Ortalama ne gösteriyor. Özet: İstatistiklerde kullanılan ortalama değerler

6-7. sınıf matematik programında aritmetik ve geometrik ortalama konusuna yer verilmektedir. Paragrafın anlaşılması oldukça kolay olduğu için hızlı bir şekilde geçilir ve sonuç şudur: okul yılıöğrenciler unutur. Ancak bunun için temel istatistik bilgisi gereklidir. sınavı geçmek, yanı sıra uluslararası SAT sınavları için. evet ve için Günlük yaşam gelişmiş analitik düşünce asla acıtmaz.

Sayıların aritmetik ve geometrik ortalaması nasıl hesaplanır

Diyelim ki bir dizi sayı var: 11, 4 ve 3. Aritmetik ortalama, tüm sayıların toplamının verilen sayıların sayısına bölümüdür. Yani 11, 4, 3 sayıları için cevap 6 olacaktır. 6 nasıl elde edilir?

Çözüm: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Payda, ortalaması bulunacak sayıların sayısına eşit bir sayı içermelidir. Üç terim olduğu için toplam 3'e bölünebilir.

Şimdi geometrik ortalama ile ilgilenmemiz gerekiyor. Diyelim ki bir dizi sayı var: 4, 2 ve 8.

Geometrik ortalama, verilen sayıların sayısına eşit derecede bir kökün altındaki tüm verilen sayıların ürünüdür.Yani 4, 2 ve 8 sayıları için cevap 4'tür. :

Çözüm: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Her iki seçenekte de özel sayılar örnek alındığı için tam cevaplar alınmıştır. Bu her zaman böyle değildir. Çoğu durumda, yanıtın yuvarlanması veya kökte bırakılması gerekir. Örneğin, 11, 7 ve 20 sayıları için aritmetik ortalama ≈ 12.67 ve geometrik ortalama ∛ 1540'tır. Ve 6 ve 5 sayıları için cevaplar sırasıyla 5.5 ve √30 olacaktır.

Aritmetik ortalama geometrik ortalamaya eşit olabilir mi?

Elbette olabilir. Ama sadece iki durumda. Yalnızca bir veya sıfırdan oluşan bir sayı dizisi varsa. Cevabın sayılarına bağlı olmaması da dikkat çekicidir.

Birimlerle ispat: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetik ortalama).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrik ortalama).

Sıfırlarla ispat: (0 + 0) / 2=0 (aritmetik ortalama).

√(0 × 0) = 0 (geometrik ortalama).

Başka bir seçenek yoktur ve olamaz.

Matematik ve istatistikte ortalama aritmetik (veya kolayca ortalama) sayı kümesindeki tüm sayıların toplamının sayılarına bölümüdür. Aritmetik ortalama, ortalamanın özellikle genel ve en yaygın temsilidir.

İhtiyacın olacak

• Matematikte bilgi.

Talimat

1. Dört sayı kümesi verilsin. keşfetmek gerekiyor ortalama anlam bu kit. Bunu yapmak için önce tüm bu sayıların toplamını buluruz. Bu sayılar 1, 3, 8, 7 olabilir. Toplamları S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19'a eşittir. Sayı kümesi aynı işaretli sayılardan oluşmalıdır, aksi takdirde ortalama değeri hesaplamanın anlamı kayıp.

2. Ortalama anlam sayılar kümesi S sayılarının toplamının bu sayıların sayısına bölünmesine eşittir. Yani, ortaya çıkıyor ortalama anlam eşittir: 19/4 = 4.75.

3. Bir dizi sayı için, yalnızca ortalama aritmetik, ancak ortalama geometrik. Birkaç normal gerçek sayının geometrik ortalaması, çarpımlarının değişmemesi için bu sayılardan herhangi birinin yerine geçmesine izin verilen bir sayıdır. Geometrik ortalama G şu formülle aranır: bir sayı kümesinin N'inci derecenin kökü, burada N kümedeki sayının sayısıdır. Aynı sayı kümesine bakalım: 1, 3, 8, 7. Onları bulalım. ortalama geometrik. Bunu yapmak için ürünü hesaplıyoruz: 1 * 3 * 8 * 7 = 168. Şimdi 168 sayısından 4. derecenin kökünü çıkarmanız gerekiyor: G = (168) ^ 1/4 = 3.61. Böylece ortalama geometrik sayılar kümesi 3.61'dir.

Ortalama geometrik ortalama, aritmetik ortalamadan daha az kullanılır, ancak zamanla değişen göstergelerin (bireysel çalışanın maaşı, akademik performansın dinamikleri vb.) ortalama değerinin hesaplanmasında faydalı olabilir.

İhtiyacın olacak

• Mühendislik Hesap Makinesi

Talimat

1. Bir sayı dizisinin geometrik ortalamasını bulmak için önce tüm bu sayıları çarpmanız gerekir. Diyelim ki size beş gösterge verildi: 12, 3, 6, 9 ve 4. Tüm bu sayıları çarpalım: 12x3x6x9x4 = 7776.

2. Şimdi, elde edilen sayıdan, dizinin eleman sayısına eşit derecenin kökünü çıkarmak gerekir. Bizim durumumuzda, 7776 sayısından beşinci derece kökü kullanarak çıkarmak gerekli olacaktır. mühendislik hesap makinesi. Bu işlemden sonra elde edilen sayı - bu durumda 6 sayısı - ilk sayı grubunun geometrik ortalaması olacaktır.

3. Elinizde bir mühendislik hesap makinesi yoksa, Excel'deki CPGEOM işlevi desteğiyle veya geometrik ortalama değerlerini hesaplamak için özel olarak hazırlanmış çevrimiçi hesap makinelerinden birini kullanarak bir dizi sayının geometrik ortalamasını hesaplayabilirsiniz.

Not!
2 sayı için her birinin geometrik ortalamasını bulmanız gerekiyorsa, mühendislik hesaplayıcısına ihtiyacınız yoktur: 2. derecenin kökünü çıkarın ( Kare kök) en sıradan hesap makinesinin yardımıyla herhangi bir sayıdan izin verilir.

faydalı tavsiye
Aritmetik ortalamanın aksine, geometrik ortalama, incelenen gösterge setindeki bireysel değerler arasındaki büyük sapmalardan ve dalgalanmalardan o kadar güçlü bir şekilde etkilenmez.

Ortalama değer, bir dizi sayının harmanlamalarından biridir. Bu sayı kümesindeki en büyük ve en küçük değerlerle tanımlanan aralığın dışında olamayacak bir sayıyı temsil eder. Ortalama bir aritmetik değer, özellikle yaygın olarak kullanılan bir ortalama çeşididir.

Talimat

1. Aritmetik ortalamayı elde etmek için kümedeki tüm sayıları toplayın ve terim sayısına bölün. Belirli hesaplama koşullarına bağlı olarak, sayılardan herhangi birini kümenin değer sayısına bölmek ve toplamı toplamak bazen daha kolaydır.

2. Örneğin, aritmetik ortalamayı kafanızda hesaplamak mümkün değilse, Windows işletim sistemiyle birlikte verilen hesap makinesini kullanın. Program başlatma iletişim kutusunun desteğiyle açılabilir. Bunu yapmak için "yazma tuşları" WIN + R tuşlarına basın veya "Başlat" düğmesini tıklayın ve ana menüden "Çalıştır" komutunu seçin. Bundan sonra, giriş alanına calc yazın ve klavyede Enter tuşuna basın veya "Tamam" düğmesini tıklayın. Aynısı ana menüden de yapılabilir - açın, "Tüm Programlar" bölümüne ve "Tipik" bölümlere gidin ve "Hesap Makinesi" satırını seçin.

3. Tüm sayıların ardından klavyedeki Artı tuşuna basarak (son sayının yanı sıra) veya hesap makinesi arayüzünde ilgili düğmeye tıklayarak kümedeki tüm sayıları adım adım girin. Hem klavyeden hem de ilgili arayüz düğmelerine tıklayarak sayıların girilmesine de izin verilir.

4. Son ayarlanan değeri girdikten sonra hesap makinesi arayüzünde eğik çizgi tuşuna basın veya bu simgeye tıklayın ve dizideki sayı sayısını yazın. Ardından eşittir işaretine basın, hesap makinesi aritmetik ortalamayı hesaplayacak ve gösterecektir.

5. Aynı amaç için elektronik tablo düzenleyicisi Microsoft Excel'in kullanılmasına izin verilir. Bu durumda, düzenleyiciyi başlatın ve sayı dizisinin tüm değerlerini bitişik hücrelere girin. Tüm sayıyı girdikten sonra Enter'a veya aşağı veya sağ ok tuşuna basarsanız, düzenleyicinin kendisi giriş odağını bitişik hücreye taşır.

