Fórmulas trigonométricas: coseno, seno y tangente de ángulo doble. Fórmulas trigonométricas: coseno, seno y tangente de un ángulo doble Derivación de la fórmula para el seno de un ángulo doble

En trigonometría, muchas fórmulas son más fáciles de derivar que de memorizar. ¡El coseno de ángulo doble es una fórmula maravillosa! Permite obtener fórmulas para reducir grados y fórmulas para medios ángulos.

Entonces, necesitamos el coseno del ángulo doble y la unidad trigonométrica:

Incluso son parecidos: en la fórmula del coseno de ángulo doble es la diferencia entre los cuadrados del coseno y el seno, y en la unidad trigonométrica es su suma. Si expresamos el coseno desde la unidad trigonométrica:

y lo sustituimos en el coseno del ángulo doble, obtenemos:

Esta es otra fórmula del coseno de doble ángulo:

Esta fórmula es la clave para obtener la fórmula de reducción:

Entonces, la fórmula para reducir el grado del seno es:

Si en él el ángulo alfa se reemplaza por un ángulo medio alfa por la mitad, y el ángulo doble dos alfa se reemplaza por un ángulo alfa, entonces obtenemos la fórmula del medio ángulo para el seno:

Ahora podemos expresar el seno desde la unidad trigonométrica:

Sustituyamos esta expresión en la fórmula del coseno de ángulo doble:

Obtuvimos otra fórmula para el coseno de un ángulo doble:

Esta fórmula es la clave para encontrar la fórmula para reducir la potencia del coseno y el medio ángulo del coseno.

Por tanto, la fórmula para reducir el grado del coseno es:

Si reemplazamos α por α/2 y 2α por α, obtenemos la fórmula del semiargumento del coseno:

Dado que la tangente es la relación entre el seno y el coseno, la fórmula para la tangente es:

La cotangente es la relación entre el coseno y el seno. Por tanto, la fórmula de la cotangente es:

Por supuesto, en el proceso de simplificar expresiones trigonométricas, no tiene sentido derivar la fórmula de medio ángulo o reducir un grado cada vez. Es mucho más fácil poner delante una hoja de papel con fórmulas. Y la simplificación avanzará más rápido y la memoria visual activará la memorización.

Pero aun así vale la pena derivar estas fórmulas varias veces. Entonces estará absolutamente seguro de que durante el examen, cuando no sea posible utilizar una hoja de referencia, las obtendrá fácilmente si surge la necesidad.

Preguntas más frecuentes

¿Es posible realizar un sello en un documento según la muestra proporcionada? Respuesta Si es posible. Envía una copia escaneada o una foto de buena calidad a nuestra dirección de correo electrónico y haremos el duplicado necesario.

¿Qué tipos de pago se aceptan? Respuesta Puede pagar el documento al recibirlo por mensajería, después de comprobar la exactitud de la cumplimentación y la calidad de la ejecución del diploma. Esto también se puede hacer en las oficinas de las empresas postales que ofrecen servicios de pago contra reembolso.
Todas las condiciones de entrega y pago de los documentos se describen en la sección "Pago y Entrega". También estamos dispuestos a escuchar sus sugerencias sobre las condiciones de entrega y pago del documento.

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¿Puedo solicitar un diploma de cualquier universidad? Respuesta En general, sí. Llevamos casi 12 años trabajando en este campo. Durante este tiempo se formó una base de datos casi completa de documentos expedidos por casi todas las universidades del país y para diferentes años de emisión. Todo lo que necesitas es seleccionar una universidad, especialidad, documento y completar el formulario de pedido.

¿Qué hacer si encuentra errores tipográficos y errores en un documento? Respuesta Al recibir un documento de nuestra empresa de mensajería o correos, le recomendamos que revise atentamente todos los detalles. Si se descubre un error tipográfico, error o inexactitud, tienes derecho a no recoger el diploma, pero deberás indicar los defectos detectados personalmente al mensajero o por escrito enviando un correo electrónico.
Corregiremos el documento lo antes posible y lo reenviaremos a la dirección especificada. Por supuesto, el envío correrá a cargo de nuestra empresa.
Para evitar tales malentendidos, antes de completar el formulario original, enviamos al cliente por correo electrónico una maqueta del documento futuro para su verificación y aprobación de la versión final. Antes de enviar el documento por mensajería o correo postal, también tomamos fotografías y vídeos adicionales (incluso con luz ultravioleta) para que tengas una idea clara de lo que recibirás al final.

