(mqs) (pns) (rnq) =

(nqs)3

набор2D(0; 20; 4; 20);

;0 тире0 );

;0 тире0 );

;0 тире0 );

тире0);

p8 = точки График(4

[ 0A 0; 0 B 0; 0 C 0; 0 a 0; 0 b 0; 0 c 0; 0 D 0];

showPlots(;0 noAxes0);

набор2D(3; 12; 2; 13);

;0 тире0 );

;0 тире0 );

;0 тире0 );

тире0);

;0 тире0 );

ГЛАВА ТРЕТА

ПОЛИЕДРАЛИ

II ОБЕМ НА ПРИЗМА И ПИРАМИДА

82. Ключови предположения за обем.Размерът на частта от пространството, заета от геометрично тяло, се нарича обем на това тяло.

Поставихме задачата - да намерим израз за тази стойност под формата на някакво число, което измерва тази стойност. При това ще се ръководим от следните отправни точки:

1) Равните тела имат равни обеми.

2) Обемът на тялото(например всеки паралелепипед, изобразен на фиг. 87), съставен от части(P и Q), е равно на сбора от обемите на тези части.

Две тела с еднакъв обем се наричат ​​равни.

83. Единица за обем.За единица обем, когато ги измерват, те вземат обема на такъв куб, в който всеки ръб е равен на линейна единица. Така че кубичните метри (m 3), кубически сантиметри (cm 3) и т.н. са често срещани.

Обем на кутията

84. Теорема.Обемът на правоъгълен паралелепипед е равен на произведението на неговите три измерения.

В такъв кратък израз тази теорема трябва да се разбира по следния начин: числото, изразяващо обема на правоъгълен паралелепипед в кубична единица, е равно на произведението на числата, изразяващи трите му измерения в съответната линейна единица, т.е. в единица, която е ръб на куб, чийто обем се приема като кубична единица. Така че, ако хе число, изразяващо обема на кубоид в кубични сантиметри, и а, би С-числа, изразяващи трите му измерения в линейни сантиметри, тогава теоремата гласи, че x=abc.

В доказателството ние специално разглеждаме следните три случая:

1) Измерванията са изразени цели числа.

Нека например измерванията са (фиг. 88): AB = а, BC = би BD= ° С,
където а, би С- някои цели числа (например, както е показано на нашия чертеж: а = 4, б= 2 и С= 5). Тогава основата на паралелепипеда съдържа абтакива квадрати, всеки от които представлява съответната квадратна единица. На всеки от тези квадрати очевидно може да се постави една кубична единица. След това получавате слой (показан на чертежа), състоящ се от абкубични единици. Тъй като височината на този слой е равна на една линейна единица, а височината на цялата кутия съдържа Стакива единици, тогава вътре в паралелепипеда може да се постави Стакива слоеве. Следователно обемът на този паралелепипед е abcкубични единици.

2) Измерванията са изразени дробни числа. Нека размерите на кутията са:

м / н , стр / q , r / с

. (Някои от тези дроби може да са равни на цяло число.) Намалявайки дробите до един и същ знаменател, имаме:

mqs / nqs , pns / nqs , rnq / nqs

Да вземем 1 / nqsчаст от линейна единица за нова (спомагателна) единица за дължина. След това, в тази нова мерна единица на този паралелепипед, те ще бъдат изразени като цели числа, а именно: mqs, pnsи rnq, и следователно, според доказаното (в случай 1), обемът на паралелепипеда е равен на произведението ( mqs) (pns) (rnq), ако този обем се измерва с нова кубична единица, съответстваща на новата линейна единица. Такива кубични единици в една кубична единица, съответстваща на предишната линейна единица, съдържа ( nqs) 3 ; така че новата кубична единица е 1 /( nqs) 3 от предишния. Следователно обемът на паралелепипеда, изразен в същите единици, е равен на:

3) Измерванията са изразени ирационални числа. Нека този паралелепипед (фиг. 89), който за краткост обозначаваме с една буква Q, има размери:

AB = α; AC = β; AD = γ,

където всички числа α, β и γ или само някои от тях са ирационални.