6. Girilen tüm değerleri seçin ve editör penceresinin sol alt köşesinde (durum çubuğunda) seçilen hücreler için aritmetik ortalamayı göreceksiniz.

7. Yalnızca aritmetik ortalamayı görmeyi tercih ediyorsanız, girdiğiniz son sayının yanındaki hücreyi tıklayın. Açılır listeyi, "Temel" sekmesindeki "Düzenleme" komut grubundaki Yunanca sigma (Σ) harfinin görüntüsüyle genişletin. Satırı seçin " Ortalama” ve editör, seçilen hücredeki aritmetik ortalamayı hesaplamak için gerekli formülü ekleyecektir. Enter tuşuna basın ve değer hesaplanacaktır.

Aritmetik ortalama, matematik ve istatistiksel hesaplamalarda yaygın olarak kullanılan merkezi eğilim ölçülerinden biridir. Birkaç değerin aritmetik ortalamasını bulmak çok kolaydır, ancak her görevin doğru hesaplamaları yapmak için bilmeniz gereken kendi nüansları vardır.

aritmetik ne demek

Aritmetik ortalama, her bir ilk sayı dizisi için ortalama değeri belirler. Başka bir deyişle, belirli bir sayı kümesinden, tüm öğeler için evrensel olan ve tüm öğelerle matematiksel karşılaştırması yaklaşık olarak eşit olan bir değer seçilir. Aritmetik ortalama, tercihen mali ve istatistiksel raporları derlerken veya gerçekleştirilen benzer becerilerin nicel sonuçlarını hesaplarken kullanılır.

Aritmetik ortalama nasıl bulunur

Bir sayı dizisi için aritmetik ortalamanın aranması, bu değerlerin cebirsel toplamını belirleyerek başlamalıdır. Örneğin, dizi 23, 43, 10, 74 ve 34 sayılarını içeriyorsa, bunların cebirsel toplamı 184 olacaktır. Yazarken, aritmetik ortalama harfle gösterilir? (mu) veya x (bir tire ile x). Ardından, cebirsel toplam, dizideki sayıların sayısına bölünmelidir. Bu örnekte beş sayı vardı, bu nedenle aritmetik ortalama 184/5 ve 36.8 olacaktır.

Negatif sayılarla çalışmanın özellikleri

Dizi negatif sayılar içeriyorsa, benzer bir algoritma kullanılarak aritmetik ortalama bulunur. Yalnızca programlama ortamında hesaplama yaparken veya görevde ek veriler varsa fark vardır. Bu durumlarda, farklı işaretli sayıların aritmetik ortalamasını bulmak üç adıma iner: 1. Genel aritmetik ortalamayı standart yoldan bulma; 2. Negatif sayıların aritmetik ortalamasını bulma.3. Pozitif sayıların aritmetik ortalamasının hesaplanması Eylemlerden herhangi birinin sonuçları virgülle ayrılmış olarak yazılır.

Doğal ve ondalık kesirler

Bir sayı dizisi sunulursa ondalık sayılar, çözüm tamsayıların aritmetik ortalamasını hesaplama yöntemine göre gerçekleşir, ancak sonucun doğruluğu için problemin gereksinimlerine göre toplam azaltılır.Doğal kesirler ile çalışırken, ortak bir paydaya indirgenmeleri gerekir, dizideki sayıların sayısıyla çarpılan sayı. Sonucun payı, ilk kesirli elemanların azaltılmış paylarının toplamı olacaktır.

Sayıların geometrik ortalaması, yalnızca sayıların mutlak değerine değil, aynı zamanda sayılarına da bağlıdır. Geometrik ortalama ile ortalamayı karıştırmak imkansızdır. aritmetik sayılar, farklı metodolojiler üzerinde oldukları gerçeğinden. Geometrik ortalama, her zaman aritmetik ortalamadan küçük veya ona eşittir.

İhtiyacın olacak

• Mühendislik hesap makinesi.

Talimat

1. Genel durumda, sayıların geometrik ortalamasının, bu sayıların çarpılması ve onlardan sayıların sayısına karşılık gelen derecenin kökünün çıkarılmasıyla bulunduğunu düşünün. Diyelim ki, beş sayının geometrik ortalamasını bulmanız gerekiyorsa, o zaman üründen beşinci derecenin kökünü çıkarmanız gerekecektir.

2. 2 sayının geometrik ortalamasını bulmak için temel kuralı kullanın. Ürünlerini bulun, ardından sayının iki olduğu gerçeğinden, kökün derecesine karşılık gelen karekökünü çıkarın. Diyelim ki 16 ve 4 sayılarının geometrik ortalamasını bulmak için 16 4=64 çarpımını bulun. Ortaya çıkan sayıdan karekökü çıkartın? 64 = 8. Bu istenen değer olacaktır. Lütfen bu 2 sayının aritmetik ortalamasının daha büyük olduğuna ve 10'a eşit olduğuna dikkat edin. Kök tam olarak alınmazsa, toplamı istenen sıraya yuvarlayın.

3. 2'den fazla sayının geometrik ortalamasını bulmak için de temel kuralı kullanın. Bunu yapmak için, geometrik ortalamasını bulmanız gereken tüm sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan üründen, sayı sayısına eşit derecenin kökünü çıkarın. Diyelim ki 2, 4 ve 64 sayılarının geometrik ortalamasını bulmak için çarpımlarını bulun. 2 4 64=512. Çarpımdan üçüncü derecenin kökünü çıkaran 3 sayının geometrik ortalamasının toplamını bulmak gerektiğinden. Bunu sözlü olarak yapmak zordur, bu nedenle bir mühendislik hesap makinesi kullanın. Bunu yapmak için “x^y” düğmesi vardır. 512 numarasını çevirin, “x^y” düğmesine basın, ardından 3 sayısını çevirin ve “1/x” düğmesine basın, 1/3 değerini bulmak için “=” düğmesine basın. 512'yi üçüncü derecenin köküne karşılık gelen 1/3'ün gücüne yükseltmenin sonucunu elde ederiz. 512^1/3=8 olsun. Bu, 2.4 ve 64 sayılarının geometrik ortalamasıdır.

4. Bir mühendislik hesap makinesinin desteğiyle, farklı bir yöntem kullanarak geometrik ortalamayı tespit etmek mümkündür. Klavyedeki günlük düğmesini bulun. Bundan sonra, tüm sayıların logaritmasını alın, toplamlarını bulun ve sayı sayısına bölün. Ortaya çıkan sayıdan antilogaritmayı alın. Bu sayıların geometrik ortalaması olacaktır. Diyelim ki 2, 4 ve 64 sayıların geometrik ortalamasını bulmak için hesap makinesinde bir dizi işlem yapın. 2 numarayı çevirin, ardından günlük düğmesine basın, “+” düğmesine basın, 4 numarayı çevirin ve günlük ve “+” düğmesine tekrar basın, 64'ü çevirin, günlük ve “=” tuşlarına basın. Sonuç, 2, 4 ve 64 sayılarının ondalık logaritmalarının toplamına eşit bir sayı olacaktır. Ortaya çıkan sayıyı, geometrik ortalamanın arandığı sayıların sayısı olduğu gerçeğinden 3'e bölün. Toplamdan, kayıt düğmesini değiştirerek antilogaritmayı alın ve aynı günlük anahtarını kullanın. Sonuç 8 sayısı olacaktır, bu istenen geometrik ortalamadır.

Not!
Ortalama değer, kümedeki en büyük sayıdan büyük ve en küçüğünden küçük olamaz.

faydalı tavsiye
Matematiksel istatistikte, bir miktarın ortalama değerine matematiksel beklenti denir.

ortalama değer- bu, belirli bir niceliksel özelliğe göre niteliksel olarak homojen bir nüfusu karakterize eden genelleştirici bir göstergedir. Örneğin, ortalama yaş hırsızlıktan hüküm giymiş kişiler.

Adli istatistiklerde, ortalamalar aşağıdakileri karakterize etmek için kullanılır:

Bu kategorideki davaların ortalama değerlendirme koşulları;

Orta boy iddia;

Dava başına ortalama sanık sayısı;

Ortalama hasar miktarı;

Hakimlerin ortalama iş yükü vb.

Ortalama değer her zaman adlandırılır ve popülasyonun ayrı bir biriminin özniteliği ile aynı boyuta sahiptir. Her biri ortalama değer incelenen popülasyonu değişen herhangi bir özniteliğe göre karakterize eder, bu nedenle, herhangi bir ortalamanın arkasında, bu popülasyonun incelenen özniteliğe göre bir dizi dağılımı gizlidir. Ortalama türünün seçimi, göstergenin içeriği ve ortalamayı hesaplamak için ilk veriler tarafından belirlenir.

