Řešení kvadratických rovnic. Řešení lineárních rovnic s příklady Kořeny kvadratické rovnice

Kvadratické rovnice se učí v 8. třídě, takže zde není nic složitého. Schopnost je řešit je naprosto nezbytná.

Kvadratická rovnice je rovnice ve tvaru ax 2 + bx + c = 0, kde koeficienty a, b a c jsou libovolná čísla a a ≠ 0.

Před studiem konkrétních metod řešení si všimněte, že všechny kvadratické rovnice lze rozdělit do tří tříd:

1. Nemají kořeny;
2. Mít přesně jeden kořen;
3. Mají dva různé kořeny.

To je důležitý rozdíl mezi kvadratickými rovnicemi a lineárními rovnicemi, kde kořen vždy existuje a je jedinečný. Jak určit, kolik kořenů má rovnice? Na to je úžasná věc - diskriminační.

Diskriminační

Nechť je dána kvadratická rovnice ax 2 + bx + c = 0. Pak je diskriminantem jednoduše číslo D = b 2 − 4ac.

Tento vzorec musíte znát nazpaměť. Odkud pochází, není nyní důležité. Další věc je důležitá: podle znaménka diskriminantu můžete určit, kolik kořenů má kvadratická rovnice. A to:

1. Pokud D< 0, корней нет;
2. Jestliže D = 0, existuje právě jeden kořen;
3. Pokud D > 0, budou dva kořeny.

Vezměte prosím na vědomí: diskriminant označuje počet kořenů, a vůbec ne jejich znaky, jak z nějakého důvodu mnoho lidí věří. Podívejte se na příklady a sami vše pochopíte:

Úkol. Kolik kořenů mají kvadratické rovnice:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapišme si koeficienty pro první rovnici a najdeme diskriminant:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Takže diskriminant je kladný, takže rovnice má dva různé kořeny. Analyzujeme druhou rovnici podobným způsobem:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminant je záporný, nemá kořeny. Poslední rovnice zbývá:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je nula - odmocnina bude jedna.

Vezměte prosím na vědomí, že koeficienty byly zapsány pro každou rovnici. Ano, je to dlouhé, ano, je to únavné, ale nespletete si šance a nebudete dělat hloupé chyby. Vyberte si sami: rychlost nebo kvalitu.

Mimochodem, pokud na to přijdete, po chvíli už nebudete muset zapisovat všechny koeficienty. Takové operace budete provádět ve své hlavě. Většina lidí to začne dělat někde po 50-70 vyřešených rovnicích - obecně ne tolik.

Kořeny kvadratické rovnice

Nyní přejděme k samotnému řešení. Pokud je diskriminant D > 0, kořeny lze najít pomocí vzorců:

Základní vzorec pro kořeny kvadratické rovnice

Když D = 0, můžete použít kterýkoli z těchto vzorců - dostanete stejné číslo, které bude odpovědí. Konečně, pokud D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12 x + 36 = 0.

První rovnice:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ rovnice má dva kořeny. Pojďme je najít:

Druhá rovnice:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ rovnice má opět dva kořeny. Pojďme je najít

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(zarovnat)\]

Konečně třetí rovnice:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ rovnice má jeden kořen. Lze použít jakýkoli vzorec. Například ten první:

Jak můžete vidět z příkladů, vše je velmi jednoduché. Pokud znáte vzorce a umíte počítat, nebudou žádné problémy. Nejčastěji dochází k chybám při dosazování záporných koeficientů do vzorce. Zde opět pomůže výše popsaná technika: podívejte se na vzorec doslova, zapište si každý krok - a velmi brzy se zbavíte chyb.

Neúplné kvadratické rovnice

Stává se, že kvadratická rovnice se mírně liší od toho, co je uvedeno v definici. Například:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Je snadné si všimnout, že v těchto rovnicích chybí jeden z členů. Takové kvadratické rovnice jsou ještě snadněji řešitelné než standardní: nevyžadují ani výpočet diskriminantu. Pojďme si tedy představit nový koncept:

Rovnice ax 2 + bx + c = 0 se nazývá neúplná kvadratická rovnice, pokud b = 0 nebo c = 0, tzn. koeficient proměnné x nebo volného prvku je roven nule.

Samozřejmě je možný velmi obtížný případ, kdy jsou oba tyto koeficienty rovny nule: b = c = 0. V tomto případě má rovnice tvar ax 2 = 0. Je zřejmé, že taková rovnice má jediný kořen: x = 0.

