Wzory trygonometryczne: cosinus, sinus i tangens kąta podwójnego. Wzory trygonometryczne: cosinus, sinus i tangens kąta podwójnego Wyprowadzenie wzoru na sinus kąta podwójnego

W trygonometrii wiele wzorów łatwiej jest wyprowadzić niż zapamiętać. Cosinus podwójnego kąta to wspaniały wzór! Pozwala uzyskać wzory na redukcje stopni i wzory na półkąty.

Potrzebujemy więc cosinusa podwójnego kąta i jednostki trygonometrycznej:

Są nawet podobne: we wzorze na cosinus podwójnego kąta jest to różnica między kwadratami cosinusa i sinusa, a w jednostce trygonometrycznej jest to ich suma. Jeśli wyrazimy cosinus z jednostki trygonometrycznej:

i podstawiamy go do cosinusa kąta podwójnego, otrzymujemy:

To kolejny wzór na cosinus podwójnego kąta:

Wzór ten jest kluczem do uzyskania wzoru redukcyjnego:

Zatem wzór na zmniejszenie stopnia sinusa jest następujący:

Jeśli w nim kąt alfa zastąpimy półkątem alfa na pół, a podwójny kąt dwa alfa zastąpimy kątem alfa, wówczas otrzymamy wzór na kąt połówkowy dla sinusa:

Teraz możemy wyrazić sinus z jednostki trygonometrycznej:

Zastąpmy to wyrażenie wzorem na cosinus podwójnego kąta:

Mamy inny wzór na cosinus kąta podwójnego:

Wzór ten jest kluczem do znalezienia wzoru na redukcję potęgi cosinusa i kąta połówkowego cosinusa.

Zatem wzór na zmniejszenie stopnia cosinusa jest następujący:

Jeśli zastąpimy α przez α/2 i 2α przez α, otrzymamy wzór na półargument dla cosinusa:

Ponieważ tangens jest stosunkiem sinusa do cosinusa, wzór na tangens jest następujący:

Cotangens to stosunek cosinusa do sinusa. Zatem wzór na cotangens wygląda następująco:

Oczywiście w procesie upraszczania wyrażeń trygonometrycznych nie ma sensu wyprowadzać za każdym razem wzoru na połowę kąta czy zmniejszać stopień. O wiele łatwiej jest położyć przed sobą kartkę papieru z wzorami. A uproszczenia będą postępować szybciej, a pamięć wzrokowa włączy zapamiętywanie.

Ale nadal warto kilka razy wyprowadzać te wzory. Będziesz wtedy mieć absolutną pewność, że podczas egzaminu, gdy nie ma możliwości skorzystania ze ściągawek, bez problemu je zdobędziesz, jeśli zajdzie taka potrzeba.

Najczęściej zadawane pytania

Czy możliwe jest wykonanie stempla na dokumencie według dostarczonego wzoru? Odpowiedź Tak, to możliwe. Wyślij zeskanowaną kopię lub dobrej jakości zdjęcie na nasz adres e-mail, a my wykonamy niezbędny duplikat.

Jakie rodzaje płatności akceptujesz? Odpowiedź Za dokument możesz zapłacić przy odbiorze przez kuriera, po sprawdzeniu poprawności wypełnienia i jakości wykonania dyplomu. Można tego również dokonać w placówkach firm pocztowych oferujących usługę płatności za pobraniem.
Wszelkie warunki dostawy i płatności za dokumenty opisane są w dziale „Płatność i dostawa”. Chętnie wysłuchamy także Państwa sugestii dotyczących warunków dostawy i płatności za dokument.