İstatistiksel çalışmalarda kullanılan tüm ortalama türleri iki kategoriye ayrılır:

1) güç ortalamaları;

2) yapısal ortalamalar.

İlk ortalama kategorisi şunları içerir: aritmetik ortalama, harmonik ortalama, geometrik ortalama ve Kök kare ortalama . İkinci kategori ise moda ve medyan. Ayrıca, listelenen güç ortalamalarının her birinin iki biçimi olabilir: basit ve ağırlıklı . basit biçim ortalama değer, hesaplama gruplandırılmamış istatistiksel veriler üzerinde yapıldığında veya popülasyondaki her değişken yalnızca bir kez gerçekleştiğinde çalışılan özelliğin ortalama değerini elde etmek için kullanılır. Ağırlıklı ortalamalar, bir özelliğin değerlerine ilişkin seçeneklerin farklı sayılara sahip olabileceğini ve bu nedenle her seçeneğin karşılık gelen frekansla çarpılması gerektiğini dikkate alan değerlerdir. Başka bir deyişle, her seçenek frekansına göre "tartılır". Frekans, istatistiksel ağırlık olarak adlandırılır.

basit aritmetik ortalama- en yaygın ortam türü. Bölünmüş bireysel karakteristik değerlerin toplamına eşittir. toplam sayısı bu değerler:

nerede x 1 ,x 2 , … ,xN- değişken özniteliğin (seçenekler) bireysel değerleri ve N - nüfus birimlerinin sayısı.

Aritmetik ağırlıklı ortalama veriler dağıtım serileri veya gruplamalar şeklinde sunulduğunda kullanılır. Seçeneklerin çarpımları ve bunlara karşılık gelen frekansların toplamının, tüm seçeneklerin frekanslarının toplamına bölünmesiyle hesaplanır:

nerede x ben- anlam benözelliğin -th varyantları; fi- Sıklık ben seçenekler.

Bu nedenle, her bir değişken değeri frekansına göre ağırlıklandırılır, bu nedenle frekanslara bazen istatistiksel ağırlıklar denir.

Yorum. Ne zaman Konuşuyoruz aritmetik ortalama hakkında, türünü belirtmeden, basit aritmetik ortalama kastedilmektedir.

Tablo 12

Karar. Hesaplama için aritmetik ağırlıklı ortalama formülünü kullanıyoruz:

Böylece, ortalama olarak, bir ceza davasında iki sanık vardır.

Ortalama değerin hesaplanması, aralık dağılım serisi şeklinde gruplandırılmış verilere göre yapılırsa, önce her x "i aralığının medyan değerlerini belirlemeniz, ardından ağırlıklı olarak ortalama değeri hesaplamanız gerekir. x i yerine x" i'nin ikame edildiği aritmetik ortalama formülü.

Misal. Hırsızlıktan hüküm giymiş suçluların yaşına ilişkin veriler tabloda sunulmaktadır:

Tablo 13

Hırsızlıktan hüküm giymiş suçluların ortalama yaşını belirleyin.

Karar. Aralık varyasyon serisine dayalı olarak suçluların ortalama yaşını belirlemek için öncelikle aralıkların ortanca değerlerini bulmanız gerekir. Bize bir aralık serisi verildiğinden önce aç ve son aralıklar, daha sonra bu aralıkların değerleri bitişik kapalı aralıkların değerlerine eşit alınır. Bizim durumumuzda, ilk ve son aralıkların değeri 10'dur.

Şimdi ağırlıklı aritmetik ortalama formülünü kullanarak suçluların ortalama yaşını buluyoruz:

Dolayısıyla hırsızlıktan hüküm giyen faillerin yaş ortalaması yaklaşık 27'dir.

Ortalama harmonik basit özelliğin karşılıklı değerlerinin aritmetik ortalamasının karşılığıdır:

nerede 1/ x ben seçeneklerin karşılığıdır ve N, popülasyon birimlerinin sayısıdır.

Misal. Bir bölge adliye mahkemesi hakimlerinin ceza davaları değerlendirilirken ortalama yıllık iş yükünü belirlemek amacıyla bu mahkemenin 5 hakiminin iş yükü üzerinde anket yapılmıştır. Ankete katılan yargıçların her biri için bir ceza davasında harcanan ortalama sürenin eşit olduğu ortaya çıktı (gün olarak): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Birinin ortalama maliyetini bulun ceza davası ve ceza davaları değerlendirilirken bu bölge mahkemesinin yargıçları üzerindeki ortalama yıllık iş yükü.

Karar. Bir ceza davasında harcanan ortalama süreyi belirlemek için harmonik basit formülü kullanıyoruz:

Örnekteki hesaplamaları basitleştirmek için, bir yıldaki gün sayısını hafta sonları da dahil olmak üzere 365'e eşit alalım (bu, hesaplama yöntemini etkilemez ve pratikte benzer bir gösterge hesaplanırken, çalışma sayısını değiştirmek gerekir) 365 gün yerine belirli bir yıldaki günler). Bu durumda, ceza davalarını değerlendirirken bu bölge mahkemesinin yargıçlarının yıllık ortalama iş yükü: 365 (gün): 5,56 ≈ 65.6 (dava) olacaktır.

Bir ceza davasında harcanan ortalama süreyi belirlemek için basit aritmetik ortalama formülünü kullanırsak, şunu elde ederiz:

365 (gün): 5,64 ≈ 64.7 (vaka), yani. yargıçlar için ortalama iş yükü daha azdı.

Bu yaklaşımın geçerliliğini kontrol edelim. Bunu yapmak için, her bir yargıç için bir ceza davasında harcanan zamana ilişkin verileri kullanırız ve her biri tarafından yılda değerlendirilen ceza davalarının sayısını hesaplarız.

buna göre alırız:

365(gün) : 6 ≈ 61 (vaka), 365(gün) : 5,6 ≈ 65,2 (vaka), 365(gün) : 6,3 ≈ 58 (vaka),

365(gün) : 4,9 ≈ 74,5 (vaka), 365(gün) : 5,4 ≈ 68 (vaka).

Şimdi ceza davalarını değerlendirirken bu bölge mahkemesinin yargıçları için ortalama yıllık iş yükünü hesaplıyoruz:

Onlar. ortalama yıllık yük, harmonik ortalama kullanıldığındakiyle aynıdır.

Dolayısıyla, bu durumda aritmetik ortalamanın kullanılması yasa dışıdır.

Bir özelliğin varyantlarının bilindiği, hacimsel değerlerinin (varyantların frekansa göre çarpımı), ancak frekansların bilinmediği durumlarda, harmonik ağırlıklı ortalama formülü uygulanır:

,

nerede x benözellik seçeneklerinin değerleridir ve w ben seçeneklerin hacimsel değerleridir ( w ben = x ben f ben).

Misal. Hapishane sisteminin çeşitli kurumları tarafından üretilen aynı tür malların bir biriminin fiyatına ve uygulama hacmine ilişkin veriler tablo 14'te verilmiştir.

Tablo 14

Bulmak ortalama fiyat mal satışı.

Karar. Ortalama fiyatı hesaplarken, satılan miktarın satılan adet sayısına oranını kullanmalıyız. Satılan birimlerin sayısını bilmiyoruz, ancak malların satış miktarını biliyoruz. Bu nedenle satılan malların ortalama fiyatını bulmak için harmonik ağırlıklı ortalama formülünü kullanırız. alırız

Buradaki aritmetik ortalama formülünü kullanırsanız, gerçekçi olmayacak ortalama bir fiyat elde edebilirsiniz:

geometrik ortalamaözellik seçeneklerinin tüm değerlerinin ürününden N derecesinin kökü çıkarılarak hesaplanır:

,

nerede x 1 ,x 2 , … ,xN- değişken özelliğin (seçenekler) bireysel değerleri ve

N- nüfus birimlerinin sayısı.

Bu tür bir ortalama, zaman serilerinin ortalama büyüme oranlarını hesaplamak için kullanılır.

Kök kare ortalama ortalamayı hesaplamak için kullanılır standart sapma, varyasyonun bir göstergesidir ve aşağıda tartışılacaktır.

Nüfusun yapısını belirlemek için, aşağıdakileri içeren özel ortalamalar kullanılır. medyan ve moda veya sözde yapısal ortalamalar. Aritmetik ortalama, öznitelik değerlerinin tüm varyantlarının kullanımına dayalı olarak hesaplanırsa, medyan ve mod, sıralı (sıralı) seride belirli bir ortalama konumu işgal eden varyantın değerini karakterize eder. İstatistiksel popülasyonun birimlerinin sıralaması, incelenen özelliğin varyantlarının artan veya azalan düzeninde gerçekleştirilebilir.