Podívejme se na zbývající případy. Nechť b = 0, pak dostaneme neúplnou kvadratickou rovnici tvaru ax 2 + c = 0. Trochu ji transformujme:

Protože aritmetická odmocnina existuje pouze z nezáporného čísla, má poslední rovnost smysl pouze pro (−c /a) ≥ 0. Závěr:

1. Pokud je v neúplné kvadratické rovnici tvaru ax 2 + c = 0 splněna nerovnost (−c /a) ≥ 0, budou kořeny dva. Vzorec je uveden výše;
2. Pokud (−c /a)< 0, корней нет.

Jak vidíte, diskriminant nebyl vyžadován – v neúplných kvadratických rovnicích nejsou vůbec žádné složité výpočty. Vlastně ani není nutné si pamatovat nerovnost (−c /a) ≥ 0. Stačí vyjádřit hodnotu x 2 a podívat se, co je na druhé straně rovnítka. Pokud existuje kladné číslo, budou dva kořeny. Pokud je negativní, nebudou tam žádné kořeny.

Nyní se podívejme na rovnice tvaru ax 2 + bx = 0, ve kterých je volný prvek roven nule. Všechno je zde jednoduché: vždy budou dva kořeny. Stačí rozložit polynom:

Vyjmutí společného faktoru ze závorek

Součin je nula, když je alespoň jeden z faktorů nulový. Odtud pramení kořeny. Na závěr se podívejme na několik z těchto rovnic:

Úkol. Řešte kvadratické rovnice:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nejsou tam žádné kořeny, protože čtverec se nemůže rovnat zápornému číslu.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.

Používání rovnic je v našich životech velmi rozšířené. Používají se v mnoha výpočtech, stavbě konstrukcí a dokonce i ve sportu. Člověk používal rovnice ve starověku a od té doby se jejich používání jen zvyšuje. Řešení rovnic devátého stupně zahrnuje použití mnoha různých metod řešení: grafické, algebraické metody sčítání, zavádění nových proměnných, používání funkcí a převod rovnic z jednoho typu na jednodušší a mnoho dalšího. Metoda řešení rovnice je vybrána na základě výchozích dat, proto je nejlepší metodám jasně porozumět na příkladech.

Předpokládejme, že dostaneme rovnici následujícího tvaru:

\[\frac (18)(x^2-6x)-\frac(12)(x^2+6x)=\frac (1)(x)\]

Chcete-li vyřešit tuto rovnici, vydělte levou a pravou stranu \

\[\frac(18)(x-6)-\frac(12)(x+6)=1\]

\[\frac (6x+180)(x^2-36)=1\]

Výsledné dva kořeny jsou řešením této rovnice.

Pojďme řešit rovnici:

\[ (x^2-2x)^2-3x^2+6x-4=0 \]

Je potřeba najít součet všech kořenů této rovnice. Chcete-li to provést, musíte nahradit:

Kořeny této rovnice budou 2 čísla: -1 a 4. Proto:

\[\begin(bmatrix) x^2-2x=-1\\ x^2-2x=4 \end(bmatrix)\] \[\begin(bmatrix) x=1\\ x=1\pm\sqrt5 \end(bmatrix)\]

Součet všech 3 kořenů je roven 4, což bude odpověď na řešení této rovnice.

Kde mohu řešit rovnice online pro ročník 9?

Rovnici můžete vyřešit na našem webu https://site. Bezplatný online řešitel vám umožní řešit online rovnice jakékoli složitosti během několika sekund. Vše, co musíte udělat, je jednoduše zadat svá data do řešitele. Na našem webu si také můžete prohlédnout video návod a naučit se rovnici řešit. A pokud máte další otázky, můžete je položit v naší skupině VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Přidejte se k naší skupině, vždy vám rádi pomůžeme.

Připomeňme si základní vlastnosti stupňů. Nechť a > 0, b > 0, n, m jsou libovolná reálná čísla. Pak
1) a n a m = a n+m

2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(n-m) \)

3) (a n) m = a nm

4) (ab) n = a n b n

5) \(\left(\frac(a)(b) \right)^n = \frac(a^n)(b^n) \)

7) a n > 1, pokud a > 1, n > 0

8) a n 1, n
9) a n > a m, pokud je 0

V praxi se často používají funkce tvaru y = a x, kde a je dané kladné číslo, x je proměnná. Takové funkce se nazývají orientační. Tento název se vysvětluje skutečností, že argument exponenciální funkce je exponent a základem exponentu je dané číslo.