¿Qué debo hacer para solicitar un diploma de su empresa? Respuesta Para solicitar un documento (certificado, diploma, certificado académico, etc.), debe completar el formulario de pedido en línea en nuestro sitio web o proporcionar su correo electrónico para que podamos enviarle un formulario de solicitud, que deberá completar y enviar de vuelta. para nosotros.
Si no sabe qué indicar en algún campo del formulario de pedido/cuestionario, déjelo en blanco. Por lo tanto, aclararemos toda la información que falta por teléfono.

Últimas revisiones

Conservador salvaje:

Decidí comprar un diploma de su empresa cuando me mudé a otra ciudad y no pude encontrar mi diploma entre mis cosas. Sin él, no me habrían contratado para un trabajo bueno y bien remunerado. Su asesor me aseguró que esta información no se divulga y nadie distinguirá el documento del original. No había dudas, pero tenía que arriesgarme. Me gustó que no se requiere pago por adelantado. En general, recibí mi diploma a tiempo y no me dejé engañar. ¡Gracias!

Oksana Ivánovna:

Cuando me robaron el diploma, me enfadé muchísimo. Después de todo, me despidieron justo en ese momento y ahora es casi imposible encontrar un buen trabajo sin un título de educación superior. Afortunadamente, un vecino sugirió contactar a su organización. Al principio era escéptico, pero decidí arriesgarme. Llamé al director de la empresa y le expliqué mi situación. ¡Y tengo suerte! Hicieron todo rápidamente y, lo más importante, prometieron no divulgar mi secreto. Me preocupaba que el hecho de que había comprado el diploma no se supiera más tarde.

Masha Kutenkova:

¡Gracias por el trabajo! Pedí un diploma de 1991. Cuando comenzaron a levantar los documentos, resultó que tenían poca experiencia y también necesitaban un documento que acreditara su educación. Yo no tenía, y la jefa lo sabía, y ella misma recomendó tu empresa (al parecer, no me parezco en nada a una empleada). En el documento me señaló los detalles: dicen en qué años usan tinta o tinta, el grosor de la firma, etc. ¡Gracias por la minuciosidad y la calidad!

LenOK:

Después de leer historias sobre despidos vergonzosos de empleados cuyos diplomas estaban impresos en una impresora a color, fui a postular a la universidad. Por desgracia, no hay presupuesto, ni dinero para estudiar ni para pagar las sesiones, así que tuve que arriesgarme. Aunque estoy muy contento de haber conocido su empresa. Aunque no me contrataron con tu diploma por suspender el bloque práctico, no es culpa tuya. ¡Tan pronto como encuentre un nuevo lugar, iré directo a ti, sin demora!

Jerry Terry:

Al ver con qué vergüenza echaron a mi colega del trabajo por un diploma falso, daba miedo seguir su ejemplo. Si no fuera por la madrina que te ordenó, no me habría arriesgado. Aseguró que aquí todo iba bien y que mi nombre estaría en todos los lugares donde fuera necesario. Tuve 4 días para hacer todo. Gracias por su rapidez: lo completamos en 3 y también logramos estudiar meticulosamente los métodos de falsificación de documentos, pero su formulario no califica como falso, lo que significa que pasará por un original.

andrés:

Nunca hubiera pensado que tendría que comprar un diploma. Después de la escuela, mi hija se fue a trabajar a Polonia; cuando regresó, 5 años después, quería conseguir un trabajo como diseñadora de ropa en una casa de moda local. Sin un diploma, nadie quería contratarla. Entendió que si no conseguía este trabajo, lo volvería a dejar. Pasé la tarde navegando por Internet y por la mañana ya estaba en la oficina con los documentos de mi hija. Una semana después, él se llevó su diploma y ella finalmente se quedó a trabajar en su ciudad en el puesto deseado. ¡No sabes lo agradecido que te estoy!

Las fórmulas de suma te permiten expresar sin(2*a), cos(2*a) y tan(a) mediante funciones trigonométricas del ángulo a.

1. cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

2. pecado(a+b) = pecado(a)*cos(b) + cos(a)*sen(b).

3. tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

Pongamos a = b en estas fórmulas. Como resultado, obtenemos las siguientes identidades:

1. pecado(2*a) = 2*sen(a)*cos(a).

2. cos(2*a) = (cos(a)) 2 - (sin(a)) 2 .

3. tg(2*a) = (2*tg(a))/(1-(tg(a)) 2).

Estas identidades se denominan fórmulas de doble ángulo. Veamos varios ejemplos del uso de fórmulas de doble ángulo.

Ejemplo 1. Encuentra el valor de sin(2*a), sabiendo que cos(a) = -0,8 y a es el tercer cuarto del ángulo. Solución:

Primero calculemos el pecado (a). Como el ángulo a es el tercer cuarto, el seno en el tercer cuarto será negativo:

pecado(a) = -v(1-(cos(a)) 2) = -v(1-0,64) = -v0,36 = -0,6.

Usando la fórmula del seno del doble ángulo tenemos:

pecado(2*a) = 2*sen(a)*cos(a) = 2*sen(a)*cos(a) = 2*(-0,6)*(-0,8) = 0,96 .

Respuesta: pecado(2*a) = 0,96.

Ejemplo 2. Simplifique la expresión sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a). Solución:

Saquemos sin(a)*cos(a) de paréntesis. Obtenemos:

sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = sin(a)*cos(a)*(cos(a)) 2 - (sin(a)) 2).

Ahora usemos las fórmulas de doble ángulo:

= (1/2)*(2*sen(a)*cos(a))*cos(2*a) = (1/2)*sen(2*a)*sen(2*a) = (1 /4)*pecado(4*a).

Respuesta: sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = (1/4)*sin(4*a).

Usando las fórmulas de doble ángulo puedes obtener las siguientes expresiones

1 - cos(2*a) = 2*(pecado(a)) 2 ,

1 + porque(2*a) = 2*(cos(a)) 2 .

En ocasiones a la hora de resolver ejemplos es muy conveniente utilizar estas fórmulas. Considere el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3. Simplifica la expresión (1-cos(a))/(1+cos(a)). Solución:

Apliquemos las fórmulas escritas anteriormente para las expresiones (1-cos(a)) y (1+cos(a)). Para hacer esto, primero representamos el ángulo a en la forma del siguiente producto 2*(a/2).

Como resultado de las transformaciones obtenemos:

(1-cos(a))/(1+cos(a)) = (2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2),

Usando la definición de tangente tenemos:

(2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2)= (tg(a/2)) 2 .

Respuesta: (1-cos(a))/(1+cos(a))= (tg(a/2)) 2 .

– seguramente habrá tareas de trigonometría. A menudo no se gusta la trigonometría por la necesidad de abarrotar una gran cantidad de fórmulas difíciles, repletas de senos, cosenos, tangentes y cotangentes. El sitio ya dio consejos una vez sobre cómo recordar una fórmula olvidada, utilizando el ejemplo de las fórmulas de Euler y Peel.

Y en este artículo intentaremos demostrar que basta con conocer con firmeza solo cinco fórmulas trigonométricas simples, tener una comprensión general del resto y deducirlas sobre la marcha. Es como ocurre con el ADN: la molécula no almacena los planos completos de un ser vivo terminado. Más bien, contiene instrucciones para ensamblarlo a partir de aminoácidos disponibles. Así que en trigonometría, conociendo algunos principios generales, sacaremos todas las fórmulas necesarias de un pequeño conjunto de aquellas que hay que tener en cuenta.