Medyan (Ben) sıralanan serinin ortasındaki varyanta karşılık gelen değerdir. Bu nedenle, medyan, her iki tarafında bu seride eşit sayıda popülasyon birimi olması gereken sıralı serinin varyantıdır.

Medyanı bulmak için, önce aşağıdaki formülü kullanarak sıralı serideki seri numarasını belirlemeniz gerekir:

N, serinin hacmidir (nüfus birimlerinin sayısı).

Dizi tek sayıda üyeden oluşuyorsa, medyan N Me numaralı varyanta eşittir. Dizi çift sayıda üyeden oluşuyorsa, medyan, ortada bulunan iki bitişik seçeneğin aritmetik ortalaması olarak tanımlanır.

Misal. 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10 sıralı bir seri verildi. Serinin hacmi N = 9'dur, bu da N Me = (9 + 1) / 2 = 5 anlamına gelir. = 6, yani. beşinci seçenek. Bir satıra 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, yani üye sayısı çift olan seriler (N = 8), ardından N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Yani medyan, dördüncü ve beşinci seçeneklerin toplamının yarısına eşittir, yani. Ben = (9 + 11) / 2 = 10.

Ayrık bir varyasyon serisinde, medyan, birikmiş frekanslar tarafından belirlenir. İlkinden başlayarak değişken frekansları ortanca sayı aşılana kadar toplanır. Son toplanan seçeneklerin değeri medyan olacaktır.

Misal. Tablo 12'deki verileri kullanarak ceza davası başına ortalama sanık sayısını bulun.

Karar. Bu durumda varyasyon serisinin hacmi N = 154, dolayısıyla N Me = (154 + 1) / 2 = 77.5 olur. Birinci ve ikinci seçeneklerin frekanslarını toplayarak şunu elde ederiz: 75 + 43 = 118, yani. ortanca sayıyı geçtik. Yani Ben = 2.

Dağılımın aralık varyasyon serisinde, önce medyanın bulunacağı aralığı belirtin. O arıyor medyan . Bu, kümülatif frekansı, aralık varyasyon serisinin hacminin yarısını aşan ilk aralıktır. Daha sonra medyanın sayısal değeri aşağıdaki formülle belirlenir:

nerede x ben- ortanca aralığın alt sınırı; i - ortanca aralığın değeri; S Ben-1- medyandan önceki aralığın birikmiş frekansı; ben- medyan aralığın sıklığı.

Misal. Tablo 13'te sunulan istatistiklere dayanarak, hırsızlıktan hüküm giymiş suçluların medyan yaşını bulun.

Karar.İstatistiksel veriler, bir aralık varyasyon serisi ile temsil edilir; bu, ilk önce medyan aralığı belirlediğimiz anlamına gelir. Nüfusun hacmi N = 162, bu nedenle, ortanca aralık 18-28 aralığıdır, çünkü bu, birikmiş frekansı (15 + 90 = 105), aralık varyasyon serisinin hacminin yarısını (162: 2 = 81) aşan ilk aralıktır. Şimdi medyanın sayısal değeri yukarıdaki formülle belirlenir:

Böylece hırsızlıktan hüküm giyenlerin yarısı 25 yaşın altında.

moda (ay) genellikle popülasyonun birimlerinde bulunan özniteliğin değerini adlandırın. Moda, en büyük dağılıma sahip özelliğin değerini belirlemek için kullanılır. Ayrık bir seri için mod, en yüksek frekansa sahip varyant olacaktır. Örneğin, Tablo 3'te sunulan ayrık bir seri için ay= 1, seçeneklerin bu değeri en yüksek frekansa karşılık geldiğinden - 75. Aralık serisinin modunu belirlemek için önce modal aralık (en yüksek frekansa sahip aralık). Daha sonra, bu aralık içinde, bir mod olabilen özelliğin değeri bulunur.

Değeri şu formülle bulunur:

nerede x Ay- mod aralığının alt sınırı; i - mod aralığının değeri; f Ay- modsal aralık frekansı; f Mo-1- moddan önceki aralığın sıklığı; f Mo+1- modu takip eden aralığın sıklığı.

Misal. Verileri tablo 13'te sunulan hırsızlıktan hüküm giymiş suçluların yaş modunu bulun.

Karar. En yüksek frekans 18-28 aralığına karşılık gelir, bu nedenle mod bu aralıkta olmalıdır. Değeri yukarıdaki formülle belirlenir:

Böylece hırsızlıktan hüküm giyen en fazla suçlu 24 yaşında.

Ortalama değer, incelenen olgunun bütünlüğünün genelleştirici bir özelliğini verir. Bununla birlikte, aynı ortalama değerlere sahip iki popülasyon, çalışılan özelliğin değerindeki dalgalanma (varyasyon) derecesi açısından birbirinden önemli ölçüde farklılık gösterebilir. Örneğin, bir mahkemede aşağıdaki hapis cezaları verildi: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 yıl ve diğerinde - 5, 5, 6, 6, 7, 7 , 7 , 8, 8, 8 yaşında. Her iki durumda da aritmetik ortalama 6.7 yıldır. Bununla birlikte, bu toplamlar, verilen hapis cezasının bireysel değerlerinin ortalama değere göre yayılmasında birbirinden önemli ölçüde farklıdır.

Ve bu farklılığın oldukça büyük olduğu ilk mahkeme için, ortalama hapis cezası tüm nüfusu iyi yansıtmamaktadır. Bu nedenle, özniteliğin bireysel değerleri birbirinden çok az farklıysa, aritmetik ortalama bu popülasyonun özelliklerinin oldukça belirleyici bir özelliği olacaktır. Aksi takdirde, aritmetik ortalama bu popülasyonun güvenilmez bir özelliği olacak ve pratikte uygulanması etkisiz olacaktır. Bu nedenle, incelenen özelliğin değerlerindeki varyasyonu hesaba katmak gerekir.

varyasyon- bunlar, aynı dönemde veya zaman noktasında belirli bir popülasyonun farklı birimlerindeki bir özelliğin değerlerindeki farklılıklardır. "Varyasyon" terimi Latince kökenlidir - farklılık, değişim, dalgalanma anlamına gelen variatio. Özelliğin bireysel değerlerinin, her bir durumda farklı şekillerde birleştirilen çeşitli faktörlerin (koşulların) birleşik etkisi altında oluşması gerçeğinin bir sonucu olarak ortaya çıkar. Bir özelliğin varyasyonunu ölçmek için çeşitli mutlak ve göreli göstergeler kullanılır.

Varyasyonun ana göstergeleri şunları içerir:

1) varyasyon aralığı;

2) ortalama doğrusal sapma;

3) dispersiyon;

4) standart sapma;

5) varyasyon katsayısı.

Her biri üzerinde kısaca duralım.

Açıklık varyasyonu R, bu popülasyonun birimleri için özniteliğin en büyük ve en küçük değerleri arasındaki fark olarak tanımlanan hesaplama kolaylığı açısından en erişilebilir mutlak göstergedir:

Varyasyon aralığı (dalgalanma aralığı) - önemli gösterge işaretin dalgalanmaları, ancak uygulamasının kapsamını sınırlayan yalnızca aşırı sapmaları görmeyi mümkün kılar. Bir özelliğin varyasyonunun dalgalanmasına bağlı olarak daha doğru bir şekilde karakterize edilmesi için diğer göstergeler kullanılır.

Ortalama doğrusal sapmaözelliğin bireysel değerlerinin ortalamadan sapmalarının mutlak değerlerinin aritmetik ortalamasını temsil eder ve formüllerle belirlenir:

1) için gruplanmamış veri

2) için varyasyon serisi

Bununla birlikte, en yaygın olarak kullanılan varyasyon ölçüsü, dağılım . Çalışılan özelliğin değerlerinin ortalama değerine göre yayılmasının ölçüsünü karakterize eder. Varyans, karesi alınan sapmaların ortalaması olarak tanımlanır.

basit varyans gruplandırılmamış veriler için:

.

ağırlıklı varyans varyasyon serisi için:

Yorum. Pratikte, varyansı hesaplamak için aşağıdaki formülleri kullanmak daha iyidir:

Basit bir varyans için

.

Ağırlıklı varyans için

Standart sapma varyansın karekökü:

Standart sapma, ortalamanın güvenilirliğinin bir ölçüsüdür. Standart sapma ne kadar küçük olursa, popülasyon o kadar homojen olur ve aritmetik ortalama tüm popülasyonu o kadar iyi yansıtır.