Всяко от числата α, β и γ може да бъде представено като безкраен десетичен знак. Нека вземем приблизителните стойности на тези дроби с Пзнака след десетичната запетая, първо с дефицит, а след това с излишък. Стойностите с дефицит ще бъдат обозначени с α н , β н , γ н, стойности с излишък α" н , β" н , γ" н. Нека начертаем на ръба AB, започвайки от точка A, два отсечка AB 1 = α ни AB 2 \u003d α " н.
На ръба AC от същата точка A начертаваме отсечките AC 1 = β ни AC 2 = β" ни на ръба AD от същата точка-сегмент AD 1 = γ ни AD 2 = γ" н.

По този начин ще имаме:

AB 1< АВ < АВ 2 ; АС 1 < АС < АС 2 ; AD 1 < AD < AD 2 .

Нека сега построим два спомагателни паралелепипеда; единият (да го наречем Q 1) с измервания AB 1 , AC 1 и AD 1 , а другият (да го наречем Q 2 ) с измервания AB 2 , AC 2 и AD 2 . Кутия Q 1 ще се побере в кутия Q, а кутия Q 2 ще съдържа кутия Q.

Според доказаното (в случай 2) ще имаме:

обем Q 1 \u003d α н β н γ н (1)

обем Q 2 \u003d α " н β" н γ" н (2)

Нека наречем обема Q 1< объёма Q 2 .

Нека започнем да увеличаваме броя П. Това означава, че приемаме приблизителни стойности на числата α, β, γ с все по-голяма точност.

Нека видим как се променят обемите на паралелепипедите Q 1 и Q 2 в този случай.

С неограничено увеличение Побемът Q 1 очевидно нараства и по силата на равенство (1) с безкрайно увеличение нима за своя граница границата на произведението (α н β н γ н). Обемът Q 2 очевидно намалява и по силата на равенство (2) има границата на произведението (α " н β" н γ" н). Но от алгебрата е известно, че и двата продукта
α н β н γ ни α" н β" н γ" нс неограничено увеличение Пимат обща граница, която е продукт на ирационални числа αβγ.

Приемаме тази граница като мярка за обема на паралелепипеда Q: обем Q = αβγ.

Може да се докаже, че така определеният обем отговаря на условията, установени за обем (§ 82). Всъщност, с това определение за обем, равните паралелепипеди очевидно имат равни обеми. Следователно първото условие (§ 82) е изпълнено. Нека сега разделим този паралелепипед Q на две чрез равнина, успоредна на основата му: Q 1 и Q 2 (фиг. 90).

Тогава ще имаме:

обем Q \u003d AB AC AD,
обем Q 1 \u003d AB AA 1 AD,
обем Q 2 \u003d A 1 B 1 A 1 C A 1 D 1.

Добавяйки член по член последните две равенства и забелязвайки, че A 1 B 1 = AB и A 1 D 1 = AD, получаваме:

обем Q 1 + обем Q 2 \u003d AB AA 1 AD + AB A 1 C AD = AB AD (AA 1 + A 1 C) = AB AD AC, от тук получаваме:

обем Q 1 + обем Q 2 = обем Q.

Следователно второто условие от § 82 също е изпълнено, ако паралелепипедът се сгъва от две части, получени чрез срязването му с равнина, успоредна на една от лицата.

85. Последствие.Нека измерванията на правоъгълен паралелепипед, които служат за страни на неговата основа, се изразяват с числа аи б, а третото измерение (височина) е числото С. След това, обозначавайки неговия обем в съответните кубични единици с буквата V, можем да напишем:

V = коремни мускули.

От работата абизразява площта на основата, тогава можем да кажем, че Обемът на правоъгълна призма е равен на произведението на площта на основата и височината .

Коментирайте.Съотношението на две кубични единици с различни имена е равно на третата степен на съотношението на онези линейни единици, които служат като ръбове на тези кубични единици. И така, съотношението на кубичен метър към кубичен дециметър е 10 3, т.е. 1000. Следователно, например, ако имаме куб с дължина на ръба алинейни единици и друг куб с ръб с дължина 3 алинейни единици, то съотношението на обемите им ще бъде равно на 3 3, т.е. 27, което ясно се вижда от чертеж 91.