Czy mogę mieć pewność, że po złożeniu zamówienia nie znikniesz z moimi pieniędzmi? Odpowiedź Mamy dość długie doświadczenie w zakresie produkcji dyplomów. Mamy kilka stron internetowych, które są stale aktualizowane. Nasi specjaliści pracują w różnych częściach kraju, wytwarzając ponad 10 dokumentów dziennie. Na przestrzeni lat nasze dokumenty pomogły wielu osobom rozwiązać problemy z zatrudnieniem lub przejść na lepiej płatną pracę. Zdobyliśmy zaufanie i uznanie wśród klientów, więc nie ma powodu, abyśmy to robili. Co więcej, fizycznie nie da się tego zrobić: płacisz za swoje zamówienie w momencie otrzymania go w ręce, nie ma przedpłaty.

Czy mogę zamówić dyplom z dowolnej uczelni? Odpowiedź Ogólnie rzecz biorąc, tak. Działamy w tej branży już prawie 12 lat. W tym czasie powstała niemal kompletna baza dokumentów wydanych przez niemal wszystkie uczelnie w kraju i dla różnych lat wydawania. Wystarczy wybrać uczelnię, specjalność, dokument i wypełnić formularz zamówienia.

Co zrobić, jeśli znajdziesz literówki i błędy w dokumencie? Odpowiedź Otrzymując dokument od naszej firmy kurierskiej lub pocztowej, zalecamy dokładne sprawdzenie wszystkich szczegółów. W przypadku wykrycia literówki, błędu lub nieścisłości masz prawo nie odebrać dyplomu, jednak wykryte wady musisz zgłosić kurierowi osobiście lub pisemnie poprzez wysłanie wiadomości e-mail.
Poprawimy dokument tak szybko, jak to możliwe i wyślemy go ponownie na podany adres. Oczywiście przesyłkę pokrywa nasza firma.
Aby uniknąć takich nieporozumień, przed wypełnieniem pierwotnego formularza przesyłamy klientowi e-mailem makietę przyszłego dokumentu w celu sprawdzenia i zatwierdzenia wersji ostatecznej. Przed wysłaniem dokumentu kurierem lub pocztą wykonujemy także dodatkowe zdjęcia i filmy (m.in. w świetle ultrafioletowym), abyś miał jasny obraz tego, co ostatecznie otrzymasz.

Co zrobić, żeby zamówić dyplom w Waszej firmie? Odpowiedź Aby zamówić dokument (świadectwo, dyplom, świadectwo akademickie itp.) należy wypełnić formularz zamówienia online na naszej stronie internetowej lub podać swój adres e-mail, abyśmy mogli przesłać Państwu formularz zgłoszeniowy, który należy wypełnić i odesłać do nas.
Jeżeli nie wiesz co wpisać w którymkolwiek polu formularza zamówienia/ankiety, zostaw je puste. Dlatego wszelkie brakujące informacje wyjaśnimy telefonicznie.

Najnowsze recenzje

Torywild:

Zdecydowałem się na zakup dyplomu w Waszej firmie po przeprowadzce do innego miasta i nie mogłem znaleźć dyplomu wśród swoich rzeczy. Bez niego nie zostałbym zatrudniony do dobrej, dobrze płatnej pracy. Twój konsultant zapewnił mnie, że ta informacja nie jest ujawniana i nikt nie będzie odróżniał dokumentu od oryginału. Nie było wątpliwości, ale musiałem zaryzykować. Podobało mi się, że nie jest wymagana przedpłata. Generalnie dyplom otrzymałem w terminie i nie dałem się oszukać. Dziękuję!

Oksana Iwanowna:

Kiedy skradziono mi dyplom, bardzo się zdenerwowałem. Przecież właśnie wtedy zostałem zwolniony, a teraz bez dyplomu ukończenia studiów wyższych prawie nie da się znaleźć dobrej pracy. Na szczęście sąsiad zasugerował skontaktowanie się z Twoją organizacją. Na początku byłem sceptyczny, ale zdecydowałem się zaryzykować. Zadzwoniłem do menadżera firmy i wyjaśniłem moją sytuację. I mam szczęście! Zrobili wszystko błyskawicznie, a co najważniejsze obiecali nie zdradzać mojego sekretu. Martwiłam się, że fakt, że kupiłam dyplom, nie wyjdzie później na jaw.