Yukarıda ele alınan dağılım ölçüleri (varyasyon aralığı, varyans, standart sapma), bir özelliğin dalgalanma derecesini yargılamanın her zaman mümkün olmadığı mutlak göstergelerdir. Bazı problemlerde göreli saçılma indislerini kullanmak gerekir. varyasyon katsayısı.

varyasyon katsayısı- standart sapmanın aritmetik ortalamaya oranının yüzdesi olarak ifade edilir:

Varyasyon katsayısı, yalnızca varyasyonun karşılaştırmalı bir değerlendirmesi için kullanılmaz. farklı işaretler ya da farklı popülasyonlarda aynı özellik değil, aynı zamanda popülasyonun homojenliğini karakterize etmek. Varyasyon katsayısı %33'ü geçmezse (normal dağılıma yakın dağılımlar için) istatistiksel popülasyon nicel olarak homojen kabul edilir.

Misal. Ceza infaz kurumunun bir ıslah kurumunda mahkemece verilen cezayı çekmek üzere teslim edilen 50 hükümlünün hapis cezalarına ilişkin veriler şu şekildedir: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3 , 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1 , 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Hapis terimlerine göre bir dağıtım serisi oluşturun.

2. Ortalama, varyans ve standart sapmayı bulun.

3. Varyasyon katsayısını hesaplayın ve çalışılan popülasyonun homojenliği veya heterojenliği hakkında bir sonuç çıkarın.

Karar. Kesikli bir dağılım serisi oluşturmak için değişkenleri ve frekansları belirlemek gerekir. Bu problemdeki değişken hapis cezası, sıklık ise bireysel değişken sayısıdır. Frekansları hesapladıktan sonra, aşağıdaki ayrık dağılım serilerini elde ederiz:

Ortalamayı ve varyansı bulun. İstatistiksel veriler ayrı bir varyasyon serisi ile temsil edildiğinden, bunları hesaplamak için aritmetik ağırlıklı ortalama ve varyans formüllerini kullanacağız. Alırız:

= = 4,1;

= 5,21.

Şimdi standart sapmayı hesaplıyoruz:

Varyasyon katsayısını buluyoruz:

Sonuç olarak, istatistiksel popülasyon nicel olarak heterojendir.

Ortalama değerler hakkında konuşmaya başladıklarında, çoğu zaman okuldan nasıl mezun olduklarını ve okula nasıl girdiklerini hatırlıyorlar. Eğitim kurumu. Ardından, sertifikaya göre ortalama puan hesaplandı: tüm notlar (hem iyi hem de çok iyi değil) toplandı, elde edilen miktar sayılarına bölündü. Basit aritmetik ortalama olarak adlandırılan en basit ortalama türü bu şekilde hesaplanır. Pratikte istatistikler kullanılır. Farklı çeşit ortalamalar: aritmetik, harmonik, geometrik, ikinci dereceden, yapısal ortalamalar. Verilerin niteliğine ve çalışmanın amaçlarına bağlı olarak türlerinden biri veya diğeri kullanılır.

ortalama değer en yaygın istatistiksel göstergedir ve bunun yardımıyla, aynı tür fenomenlerin toplamının genelleştirici bir özelliği, değişen işaretlerden birine göre verilir. Nüfus birimi başına niteliğin seviyesini gösterir. Ortalama değerlerin yardımıyla, değişen özelliklere göre çeşitli kümeler arasında bir karşılaştırma yapılır ve fenomenlerin ve sosyal yaşam süreçlerinin gelişim kalıpları incelenir.

İstatistikte iki sınıf ortalama kullanılır: güç (analitik) ve yapısal. İkincisi, varyasyon serilerinin yapısını karakterize etmek için kullanılır ve Bölüm'de daha ayrıntılı olarak tartışılacaktır. sekiz.

Güç araçları grubu, aritmetik, harmonik, geometrik, ikinci dereceden içerir. Hesaplamaları için bireysel formüller, tüm güç ortalamalarında ortak olan forma indirgenebilir, yani

burada m güç ortalamasının üssüdür: m = 1 ile aritmetik ortalamayı hesaplamak için bir formül elde ederiz, m = 0 - geometrik ortalama, m = -1 - harmonik ortalama, m = 2 - ortalama ikinci dereceden ;

x i - seçenekler (özniteliğin aldığı değerler);

fi - frekanslar.

Güç yasası araçlarının istatistiksel analizde kullanılabileceği ana koşul, nicel değerlerinde keskin bir şekilde farklılık gösteren ilk verileri içermemesi gereken popülasyonun homojenliğidir (literatürde bunlara anormal gözlemler denir).

Bu koşulun önemini aşağıdaki örnekle gösterelim.

Örnek 6.1. Küçük bir işletmenin çalışanlarının ortalama maaşını hesaplayın.

Tablo 6.1. Çalışan ücretleri

hayır. p / p	Maaş, ovmak.	hayır. p / p	Maaş, ovmak.
1	5 950	11	7 000
2	6 790	12	5 950
3	6 790	13	6 790
4	5 950	14	5 950
5	7 000	5	6 790
6	6 790	16	7 000
7	5 950	17	6 790
8	7 000	18	7 000
9	6 790	19	7 000
10	6 790	20	5 950

Ortalama ücreti hesaplamak için, işletmenin tüm çalışanlarına tahakkuk eden ücretleri toplamak (yani ücret fonunu bulmak) ve çalışan sayısına bölmek gerekir:

Ve şimdi toplamımıza sadece bir kişiyi (bu işletmenin yöneticisi) ekleyelim, ancak 50.000 ruble maaşla. Bu durumda, hesaplanan ortalama tamamen farklı olacaktır:

Gördüğünüz gibi, 7.000 rubleyi aşıyor, vb. tek bir gözlem dışında özelliğin tüm değerlerinden daha büyüktür.

Bu tür durumların pratikte meydana gelmemesi ve ortalamanın anlamını kaybetmemesi için (örnek 6.1'de, artık olması gerektiği gibi, popülasyonun genelleyici bir özelliği rolünü oynamamaktadır), ortalamayı hesaplarken anormaldir. , aykırı gözlemler ya analizden çıkarılıp daha sonra popülasyonu homojen hale getirmek için ya da popülasyonu homojen gruplara ayırıp her grup için ortalama değerleri hesaplayıp toplam ortalamayı değil grup ortalamalarını analiz etmek gerekir.

6.1. Aritmetik ortalama ve özellikleri

Aritmetik ortalama, basit bir değer veya ağırlıklı bir değer olarak hesaplanır.

Örnek 6.1'deki tabloya göre ortalama ücreti hesaplarken, özelliğin tüm değerlerini topladık ve sayılarına böldük. Hesaplamalarımızın seyrini basit bir aritmetik ortalama için bir formül şeklinde yazıyoruz.

nerede x ben - seçenekler (özelliğin bireysel değerleri);

n, popülasyondaki birim sayısıdır.

Örnek 6.2. Şimdi örnek 6.1, vb. tablodaki verilerimizi gruplandıralım. işçilerin ücret düzeyine göre dağılımının ayrı bir varyasyon serisini oluşturalım. Gruplandırma sonuçları tabloda sunulmaktadır.

Ortalama ücret düzeyini hesaplamak için ifadeyi daha kompakt bir biçimde yazalım:

Örnek 6.2'de ağırlıklı aritmetik ortalama formülü uygulandı

nerede f i - x i y özelliğinin değerinin kaç kez oluştuğunu gösteren frekanslar popülasyonun birimleridir.

Aritmetik ağırlıklı ortalamanın hesaplanması, aşağıda gösterildiği gibi tabloda uygun şekilde gerçekleştirilir (Tablo 6.3):

Tablo 6.3. Ayrık bir seride aritmetik ortalamanın hesaplanması

İlk veri	Tahmini gösterge
maaş, ovmak.	çalışan sayısı, kişi	bordro fonu, ovmak.
x ben	fi	x ben f ben
5 950	6	35 760
6 790	8	54 320
7 000	6	42 000
Toplam	20	132 080

Basit aritmetik ortalamanın, verilerin gruplanmadığı veya gruplandırılmadığı, ancak tüm frekansların birbirine eşit olduğu durumlarda kullanıldığına dikkat edilmelidir.

Genellikle gözlemin sonuçları bir aralık dağılım serisi olarak sunulur (örnek 6.4'teki tabloya bakınız). Daha sonra ortalama hesaplanırken aralıkların orta noktaları x i olarak alınır. İlk ve son aralıklar açıksa (sınırlardan birine sahip değilse), o zaman şartlı olarak "kapalıdırlar", bitişik aralığın değerini bu aralığın değerleri olarak alırlar, vb. birincisi, ikincisinin değerine göre kapatılır ve sonuncusu - sondan bir öncekinin değerine göre.

Örnek 6.3. Nüfus gruplarından birinin örnek anketinin sonuçlarına dayanarak, kişi başına ortalama nakit gelirin büyüklüğünü hesaplıyoruz.