Definice. Exponenciální funkce je funkcí tvaru y = a x, kde a je dané číslo, a > 0, \(a \neq 1\)

Exponenciální funkce má následující vlastnosti

1) Definiční obor exponenciální funkce je množina všech reálných čísel.
Tato vlastnost vyplývá ze skutečnosti, že mocnina a x kde a > 0 je definována pro všechna reálná čísla x.

2) Množina hodnot exponenciální funkce je množina všech kladných čísel.
Chcete-li to ověřit, musíte ukázat, že rovnice a x = b, kde a > 0, \(a \neq 1\), nemá kořeny, pokud \(b \leq 0\), a má kořen pro libovolné b > 0

3) Exponenciální funkce y = a x je rostoucí na množině všech reálných čísel, je-li a > 1, a klesající, je-li 0. Vyplývá to z vlastností stupně (8) a (9)

Sestrojme grafy exponenciálních funkcí y = a x pro a > 0 a pro 0. Pomocí uvažovaných vlastností si všimneme, že graf funkce y = a x pro a > 0 prochází bodem (0; 1) a nachází se nad osa Ox.
Pokud x 0.
Pokud x > 0 a |x| se zvyšuje, graf rychle stoupá.

Graf funkce y = a x v 0 Jestliže x > 0 a roste, pak se graf rychle přiblíží k ose Ox (aniž by ji protnul). Osa Ox je tedy horizontální asymptotou grafu.
Pokud x

Exponenciální rovnice

Uvažujme několik příkladů exponenciálních rovnic, tzn. rovnice, ve kterých je neznámá obsažena v exponentu. Řešení exponenciálních rovnic často sestoupí k řešení rovnice a x = a b kde a > 0, \(a \neq 1\), x je neznámá. Tato rovnice je řešena pomocí vlastnosti mocniny: mocniny se stejným základem a > 0, \(a \neq 1\) jsou si rovny právě tehdy, když jsou jejich exponenty stejné.

Řešte rovnici 2 3x 3 x = 576
Protože 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, lze rovnici zapsat jako 8 x 3 x = 24 2 nebo jako 24 x = 24 2, z čehož x = 2.
Odpověď x = 2

Vyřešte rovnici 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25
Vyjmeme-li společný faktor 3 x - 2 ze závorek na levé straně, dostaneme 3 x - 2 (3 3 - 2) = 25, 3 x - 2 25 = 25,
odkud 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
Odpověď x = 2

Řešte rovnici 3 x = 7 x
Protože \(7^x \neq 0 \) , lze rovnici zapsat ve tvaru \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \), z čehož \(\left(\frac(3) )( 7) \vpravo) ^x = 1 \), x = 0
Odpověď x = 0

Vyřešte rovnici 9 x - 4 3 x - 45 = 0
Nahrazením 3 x = t se tato rovnice redukuje na kvadratickou rovnici t 2 - 4t - 45 = 0. Řešením této rovnice najdeme její kořeny: t 1 = 9, t 2 = -5, odkud 3 x = 9, 3 x = -5.
Rovnice 3 x = 9 má kořen x = 2 a rovnice 3 x = -5 nemá kořeny, protože exponenciální funkce nemůže nabývat záporných hodnot.
Odpověď x = 2

Řešte rovnici 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
Zapišme rovnici ve tvaru
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2, odkud
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 x - 2 23 = 5 x - 2 23
\(\left(\frac(2)(5) \right) ^(x-2) = 1 \)
x - 2 = 0
Odpověď x = 2

Řešte rovnici 3 |x - 1| = 3 |x + 3|
Protože 3 > 0, \(3 \neq 1\), pak je původní rovnice ekvivalentní rovnici |x-1| = |x+3|
Umocněním této rovnice získáme její důsledek (x - 1) 2 = (x + 3) 2, ze kterého
x 2 - 2x + 1 = x 2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
Kontrola ukazuje, že x = -1 je kořen původní rovnice.
Odpověď x = -1

Rovnice s jednou neznámou, která po otevření závorek a přivedení podobných pojmů nabývá tvaru

ax + b = 0, kde a a b jsou libovolná čísla, se nazývá lineární rovnice s jednou neznámou. Dnes zjistíme, jak tyto lineární rovnice vyřešit.

Například všechny rovnice:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - lineární.

Hodnota neznámé, která změní rovnici na skutečnou rovnost, se nazývá rozhodnutí nebo kořen rovnice .

Pokud například v rovnici 3x + 7 = 13 místo neznámého x dosadíme číslo 2, dostaneme správnou rovnost 3 2 +7 = 13. To znamená, že hodnota x = 2 je řešením nebo kořenem rovnice.

