (2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2),

Dengan menggunakan definisi tangen kita mempunyai:

(2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2)= (tg(a/2)) 2 .

Jawaban: (1-cos(a))/(1+cos(a))= (tg(a/2)) 2 .

– pasti akan ada tugas trigonometri. Trigonometri sering kali tidak disukai karena harus menjejalkan sejumlah besar rumus sulit yang penuh dengan sinus, cosinus, garis singgung, dan kotangen. Situs tersebut sudah pernah memberikan nasehat bagaimana cara mengingat rumus yang terlupakan, dengan menggunakan contoh rumus Euler dan Peel.

Dan dalam artikel ini kami akan mencoba menunjukkan bahwa mengetahui dengan pasti lima rumus trigonometri sederhana saja sudah cukup, dan memiliki pemahaman umum tentang rumus lainnya serta menurunkannya seiring berjalannya waktu. Ini seperti DNA: molekul tidak menyimpan cetak biru lengkap makhluk hidup. Sebaliknya, ini berisi instruksi untuk merakitnya dari asam amino yang tersedia. Jadi dalam trigonometri, dengan mengetahui beberapa prinsip umum, kita akan mendapatkan semua rumus yang diperlukan dari sekumpulan kecil rumus yang harus diingat.

Kami akan mengandalkan rumus berikut:

Dari rumus jumlah sinus dan cosinus, mengetahui paritas fungsi kosinus dan keanehan fungsi sinus, dengan mensubstitusi -b sebagai pengganti b, kita memperoleh rumus selisih:

1. Sinus perbedaannya: dosa(a-b) = dosaAkarena(-B)+karenaAdosa(-B) = dosaAkarenaB-karenaAdosaB
2. Kosinus selisihnya: karena(a-b) = karenaAkarena(-B)-dosaAdosa(-B) = karenaAkarenaB+dosaAdosaB

Dengan memasukkan a = b ke dalam rumus yang sama, kita memperoleh rumus sinus dan cosinus sudut ganda:

1. Sinus sudut ganda: dosa2a = dosa(a+a) = dosaAkarenaA+karenaAdosaA = 2dosaAkarenaA
2. Kosinus sudut ganda: karena2a = karena(a+a) = karenaAkarenaA-dosaAdosaA = karena2a-dosa2a

Rumus untuk beberapa sudut lainnya diperoleh dengan cara yang sama:

1. Sinus sudut rangkap tiga: dosa3a = dosa(2a+a) = dosa2akarenaA+karena2adosaA = (2dosaAkarenaA)karenaA+(karena2a-dosa2a)dosaA = 2dosaAkarena2a+dosaAkarena2a-dosa 3a = 3 dosaAkarena2a-dosa 3a = 3 dosaA(1-dosa2a)-dosa 3a = 3 dosaA-4dosa 3a
2. Kosinus sudut rangkap tiga: karena3a = karena(2a+a) = karena2akarenaA-dosa2adosaA = (karena2a-dosa2a)karenaA-(2dosaAkarenaA)dosaA = karena 3 a- dosa2akarenaA-2dosa2akarenaA = karena 3a-3 dosa2akarenaA = karena 3a-3(1- karena2a)karenaA = 4karena 3a-3 karenaA

Sebelum kita melanjutkan, mari kita lihat satu masalah.
Diketahui: sudutnya lancip.
Temukan kosinusnya jika
Solusi yang diberikan oleh salah satu siswa:
Karena , Itu dosaA= 3,a karenaA = 4.
(Dari humor matematika)

Jadi, definisi tangen menghubungkan fungsi ini dengan sinus dan kosinus. Namun Anda bisa mendapatkan rumus yang menghubungkan garis singgung hanya dengan kosinus. Untuk menurunkannya, kita mengambil identitas trigonometri utama: dosa 2 A+karena 2 A= 1 dan membaginya dengan karena 2 A. Kita mendapatkan:

Jadi solusi untuk masalah ini adalah:

(Karena sudutnya lancip, saat mengekstrak akar, diambil tanda +)

Rumus tangen suatu penjumlahan adalah rumus lain yang sulit diingat. Mari kita output seperti ini:

Segera ditampilkan dan

Dari rumus kosinus sudut ganda, Anda bisa mendapatkan rumus sinus dan kosinus setengah sudut. Untuk melakukan ini, di sisi kiri rumus kosinus sudut ganda:
karena2 A = karena 2 A-dosa 2 A
kami menambahkan satu, dan di sebelah kanan - satuan trigonometri, mis. jumlah kuadrat sinus dan cosinus.
karena2a+1 = karena2a-dosa2a+karena2a+dosa2a
2karena 2 A = karena2 A+1
Mengekspresikan karenaA melalui karena2 A dan melakukan perubahan variabel, kita mendapatkan:

Tandanya diambil tergantung kuadrannya.

Demikian pula, dengan mengurangkan satu dari ruas kiri persamaan dan jumlah kuadrat sinus dan kosinus dari ruas kanan, kita memperoleh:
karena2a-1 = karena2a-dosa2a-karena2a-dosa2a
2dosa 2 A = 1-karena2 A

Dan terakhir, untuk mengubah jumlah fungsi trigonometri menjadi suatu hasil kali, kita menggunakan teknik berikut. Katakanlah kita perlu merepresentasikan jumlah sinus sebagai sebuah hasil kali dosaA+dosaB. Mari kita perkenalkan variabel x dan y sehingga a = x+y, b+x-y. Kemudian
dosaA+dosaB = dosa(x+y)+ dosa(x-y) = dosa X karena kamu+ karena X dosa kamu+ dosa X karena kamu- karena X dosa kamu=2 dosa X karena kamu. Sekarang mari kita nyatakan x dan y dalam bentuk a dan b.

Karena a = x+y, b = x-y, maka . Itu sebabnya

Anda dapat segera menariknya

1. Rumus untuk mempartisi hasil kali sinus dan kosinus V jumlah: dosaAkarenaB = 0.5(dosa(a+b)+dosa(a-b))

Kami menyarankan Anda berlatih dan mendapatkan rumus sendiri untuk mengubah selisih sinus dan jumlah serta selisih cosinus menjadi hasil kali, serta untuk membagi hasil kali sinus dan cosinus menjadi jumlah. Setelah menyelesaikan latihan ini, Anda akan benar-benar menguasai keterampilan menurunkan rumus trigonometri dan tidak akan tersesat bahkan dalam ujian, olimpiade, atau ujian yang paling sulit sekalipun.