Yukarıdaki tabloda birinci aralığın ortası 500'dür. Gerçekten de ikinci aralığın değeri 1000'dir (2000-1000); daha sonra ilkinin alt sınırı 0 (1000-1000) ve ortası 500'dür. Son aralıkta da aynısını yapıyoruz. Ortası olarak 25.000 alıyoruz: sondan bir önceki aralığın değeri 10.000'dir (20.000-10.000), sonra üst sınır- 30.000 (20.000 + 10.000) ve ortası sırasıyla 25.000'dir.

Tablo 6.4. Aralık serilerinde aritmetik ortalamanın hesaplanması

Kişi başına ortalama nakit gelir, ovmak. her ay	Toplam nüfus, % f i	Aralık orta noktaları x i	x ben f ben
1.000'e kadar	4,1	500	2 050
1 000-2 000	8,6	1 500	12 900
2 000-4 000	12,9	3 000	38 700
4 000-6 000	13,0	5 000	65 000
6 000-8 000	10,5	7 000	73 500
8 000-10 000	27,8	9 000	250 200
10 000-20 000	12,7	15 000	190 500
20.000 ve üstü	10,4	25 000	260 000
Toplam	100,0	-	892 850

O zaman kişi başına ortalama aylık gelir

Bu terimin başka anlamları vardır, ortalama anlama bakın.

Ortalama(matematik ve istatistikte) sayı kümeleri - sayılarına bölünen tüm sayıların toplamı. En yaygın merkezi eğilim ölçülerinden biridir.

Pisagorcular tarafından (geometrik ortalama ve harmonik ortalama ile birlikte) önerildi.

Aritmetik ortalamanın özel durumları, ortalama (genel popülasyonun) ve örnek ortalamasıdır (örneklerin).

Tanıtım

Veri kümesini belirtin X = (x 1 , x 2 , …, x n), sonra örnek ortalama genellikle (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) değişkeni üzerinde yatay bir çubukla gösterilir, " x tire ile").

Yunan harfi μ, tüm popülasyonun aritmetik ortalamasını belirtmek için kullanılır. Ortalama bir değerin tanımlandığı rastgele bir değişken için μ, olasılık ortalaması veya rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi. eğer küme X olasılık ortalaması μ olan rastgele sayıların bir koleksiyonudur, daha sonra herhangi bir örnek için x ben bu koleksiyondan μ = E( x ben) bu örneğin beklentisidir.

Pratikte, μ ve x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) arasındaki fark, μ'nin tipik bir değişken olmasıdır, çünkü popülasyonun tamamından ziyade örneği görebilirsiniz. Bu nedenle, örnek rastgele temsil edilirse (olasılık teorisi açısından), o zaman x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (ama μ değil), örnek üzerinde bir olasılık dağılımına sahip rastgele bir değişken olarak ele alınabilir ( ortalamanın olasılık dağılımı).

Bu miktarların her ikisi de aynı şekilde hesaplanır:

X ¯ = 1 n ∑ ben = 1 n x ben = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)))

Eğer bir X rastgele bir değişken ise matematiksel beklenti X miktarın tekrarlı ölçümlerinde değerlerin aritmetik ortalaması olarak kabul edilebilir. X. Bu, büyük sayılar yasasının bir tezahürüdür. Bu nedenle, örnek ortalama, bilinmeyen matematiksel beklentiyi tahmin etmek için kullanılır.

Temel cebirde, ortalamanın olduğu kanıtlanmıştır. n+ 1 sayı ortalamanın üzerinde n sayılar, yalnızca yeni sayı eski ortalamadan büyükse ve yalnızca yeni sayı ortalamadan küçükse ve yalnızca yeni sayı ortalamaya eşitse değişmezse, sayılar. Daha fazla n, yeni ve eski ortalamalar arasındaki fark ne kadar küçükse.

Kuvvet yasası ortalaması, Kolmogorov ortalaması, harmonik ortalama, aritmetik-geometrik ortalama ve çeşitli ağırlıklı araçlar (örneğin, aritmetik ağırlıklı ortalama, geometrik ağırlıklı ortalama, harmonik ağırlıklı ortalama) dahil olmak üzere birkaç başka "araç" bulunduğunu unutmayın. .

Örnekler

• Üç sayı için bunları toplamanız ve 3'e bölmeniz gerekir:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• Dört sayı için bunları toplamanız ve 4'e bölmeniz gerekir:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Veya daha kolay 5+5=10, 10:2. Çünkü 2 sayı ekledik, yani kaç sayı toplarsak o kadar böleriz.

Sürekli rastgele değişken

Sürekli olarak dağıtılmış bir f (x) (\displaystyle f(x)) değeri için [ a ; b ] (\displaystyle ) belirli bir integral ile tanımlanır:

F (x) ¯ [ bir ; b ] = 1 b − bir ∫ bir b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Ortalamayı kullanmanın bazı sorunları

Sağlamlık eksikliği

Ana makale: İstatistikte sağlamlık

Aritmetik ortalama genellikle ortalama veya merkezi eğilimler olarak kullanılsa da, bu kavram sağlam istatistikler için geçerli değildir, bu da aritmetik ortalamanın "büyük sapmalardan" büyük ölçüde etkilendiği anlamına gelir. Büyük bir çarpıklığa sahip dağılımlar için, aritmetik ortalamanın "ortalama" kavramına karşılık gelmeyebileceği ve sağlam istatistiklerden (örneğin medyan) ortalamanın değerlerinin merkezi eğilimi daha iyi tanımlayabileceği dikkat çekicidir.

Klasik örnek, ortalama gelirin hesaplanmasıdır. Aritmetik ortalama, medyan olarak yanlış yorumlanabilir, bu da gerçekte olduğundan daha fazla gelire sahip daha fazla insan olduğu sonucuna yol açabilir. "Ortalama" gelir, çoğu insanın geliri bu sayıya yakın olacak şekilde yorumlanır. Bu "ortalama" (aritmetik ortalama anlamında) gelir, çoğu insanın gelirinden daha yüksektir, çünkü ortalamadan büyük bir sapma ile yüksek bir gelir, aritmetik ortalamayı güçlü bir şekilde çarpıtır (aksine, medyan gelir "direnir"). böyle bir sapma). Bununla birlikte, bu "ortalama" gelir, medyan gelire yakın kişi sayısı hakkında hiçbir şey söylemez (ve modsal gelire yakın kişi sayısı hakkında hiçbir şey söylemez). Bununla birlikte, "ortalama" ve "çoğunluk" kavramları hafife alınırsa, çoğu insanın gerçekte olduğundan daha yüksek gelire sahip olduğu yanlış bir sonuca varılabilir. Örneğin, Washington, Medine'deki sakinlerin tüm yıllık net gelirlerinin aritmetik ortalaması olarak hesaplanan "ortalama" net gelir hakkında bir rapor, Bill Gates nedeniyle şaşırtıcı derecede yüksek bir rakam verecektir. Örneği düşünün (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetik ortalama 3.17'dir, ancak altı değerden beşi bu ortalamanın altındadır.

Bileşik faiz

Ana makale: yatırım getirisi

eğer sayılar çarpmak, Ama değil katlamak, aritmetik ortalamayı değil geometrik ortalamayı kullanmanız gerekir. Çoğu zaman, bu olay finanstaki yatırım getirisini hesaplarken olur.

Örneğin, hisse senetleri ilk yıl %10 düştü ve ikinci yıl %30 arttıysa, bu iki yıldaki "ortalama" artışı aritmetik ortalama (−%10 + %30) / 2 olarak hesaplamak yanlış olur. = %10; bu durumda doğru ortalama, yıllık büyümenin sadece yaklaşık % 8.16653826392 ≈ %8.2 olduğu bileşik yıllık büyüme oranı ile verilmektedir.

Bunun nedeni, yüzdelerin her seferinde yeni bir başlangıç ​​noktasına sahip olmasıdır: %30, %30'dur. ilk yılın başındaki fiyattan daha az bir sayıdan: hisse senedi 30 dolardan başlayıp %10 düştüyse, ikinci yılın başında 27 dolar değerindedir. Hisse senedi %30 artarsa, ikinci yılın sonunda 35,1 dolar değerindedir. Bu büyümenin aritmetik ortalaması %10'dur, ancak hisse senedi 2 yılda yalnızca 5,1$ büyüdüğü için, ortalama %8,2'lik bir artış, 35.1$'lık bir nihai sonuç verir:

[30$ (1 - 0.1) (1 + 0.3) = 30$ (1 + 0.082) (1 + 0.082) = 35,1$]. Aynı şekilde %10'luk aritmetik ortalamayı kullanırsak, gerçek değeri elde edemeyiz: [30$ (1 + 0.1) (1 + 0.1) = 36,3$].