86. Лема. Наклонена призма е равна на такава права призма, чиято основа е равна на перпендикулярното сечение на наклонената призма, а височината е равна на страничния й ръб.

Нека е дадена наклонена призма ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 (фиг. 92).

Нека продължим всичките му странични ръбове и странични лица в същата посока.

Вземете произволна точка върху продължението на един от ръбовете аи начертайте перпендикулярно сечение през него а б В Г Д. След това, отлагане аа 1 \u003d AA 1, нека преминем а 1 перпендикулярна секция а 1 б 1 ° С 1 д 1 дедин . Тъй като равнините на двете секции са успоредни, тогава бб 1 = ss 1 = дд 1 = нея 1 = аа 1 = AA 1 (§17). В резултат на това полиедърът а 1 д, за което сеченията, които начертахме, са взети за бази, е директна призма, която е спомената в теоремата.

Нека докажем, че дадената наклонена призма е равна на тази права линия. За да направите това, първо се уверяваме, че полиедрите а D и а 1 D 1 са равни. техните основи а б В Г Ди а 1 б 1 ° С 1 д 1 д 1 са равни като основите на призмата а 1 д; от друга страна, добавяйки към двете части на равенството A 1 A = а 1 апо една и съща отсечка A 1 а, получаваме: аА = а 1 A 1 ; като този б B = б 1 в 1, С C = С 1 C 1 и т.н. Нека сега да си представим, че полиедърът а D е вложено в полиедър а 1 D 1 така, че техните основи да съвпадат; тогава страничните ръбове, перпендикулярни на основите и съответно равни, също ще съвпадат; така че полиедърът а D е съвместим с полиедъра а 1 D 1 ; така че тези тела са равни. Сега обърнете внимание, че ако към права призма а 1 ддобавете полиедър а D и добавете полиедър към наклонената призма A 1 D а 1 D 1 равно а D, тогава получаваме същия полиедър а 1 D. От това следва, че две призми A 1 D и а 1 дса равни.

87. Теорема. Обемът на паралелепипед е равен на произведението на площта на основата и височината.

По-рано доказахме тази теорема за правоъгълен паралелепипед, сега ще я докажем за правоъгълен паралелепипед и след това за наклонен.

едно). Нека (фиг. 93) AC 1 е прав паралелепипед, т.е. такъв, чиято основа ABCD е някакъв паралелограм, а всички странични лица са правоъгълници.

Да вземем в него за основа страничната повърхност AA 1 B 1 B; тогава паралелепипедът ще бъде
n a c l o n n y. Разглеждайки го като частен случай на наклонена призма, можем да твърдим въз основа на лемата от предишния раздел, че този паралелепипед е равен по размер на такъв десен паралелепипед, чиято основа е перпендикулярното сечение MNPQ, а височината е BC. Четириъгълникът MNPQ е правоъгълник, тъй като ъглите му са линейни ъгли на правите двугранни ъгли; следователно, десен паралелепипед с правоъгълник MNPQ като основа трябва да е правоъгълен и следователно неговият обем е равен на произведението на трите му измерения, които могат да се приемат като отсечки MN, MQ и BC. По този начин,

обем AC 1 \u003d MN MQ BC = MN (MQ BC).

Но продуктът MQ BC изразява площта на паралелограма ABCD, следователно

обем ACX = (област ABCD) MN = (област ABCD) BB 1.

2) Нека (фиг. 94) AC 1 е наклонен паралелепипед.

Тя е равна по размер на такава права линия, в която перпендикулярното сечение MNPQ служи като основа (тоест перпендикулярно на ръбовете AD, BC, . . .), а височината е ръбът BC. Но според доказаното обемът на десен паралелепипед е равен на произведението на площта на основата и височината; означава,

обем AC 1 = (площ MNPQ) BC.

Ако RS е височината на секцията MNPQ, тогава площта MNPQ = MQ RS, т.е

обем AC 1 \u003d MQ RS BC = (BC MQ) RS.

Продуктът BC MQ изразява площта на паралелограма ABCD; следователно, обемът AC 1 = (площ ABCOD) RS.