A hodnota x = 3 nemění rovnici 3x + 7 = 13 ve skutečnou rovnost, protože 3 2 +7 ≠ 13. To znamená, že hodnota x = 3 není řešením ani kořenem rovnice.

Řešení libovolných lineárních rovnic se redukuje na řešení rovnic ve tvaru

ax + b = 0.

Přesuneme volný člen z levé strany rovnice doprava a změníme znaménko před b na opačné, dostaneme

Pokud a ≠ 0, pak x = ‒ b/a .

Příklad 1. Řešte rovnici 3x + 2 =11.

Přesuneme 2 z levé strany rovnice doprava a změníme znaménko před 2 na opačné, dostaneme
3x = 11 – 2.

Tak pojďme na odčítání
3x = 9.

Chcete-li najít x, musíte vydělit součin známým faktorem, tzn
x = 9:3.

To znamená, že hodnota x = 3 je řešením nebo kořenem rovnice.

Odpověď: x = 3.

Pokud a = 0 a b = 0, pak dostaneme rovnici 0x = 0. Tato rovnice má nekonečně mnoho řešení, protože když vynásobíme libovolné číslo 0, dostaneme 0, ale b se také rovná 0. Řešením této rovnice je libovolné číslo.

Příklad 2 Vyřešte rovnici 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

Rozbalíme závorky:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Zde jsou některé podobné výrazy:
0x = 0.

Odpověď: x - libovolné číslo.

Pokud a = 0 a b ≠ 0, pak dostaneme rovnici 0x = - b. Tato rovnice nemá řešení, protože když vynásobíme libovolné číslo 0, dostaneme 0, ale b ≠ 0.

Příklad 3 Vyřešte rovnici x + 8 = x + 5.

Seskupme termíny obsahující neznámé na levé straně a volné termíny na pravé straně:
x – x = 5 – 8.

Zde jsou některé podobné výrazy:
0х = ‒ 3.

Odpověď: žádná řešení.

Na Obrázek 1 ukazuje schéma řešení lineární rovnice

Sestavme si obecné schéma řešení rovnic s jednou proměnnou. Podívejme se na řešení příkladu 4.

Příklad 4. Předpokládejme, že potřebujeme vyřešit rovnici

1) Vynásobte všechny členy rovnice nejmenším společným násobkem jmenovatelů rovným 12.

2) Po zmenšení dostaneme
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Chcete-li oddělit výrazy obsahující neznámé a volné výrazy, otevřete hranaté závorky:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Seskupme do jedné části termíny obsahující neznámé a do druhé volné termíny:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Uveďme podobné pojmy:
-22х = -154.

6) Vydělte – 22, dostaneme
x = 7.

Jak vidíte, kořen rovnice je sedm.

Obecně takové rovnice lze řešit pomocí následujícího schématu:

a) převést rovnici do jejího celočíselného tvaru;

b) otevřete závorky;

c) seskupit členy obsahující neznámou v jedné části rovnice a volné členy ve druhé;

d) přivést podobné členy;

e) řešit rovnici tvaru aх = b, která byla získána po přivedení podobných členů.

Toto schéma však není nutné pro každou rovnici. Při řešení mnoha jednodušších rovnic musíte začít ne od první, ale od druhé ( Příklad. 2), Třetí ( Příklad. 13) a dokonce od páté fáze, jako v příkladu 5.

Příklad 5.Řešte rovnici 2x = 1/4.

Najděte neznámou x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

Podívejme se na řešení některých lineárních rovnic nalezených v hlavní státní zkoušce.

Příklad 6.Řešte rovnici 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Odpověď: - 0,125

Příklad 7. Vyřešte rovnici – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Odpověď: 2.3

Příklad 8. Vyřešte rovnici

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Příklad 9. Najděte f(6), jestliže f (x + 2) = 3 7

Řešení

Protože potřebujeme najít f(6) a víme f (x + 2),
pak x + 2 = 6.

Řešíme lineární rovnici x + 2 = 6,
dostaneme x = 6 – 2, x = 4.

Pokud x = 4, pak
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Odpověď: 27.

Pokud máte ještě dotazy nebo chcete řešení rovnic porozumět důkladněji, přihlaste se na mé lekce v ROZVRHU. Rád vám pomohu!

TutorOnline také doporučuje zhlédnout novou video lekci od naší lektorky Olgy Alexandrovny, která vám pomůže porozumět lineárním rovnicím i dalším.

webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.