2. yılın sonunda bileşik faiz: %90 * %130 = %117, yani toplam %17 artış ve ortalama yıllık bileşik faiz %117 ≈ %108.2 (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \yaklaşık %108.2\%), yani yıllık ortalama %8.2 artış.

Talimatlar

Ana makale: Hedef istatistikleri

Döngüsel olarak değişen bazı değişkenlerin (örneğin faz veya açı) aritmetik ortalamasını hesaplarken özel dikkat gösterilmelidir. Örneğin, 1° ve 359°'nin ortalaması 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180° olur. Bu sayı iki nedenden dolayı yanlıştır.

• İlk olarak, açısal ölçüler yalnızca 0° ila 360° (veya radyan cinsinden ölçüldüğünde 0 ila 2π) aralığı için tanımlanır. Böylece, aynı sayı çifti (1° ve -1°) veya (1° ve 719°) olarak yazılabilir. Her çiftin ortalamaları farklı olacaktır: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
• İkinci olarak, bu durumda, sayılar 0°'den diğer herhangi bir değerden daha az saptığından (0° değeri en küçük varyansa sahiptir) 0° (360°'ye eşdeğer) değeri geometrik olarak en iyi ortalama olacaktır. Karşılaştırmak:
  • 1° sayısı 0°'den yalnızca 1° sapar;
  • 1° sayısı hesaplanan 180° ortalamasından 179° sapar.

Yukarıdaki formüle göre hesaplanan bir döngüsel değişkenin ortalama değeri, gerçek ortalamaya göre yapay olarak sayısal aralığın ortasına kaydırılacaktır. Bu nedenle ortalama farklı bir şekilde hesaplanır, yani ortalama değer olarak en küçük varyansa (merkez nokta) sahip sayı seçilir. Ayrıca, çıkarma yerine modulo mesafesi (yani çevresel mesafe) kullanılır. Örneğin, 1° ile 359° arasındaki modüler mesafe 358° değil 2°'dir (359° ile 360° arasındaki bir daire üzerinde==0° - bir derece, 0° ile 1° arasında - ayrıca toplamda 1° - 2 °).

4.3. Ortalama değerler. Ortalamaların özü ve anlamı

Ortalama değer istatistikte, niteliksel olarak homojen bir popülasyonun birimi başına değişen bir özelliğin büyüklüğünü yansıtan, belirli bir yer ve zaman koşullarında bir fenomenin tipik seviyesini karakterize eden genelleştirici bir gösterge denir. Ekonomik uygulamada, ortalamalar olarak hesaplanan çok çeşitli göstergeler kullanılır.

Örneğin, bir anonim şirketteki (JSC) işçilerin gelirinin genel bir göstergesi, ücret fonu ve ödemelerin oranı ile belirlenen bir işçinin ortalama geliridir. sosyal karakter incelenen dönem için (yıl, çeyrek, ay) AO çalışanlarının sayısına.

Ortalamayı hesaplamak yaygın bir genelleme tekniğidir; ortalama incelenen popülasyonun tüm birimleri için ortak (tipik) olanı yansıtır, aynı zamanda bireysel birimler arasındaki farklılıkları göz ardı eder. Her fenomende ve gelişiminde bir kombinasyon vardır. şans ve ihtiyaç. Ortalamaları hesaplarken, büyük sayılar yasasının işleyişi nedeniyle, rastgelelik birbirini iptal eder, dengeler, böylece fenomenin önemsiz özelliklerinden, her bir özel durumda niteliğin nicel değerlerinden soyutlayabilirsiniz. Bireysel değerlerin rastgeleliğinden soyutlama yeteneğinde, dalgalanmalar, ortalamaların bilimsel değeri olarak yatar. özetleme toplu özellikler.

Genellemeye ihtiyaç duyulduğunda, bu tür özelliklerin hesaplanması, özelliğin birçok farklı bireysel değerinin değiştirilmesine yol açar. orta fenomenlerin bütününü karakterize eden, tek fenomende algılanamayan kitlesel sosyal fenomenlerin doğasında bulunan kalıpları tanımlamayı mümkün kılan bir gösterge.

Ortalama, incelenen fenomenin karakteristik, tipik, gerçek seviyesini yansıtır, bu seviyeleri ve bunların zaman ve mekandaki değişimlerini karakterize eder.

Ortalama, devam ettiği koşullar altında sürecin düzenliliklerinin özet bir özelliğidir.

4.4. Ortalama türleri ve bunları hesaplama yöntemleri

Ortalama türünün seçimi, belirli bir göstergenin ekonomik içeriği ve ilk veriler tarafından belirlenir. Her durumda, ortalama değerlerden biri uygulanır: aritmetik, garmonik, geometrik, ikinci dereceden, kübik vb. Listelenen ortalamalar sınıfa aittir güç orta.

Kuvvet yasası ortalamalarına ek olarak, istatistiksel uygulamada mod ve medyan olarak kabul edilen yapısal ortalamalar kullanılır.

Güç araçları üzerinde daha ayrıntılı olarak duralım.

Aritmetik ortalama

En yaygın ortalama türü, ortalama aritmetik. Tüm popülasyon için değişken bir özniteliğin hacminin, kendi birimlerinin özniteliklerinin değerlerinin toplamı olduğu durumlarda kullanılır. İçin sosyal fenomenler karakteristik, değişken özelliğin hacimlerinin toplamıdır (toplaması), bu, aritmetik ortalamanın kapsamını belirler ve genelleştirici bir gösterge olarak yaygınlığını açıklar, örneğin: toplam ücret fonu, tüm işçilerin ücretlerinin toplamıdır, brüt hasat, ekilen alanın tamamından üretilen ürünlerin toplamıdır.

Aritmetik ortalamayı hesaplamak için tüm özellik değerlerinin toplamını sayılarına bölmeniz gerekir.

Aritmetik ortalama formda uygulanır basit ortalama ve ağırlıklı ortalama. Basit ortalama, ilk tanımlayıcı biçim olarak hizmet eder.

basit aritmetik ortalama ortalama özelliğin bireysel değerlerinin bu değerlerin toplam sayısına bölünmesiyle elde edilen basit toplamına eşittir (özelliğin gruplanmamış bireysel değerlerinin olduğu durumlarda kullanılır):

nerede
- değişkenin bireysel değerleri (seçenekler); m - nüfus birimlerinin sayısı.

Formüllerde daha fazla toplama limiti belirtilmeyecektir. Örneğin, 15 işçinin her birinin kaç parça ürettiği biliniyorsa, bir işçinin (çilingir) ortalama çıktısının bulunması gerekir, yani. özelliğin bir dizi bireysel değeri verildiğinde, adet:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Basit aritmetik ortalama, formül (4.1), 1 adet ile hesaplanır:

Tekrarlanan seçeneklerin ortalaması farklı numara kez veya farklı ağırlıklara sahip olduğu söylenen, denir ağırlıklı. Ağırlıklar birim sayısıdır. farklı gruplar kümeler (aynı seçenekler bir grup halinde birleştirilir).

Aritmetik ağırlıklı ortalama- ortalama gruplanmış değerler, - aşağıdaki formülle hesaplanır:

, (4.2)

nerede
- ağırlıklar (aynı özelliklerin tekrarlanma sıklığı);

- özelliklerin büyüklüklerinin ürünlerinin frekanslarına göre toplamı;

- toplam nüfus birimi sayısı.

Yukarıda tartışılan örneği kullanarak aritmetik ağırlıklı ortalamayı hesaplama tekniğini göstereceğiz. Bunu yapmak için, ilk verileri gruplandırıp tabloya yerleştiririz. 4.1.

Tablo 4.1

Parçaların geliştirilmesi için işçilerin dağılımı

(4.2) formülüne göre, aritmetik ağırlıklı ortalama eşittir, adet:

Bazı durumlarda, ağırlıklar mutlak değerlerle değil, göreceli değerlerle (bir birimin yüzdeleri veya kesirleri olarak) temsil edilebilir. Ardından aritmetik ağırlıklı ortalama formülü şöyle görünecektir:

nerede
- özel, yani tüm frekansların toplamında her frekansın payı

Frekanslar kesirlerle (katsayılar) sayılırsa, o zaman
= 1 ve aritmetik ağırlıklı ortalamanın formülü şudur:

Grup ortalamalarından aritmetik ağırlıklı ortalamanın hesaplanması formüle göre gerçekleştirilir:

,

nerede f-her gruptaki birim sayısı.

Grup ortalamalarının aritmetik ortalamasının hesaplanmasının sonuçları Tablo'da sunulmuştur. 4.2.