Masza Kutenkowa:

Dziękuję za pracę! Zamówiłem dyplom z 1991 roku. Kiedy zaczęli zbierać dokumenty, okazało się, że doświadczenia są niewielkie, potrzebowali też zaświadczenia potwierdzającego wykształcenie. Ja nie miałam, a szefowa o tym wiedziała i sama poleciła Waszą firmę (najwyraźniej nie jestem pracownikiem). Na dokumencie wskazała mi szczegóły - mówią, w jakich latach używają atramentu lub atramentu, grubość podpisu itp. Dziękuję za skrupulatność i jakość!

LenOK:

Po przeczytaniu historii o haniebnych zwolnieniach pracowników, których dyplomy wydrukowano na kolorowej drukarce, poszedłem aplikować na uczelnię. Niestety, nie ma budżetu, nie ma pieniędzy na naukę ani na opłacenie sesji, więc musiałem zaryzykować. Chociaż bardzo się cieszę, że poznałem Waszą firmę. Choć nie zostałem zatrudniony z Twoim dyplomem ze względu na niezaliczenie bloku praktycznego, to nie jest to Twoja wina. Gdy tylko znajdę nowe miejsce, bezzwłocznie przyjdę prosto do Ciebie!

Jerry Terry:

Patrząc z jakim zawstydzeniem wyrzucono mojego kolegę z pracy za fałszywy dyplom, aż strach było pójść za jego przykładem. Gdyby nie matka chrzestna, która u Was zamówiła, nie podjęłabym ryzyka. Zapewniła, że ​​tutaj wszystko jest w porządku, a moje nazwisko będzie wszędzie, gdzie będzie potrzebne. Miałem 4 dni na zrobienie wszystkiego. Dziękujemy za szybkość - ukończyliśmy to w 3, udało nam się również szczegółowo przestudiować metody fałszowania dokumentów, ale Twój formularz nie kwalifikuje się jako podróbka, co oznacza, że ​​będzie uchodził za oryginał.

Andriej:

Nigdy bym nie pomyślała, że ​​będę musiała kupić dyplom. Córka po szkole wyjechała do pracy do Polski, a kiedy wróciła po 5 latach, chciała dostać pracę jako projektantka odzieży w lokalnym domu mody. Bez dyplomu nikt nie chciał jej zatrudnić. Rozumiał, że jeśli nie dostanie tej pracy, ponownie odejdzie. Wieczór spędziłem surfując po Internecie, a rano byłem już w biurze z dokumentami córki. Tydzień później zabrał ze sobą dyplom, a ona w końcu została, aby pracować w swoim mieście na wymarzonym stanowisku. Nawet nie masz pojęcia, jak bardzo jestem Ci wdzięczny!

Wzory na dodawanie pozwalają wyrazić sin(2*a), cos(2*a) i tg(a) poprzez funkcje trygonometryczne kąta a.

1. cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - grzech(a)*grzech(b).

2. grzech(a+b) = grzech(a)*cos(b) + cos(a)*grzech(b).

3. tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

Umieśćmy a = b w tych wzorach. W rezultacie otrzymujemy następujące tożsamości:

1. sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a).

2. cos(2*a) = (cos(a)) 2 - (sin(a)) 2 .

3. tg(2*a) = (2*tg(a))/(1-(tg(a)) 2).

Tożsamości te nazywane są wzorami podwójnego kąta. Spójrzmy na kilka przykładów użycia wzorów na podwójny kąt.

Przykład 1. Znajdź wartość sin(2*a), wiedząc, że cos(a) = -0,8 i a jest kątem w trzeciej ćwiartce. Rozwiązanie:

Najpierw obliczmy sin(a). Ponieważ kąt a jest trzecią ćwiartką, sinus w trzeciej ćwiartce będzie ujemny:

sin(a) = -v(1-(cos(a)) 2) = -v(1-0,64) = -v0,36 = -0,6.