Nos basaremos en las siguientes fórmulas:

De las fórmulas para sumas de senos y cosenos, conociendo la paridad de la función coseno y la imparidad de la función seno, sustituyendo -b en lugar de b, obtenemos fórmulas para diferencias:

1. Seno de la diferencia: pecado(a-b) = pecadoaporque(-b)+porqueapecado(-b) = pecadoaporqueb-porqueapecadob
2. coseno de la diferencia: porque(a-b) = porqueaporque(-b)-pecadoapecado(-b) = porqueaporqueb+pecadoapecadob

Poniendo a = b en las mismas fórmulas, obtenemos las fórmulas para el seno y el coseno de ángulos dobles:

1. Seno de doble ángulo: pecado2a = pecado(un+un) = pecadoaporquea+porqueapecadoa = 2pecadoaporquea
2. Coseno de doble ángulo: porque2a = porque(un+un) = porqueaporquea-pecadoapecadoa = porque2 un-pecado2 un

Las fórmulas para otros ángulos múltiples se obtienen de manera similar:

1. Seno de un ángulo triple: pecado3a = pecado(2a+a) = pecado2aporquea+porque2apecadoa = (2pecadoaporquea)porquea+(porque2 un-pecado2 un)pecadoa = 2pecadoaporque2 un+pecadoaporque2 un-pecado 3 a = 3 pecadoaporque2 un-pecado 3 a = 3 pecadoa(1-pecado2 un)-pecado 3 a = 3 pecadoa-4pecado 3a
2. Coseno del triple ángulo: porque3a = porque(2a+a) = porque2aporquea-pecado2apecadoa = (porque2 un-pecado2 un)porquea-(2pecadoaporquea)pecadoa = porque 3 a- pecado2 unporquea-2pecado2 unporquea = porque 3a-3 pecado2 unporquea = porque 3a-3(1- porque2 un)porquea = 4porque 3a-3 porquea

Antes de continuar, veamos un problema.
Dado: el ángulo es agudo.
Encuentra su coseno si
Solución dada por un estudiante:
Porque , Eso pecadoa= 3,a porquea = 4.
(Del humor matemático)

Entonces, la definición de tangente relaciona esta función tanto con el seno como con el coseno. Pero puedes obtener una fórmula que relacione la tangente sólo con el coseno. Para derivarlo, tomamos la identidad trigonométrica principal: pecado 2 a+porque 2 a= 1 y dividirlo por porque 2 a. Obtenemos:

Entonces la solución a este problema sería:

(Como el ángulo es agudo, al extraer la raíz se toma el signo +)

La fórmula de la tangente de una suma es otra que resulta difícil de recordar. Vamos a generarlo así:

Se muestra inmediatamente y

A partir de la fórmula del coseno para un ángulo doble, puedes obtener las fórmulas del seno y del coseno para los medios ángulos. Para hacer esto, al lado izquierdo de la fórmula del coseno de doble ángulo:
porque2 a = porque 2 a-pecado 2 a
agregamos uno, y a la derecha, una unidad trigonométrica, es decir la suma de los cuadrados del seno y el coseno.
porque2a+1 = porque2 un-pecado2 un+porque2 un+pecado2 un
2porque 2 a = porque2 a+1
expresando porquea a través de porque2 a y realizando un cambio de variables obtenemos:

El signo se toma según el cuadrante.

De manera similar, restando uno del lado izquierdo de la igualdad y la suma de los cuadrados del seno y coseno del derecho, obtenemos:
porque2a-1 = porque2 un-pecado2 un-porque2 un-pecado2 un
2pecado 2 a = 1-porque2 a

Y finalmente, para convertir la suma de funciones trigonométricas en producto, utilizamos la siguiente técnica. Digamos que necesitamos representar la suma de los senos como un producto. pecadoa+pecadob. Introduzcamos variables xey tales que a = x+y, b+x-y. Entonces
pecadoa+pecadob = pecado(x+y)+ pecado(x-y) = pecado X porque y+ porque X pecado y+ pecado X porque y- porque X pecado y=2 pecado X porque y. Expresemos ahora x e y en términos de a y b.

Dado que a = x+y, b = x-y, entonces. Es por eso

Puedes retirar inmediatamente

1. Fórmula para particionar productos de seno y coseno V cantidad: pecadoaporqueb = 0.5(pecado(a+b)+pecado(a-b))

Le recomendamos que practique y obtenga fórmulas por su cuenta para convertir la diferencia de senos y la suma y diferencia de cosenos en producto, así como para dividir los productos de senos y cosenos en la suma. Después de completar estos ejercicios, dominará a fondo la habilidad de derivar fórmulas trigonométricas y no se perderá ni siquiera en la prueba, olimpiada o prueba más difícil.