Tablo 4.2

Ortalama hizmet süresine göre çalışanların dağılımı

Bu örnekte, seçenekler, bireysel çalışanların hizmet süresine ilişkin bireysel veriler değil, her bir atölye için ortalamalardır. terazi f dükkanlardaki işçi sayısıdır. Dolayısıyla, işletme genelinde çalışanların ortalama iş deneyimi, yıllar olacaktır:

.

Dağılım serilerinde aritmetik ortalamanın hesaplanması

Ortalaması alınan özniteliğin değerleri aralık olarak verilirse (“-den -e”), yani. aralık dağılım serisi, ardından ortalama hesaplanırken aritmetik değer bu aralıkların orta noktaları gruplardaki özelliklerin değerleri olarak alınır ve bunun sonucunda ayrık bir seri oluşur. Aşağıdaki örneği inceleyin (Tablo 4.3).

Aralık değerlerini ortalama değerleriyle değiştirerek bir aralık dizisinden ayrık bir diziye geçelim / (basit ortalama

Tablo 4.3

AO çalışanlarının aylık ücret düzeyine göre dağılımı

için işçi grupları	Çalışan sayısı	Aralığın ortası
ücretler, ovmak.	pers., f	ovmak., X
900 ve üzeri

açık aralıkların (ilk ve son) değerleri, onlara bitişik aralıklara (ikinci ve sondan bir önceki) koşullu olarak eşittir.

Ortalamanın böyle bir hesaplanmasıyla, özniteliğin birimlerinin grup içindeki tek tip dağılımı hakkında bir varsayım yapıldığından, bazı yanlışlıklara izin verilir. Bununla birlikte, hata ne kadar küçükse, aralık o kadar dar ve aralıktaki birim o kadar fazla olacaktır.

Aralıkların orta noktaları bulunduktan sonra, hesaplamalar ayrı bir seride olduğu gibi yapılır - seçenekler frekanslarla (ağırlıklar) çarpılır ve ürünlerin toplamı frekansların (ağırlıkların) toplamına bölünür. , bin ruble:

.

Böyle, orta seviye anonim şirketin işçilerinin ücreti 729 ruble. her ay.

Aritmetik ortalamanın hesaplanması genellikle büyük bir zaman ve emek harcamasıyla ilişkilendirilir. Bununla birlikte, bazı durumlarda, ortalamayı hesaplama prosedürü, özellikleri kullanılarak basitleştirilebilir ve kolaylaştırılabilir. Aritmetik ortalamanın bazı temel özelliklerini (kanıtsız olarak) sunalım.

Mülk 1. Tüm bireysel karakteristik değerler (örn. tüm seçenekler) azaltın veya artırın benkez, ardından ortalama değer yeni bir özelliğin miktarı buna göre azalacak veya artacaktır. benbir Zamanlar.

Mülkiyet 2. Ortalaması alınan özelliğin tüm varyantları azaltılırsaA sayısı kadar dikin veya artırın, ardından aritmetik ortalamaaynı A sayısı kadar önemli ölçüde azalır veya artar.

Mülk 3. Tüm ortalama seçeneklerin ağırlıkları azaltılırsa veya artırmak ile kez aritmetik ortalama değişmez.

Ortalama ağırlıklar olarak mutlak göstergeler yerine genel toplamda (hisseler veya yüzdeler) belirli ağırlıkları kullanabilirsiniz. Bu, ortalamanın hesaplanmasını kolaylaştırır.

Ortalamanın hesaplanmasını basitleştirmek için, seçeneklerin ve frekansların değerlerini azaltma yolunu izlerler. En büyük sadeleştirme şu durumlarda elde edilir: ANCAK en yüksek frekansa sahip merkezi seçeneklerden birinin değeri / - aralığın değeri olarak seçilir (aynı aralıklı satırlar için). L'nin değerine orijin denir, bu nedenle ortalamayı hesaplamanın bu yöntemine "koşullu sıfırdan sayma yöntemi" veya "anların yöntemi".

Diyelim ki tüm seçenekler Xönce aynı A sayısı kadar azaltılmış, sonra azaltılmış ben bir Zamanlar. Yeni varyantların yeni bir varyasyonel dağıtım serisini alıyoruz .

Sonra yeni seçenekler ifade edilecektir:

,

ve yeni aritmetik ortalamaları , -ilk sipariş anı- formül:

.

İlk önce azaltılmış orijinal seçeneklerin ortalamasına eşittir. ANCAK, ve sonra ben bir Zamanlar.

Gerçek ortalamayı elde etmek için, birinci dereceden bir anına ihtiyacınız var. m 1 , çarpmak ben ve Ekle ANCAK:

.

Değişken bir diziden aritmetik ortalamayı hesaplamanın bu yöntemine denir. "anların yöntemi". Bu yöntem eşit aralıklarla satırlar halinde uygulanır.

Moment yöntemiyle aritmetik ortalamanın hesaplanması Tablodaki verilerle gösterilmektedir. 4.4.

Tablo 4.4

2000 yılında bölgedeki küçük işletmelerin sabit üretim varlıklarının (OPF) değerine göre dağılımı

OPF maliyetine göre işletme grupları, bin ruble	işletme sayısı f	orta aralıklar, x
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

İlk siparişin anını bulma

.

O zaman, A = 19 varsayarak ve bunu bilerek ben= 2, hesapla X, bin ruble.:

Ortalama değer türleri ve hesaplama yöntemleri

İstatistiksel işleme aşamasında, çözümü için uygun ortalamayı seçmenin gerekli olduğu çeşitli araştırma görevleri belirlenebilir. Bunu yaparken, takip etmek gerekir sonraki kural: Ortalamanın payını ve paydasını temsil eden değerler mantıksal olarak birbiriyle ilişkili olmalıdır.

• güç ortalamaları;
• yapısal ortalamalar.

Aşağıdaki gösterimi tanıtalım:

Ortalaması hesaplanan değerler;

Yukarıdaki satırın bireysel değerlerin ortalamasının alındığını gösterdiği ortalama;

Sıklık (bireysel özellik değerlerinin tekrarlanabilirliği).

Çeşitli ortalamalar elde edilir Genel formül güç anlamı:

(5.1)

k = 1 için - aritmetik ortalama; k = -1 - harmonik ortalama; k = 0 - geometrik ortalama; k = -2 - kök ortalama kare.

Ortalamalar basit veya ağırlıklıdır. ağırlıklı ortalamalarözniteliğe ait değerlerin bazı varyantlarının farklı sayılara sahip olabileceğini ve bu nedenle her varyantın bu sayı ile çarpılması gerektiğini dikkate alan nicelikler denir. Başka bir deyişle, "ağırlıklar", farklı gruplardaki nüfus birimlerinin sayılarıdır, yani. her seçenek frekansına göre "ağırlıklandırılmıştır". Frekans f denir istatistiksel ağırlık veya ağırlık ortalaması.

Aritmetik ortalama- en yaygın ortam türü. Ortalama toplamı almak istediğiniz gruplanmamış istatistiksel veriler üzerinde hesaplama yapıldığında kullanılır. Aritmetik ortalama, alındığında özelliğin popülasyondaki toplam hacminin değişmeden kaldığı bir özelliğin böyle bir ortalama değeridir.

Aritmetik ortalama formülü ( basit) formu var

burada n nüfus büyüklüğüdür.

Örneğin, bir işletmenin çalışanlarının ortalama maaşı, aritmetik ortalama olarak hesaplanır:

Burada belirleyici olan göstergeler her bir çalışanın ücreti ve işletmenin çalışan sayısıdır. Ortalamayı hesaplarken, toplam ücret miktarı aynı kaldı, ancak sanki tüm işçiler arasında eşit olarak dağıtıldı. Örneğin, 8 kişinin çalıştığı küçük bir şirketin çalışanlarının ortalama maaşını hesaplamak gerekir:

Ortalamalar hesaplanırken, ortalaması alınan özelliğin bireysel değerleri tekrarlanabilir, bu nedenle ortalama, gruplandırılmış veriler kullanılarak hesaplanır. Bu durumda, kullanmaktan bahsediyoruz aritmetik ortalama ağırlıklı, neye benziyor

(5.3)

yani hesaplamamız lazım ortalama oran bir anonim şirketin borsadaki hisseleri. İşlemlerin 5 gün (5 işlem) içerisinde gerçekleştiği biliniyor, satış oranından satılan hisse adedi aşağıdaki gibi dağıtıldı:

1 - 800 ac. - 1010 ruble

2 - 650 ac. - 990 ovmak.

3-700 ak. - 1015 ruble.

4 - 550 ac. - 900 ovmak.

5 - 850 bin. - 1150 ruble.

Ortalama hisse fiyatını belirlemek için ilk oran, toplam işlem tutarının (OSS) satılan hisse sayısına (KPA) oranıdır.