Korzystając ze wzoru na sinus podwójnego kąta mamy:

sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*(-0,6)*(-0,8) = 0,96 .

Odpowiedź: sin(2*a) = 0,96.

Przykład 2. Uprość wyrażenie sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a). Rozwiązanie:

Usuńmy sin(a)*cos(a) z nawiasów. Otrzymujemy:

sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = sin(a)*cos(a)*(cos(a)) 2 - (sin(a)) 2).

Skorzystajmy teraz ze wzorów na kąt podwójny:

= (1/2)*(2*sin(a)*cos(a))*cos(2*a) = (1/2)*sin(2*a)*sin(2*a) = (1 /4)*grzech(4*a).

Odpowiedź: sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = (1/4)*sin(4*a).

Korzystając ze wzorów na kąt podwójny, można uzyskać następujące wyrażenia

1 - cos(2*a) = 2*(sin(a)) 2 ,

1 + cos(2*a) = 2*(cos(a)) 2 .

Czasami przy rozwiązywaniu przykładów bardzo wygodnie jest używać tych formuł. Rozważ następujący przykład:

Przykład 3. Uprość wyrażenie (1-cos(a))/(1+cos(a)). Rozwiązanie:

Zastosujmy powyższe wzory do wyrażeń (1-cos(a)) i (1+cos(a)). Aby to zrobić, najpierw przedstawiamy kąt a w postaci iloczynu 2*(a/2).

W wyniku przekształceń otrzymujemy:

(1-cos(a))/(1+cos(a)) = (2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2),

Korzystając z definicji tangensa mamy:

(2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2)= (tg(a/2)) 2 .

Odpowiedź: (1-cos(a))/(1+cos(a))= (tg(a/2)) 2 .

– na pewno nie zabraknie zadań z trygonometrii. Trygonometria jest często nielubiana ze względu na konieczność upchania ogromnej liczby trudnych wzorów, pełnych sinusów, cosinusów, stycznych i kotangentów. Serwis już kiedyś udzielał porad, jak zapamiętać zapomnianą formułę, posługując się przykładem formuł Eulera i Peela.

W tym artykule postaramy się pokazać, że wystarczy dobrze znać tylko pięć prostych wzorów trygonometrycznych, a resztę mieć ogólne pojęcie i na bieżąco je wyprowadzać. To tak jak z DNA: cząsteczka nie przechowuje pełnych planów gotowej żywej istoty. Zawiera raczej instrukcje składania go z dostępnych aminokwasów. Zatem w trygonometrii, znając pewne ogólne zasady, wszystkie niezbędne wzory otrzymamy z małego zestawu tych, o których należy pamiętać.

Będziemy opierać się na następujących wzorach:

Ze wzorów na sumę sinus i cosinus, znając parzystość funkcji cosinus i nieparzystość funkcji sinus, podstawiając -b zamiast b, otrzymujemy wzory na różnice:

1. Sinus różnicy: grzech(a-b) = grzechAsałata(-B)+sałataAgrzech(-B) = grzechAsałataB-sałataAgrzechB
2. Cosinus różnicy: sałata(a-b) = sałataAsałata(-B)-grzechAgrzech(-B) = sałataAsałataB+grzechAgrzechB

Wstawiając a = b do tych samych wzorów, otrzymujemy wzory na sinus i cosinus kątów podwójnych:

1. Sinus podwójnego kąta: grzech2a = grzech(a+a) = grzechAsałataA+sałataAgrzechA = 2grzechAsałataA
2. Cosinus podwójnego kąta: sałata2a = sałata(a+a) = sałataAsałataA-grzechAgrzechA = sałata2a-grzech2a

Wzory na inne kąty wielokrotne uzyskuje się w podobny sposób:

1. Sinus potrójnego kąta: grzech3a = grzech(2a+a) = grzech2asałataA+sałata2agrzechA = (2grzechAsałataA)sałataA+(sałata2a-grzech2a)grzechA = 2grzechAsałata2a+grzechAsałata2a-grzech 3 a = 3 grzechAsałata2a-grzech 3 a = 3 grzechA(1-grzech2a)-grzech 3 a = 3 grzechA-4grzech 3a
2. Cosinus potrójnego kąta: sałata3a = sałata(2a+a) = sałata2asałataA-grzech2agrzechA = (sałata2a-grzech2a)sałataA-(2grzechAsałataA)grzechA = sałata 3 a- grzech2asałataA-2grzech2asałataA = sałata 3 a-3 grzech2asałataA = sałata 3 a-3(1- sałata2a)sałataA = 4sałata 3 a-3 sałataA

Zanim przejdziemy dalej, spójrzmy na jeden problem.
Dane: kąt jest ostry.
Znajdź jego cosinus jeśli
Rozwiązanie podane przez jednego ucznia:
Ponieważ , To grzechA= 3,a sałataA = 4.
(Z humoru matematycznego)

Zatem definicja tangensa wiąże tę funkcję zarówno z sinusem, jak i cosinusem. Ale możesz otrzymać wzór, który wiąże tangens tylko z cosinusem. Aby to wyprowadzić, bierzemy główną tożsamość trygonometryczną: grzech 2 A+sałata 2 A= 1 i podziel przez sałata 2 A. Otrzymujemy:

Zatem rozwiązaniem tego problemu byłoby:

(Ponieważ kąt jest ostry, podczas wyodrębniania korzenia brany jest znak +)

Kolejnym trudnym do zapamiętania wzorem jest wzór na tangens sumy. Wypiszmy to w ten sposób:

Natychmiast wyświetlane i

Ze wzoru na cosinus dla kąta podwójnego można uzyskać wzory na sinus i cosinus dla kąta połówkowego. Aby to zrobić, po lewej stronie wzoru na cosinus podwójnego kąta:
sałata2 A = sałata 2 A-grzech 2 A
dodajemy jeden, a po prawej - jednostkę trygonometryczną, tj. suma kwadratów sinusa i cosinusa.
sałata2a+1 = sałata2a-grzech2a+sałata2a+grzech2a
2sałata 2 A = sałata2 A+1
Wyrażający sałataA Poprzez sałata2 A i dokonując zmiany zmiennych, otrzymujemy:

Znak jest przyjmowany w zależności od ćwiartki.

Podobnie, odejmując jeden od lewej strony równości i sumę kwadratów sinusa i cosinusa od prawej, otrzymujemy:
sałata2a-1 = sałata2a-grzech2a-sałata2a-grzech2a
2grzech 2 A = 1-sałata2 A

I na koniec, aby przeliczyć sumę funkcji trygonometrycznych na iloczyn, stosujemy następującą technikę. Powiedzmy, że musimy przedstawić sumę sinusów jako iloczyn grzechA+grzechB. Wprowadźmy zmienne x i y takie, że a = x+y, b+x-y. Następnie
grzechA+grzechB = grzech(x+y)+ grzech(x-y) = grzech X sałata ty+ sałata X grzech ty+ grzech X sałata y- sałata X grzech y=2 grzech X sałata y. Wyraźmy teraz x i y za pomocą aib.

Ponieważ a = x+y, b = x-y, to . Dlatego

Możesz natychmiast się wycofać

1. Wzór na partycjonowanie produkty sinusa i cosinusa V kwota: grzechAsałataB = 0.5(grzech(a+b)+grzech(a-b))

Zalecamy samodzielne ćwiczenie i wyprowadzanie wzorów na przeliczanie różnicy sinusów oraz sumy i różnicy cosinusów na iloczyn, a także na dzielenie iloczynów sinusów i cosinusów na sumę. Po wykonaniu tych ćwiczeń doskonale opanujesz umiejętność wyprowadzania wzorów trygonometrycznych i nie zgubisz się nawet w najtrudniejszym teście, olimpiadzie czy teście.