Сега остава да се докаже, че отсечката RS е височината на паралелепипеда. Наистина, сечението MNPQ, перпендикулярно на ръбовете BC, B 1 C 1 , .. . , трябва да бъде перпендикулярна на лицата ABCD, BB 1 C 1 C, .... минаващи през тези ръбове (§ 43). Следователно, ако поставим перпендикуляр на равнината ABCD от точка S, тогава тя трябва да лежи изцяло в равнината MNPQ (§ 44) и следователно трябва да се слее с правата RS, която лежи в тази равнина и е перпендикулярна на MQ. Следователно отсечката SR е височината на паралелепипеда. По този начин обемът на и наклонения паралелепипед е равен на произведението на площта на основата и височината.

Последица.Ако V, B и H са числа, изразяващи в съответните единици обема, основната площ и височината на паралелепипеда, тогава можем да запишем.

В този урок ще говорим за правоъгълна кутия. Нека си припомним някои от свойствата му. И след това извеждаме подробно формулите за изчисляване на обема на правоъгълен паралелепипед. Резюме на урока "Обемът на кубоид" В този урок ще говорим за кубоид. Нека си припомним някои от свойствата му. И след това извеждаме подробно формулите за изчисляване на обема на правоъгълен паралелепипед. По-рано вече се срещнахме с правоъгълен паралелепипед. Припомнете си, че кутията се нарича правоъгълна, ако всичките й шест лица са правоъгълници. Представа за формата на кубоид се дава от кибритена кутия, кутия, хладилник и т.н. Нека си представим стая, която има формата на кубоид. Ако говорим за неговите размери, тогава обикновено се използват думите "дължина", "ширина" и "височина", отнасящи се до дължините на три ръба с общ връх. В геометрията тези три величини са обединени с общо име: измервания на правоъгълен паралелепипед. На екрана е показана правоъгълна кутия, като нейните измервания могат да се вземат, например дължините на ръбовете, тези ръбове имат общ връх на кутията, ширината и кутията има следните свойства: 1) квадратът на диагоналът на правоъгълна кутия е равен на сбора от квадратите на трите му измерения. е дължината на даденото. Тогава ръбът е неговата височина. . В и всички 2) обемът на правоъгълен паралелепипед е равен на произведението на неговите три измерения. И така, следната теорема е вярна: обемът на правоъгълен паралелепипед е равен на произведението на неговите три измерения. Нека докажем тази теорема. Нека размерите на правоъгълен паралелепипед са дадени с букви. Нека докажем, че обемът на правоъгълен паралелепипед е равен на, а обемът му - с буква. Да обозначим и. , . Възможни са два случая: Помислете за първия случай. Измерванията на десетичните дроби, при които броят на десетичните знаци не надвишава, са крайни и (,). В този случай числата и са цели числа. Разделяме всеки ръб на паралелепипеда на равни части от дължината. След това, през точките на разделяне, рисуваме равнини, перпендикулярни на този ръб. Тогава нашата кутия ще бъде разделена на равни кубчета с дължината на всеки ръб. Общият брой на такива кубчета ще бъде равен. Тъй като обемът на всеки такъв куб е равен, обемът на целия паралелепипед ще бъде равен. С това доказахме, че обемът на правоъгълен паралелепипед е равен на произведението на неговите три измерения. Q.E.D. Да преминем към втория случай. Поне една от измеренията е безкрайна десетична дроб. , и представлява Помислете за крайните десетични дроби от числа c, -th. , които се получават от, ако отхвърлим всички цифри след десетичната запетая във всяка от тях, като започнем Забележете, че тогава неравенството е вярно. Подобни неравенства ще важат и за числа, където и: . , където, . Нека умножим тези неравенства. Тогава виждаме това. От неравенството става ясно, че кутията е кутия и самата тя се съдържа в кутията. И това казва. Сега нека увеличаваме неограничено, за да станем произволно малко и следователно числото се различава малко от числото. . Тогава броят ще бъде произволен В резултат на това те ще станат равни. Тези. . Q.E.D. Тази теорема има следните следствия. Първо следствие. Обемът на правоъгълна призма е равен на произведението на площта на основата и височината. Доказателство. Нека лице с ръбове на правоъгълен паралелепипед. Тогава площта на основата е височината на паралелепипеда и. е основата и тогава можете да видите, че формулата за изчисляване на обема на правоъгълен паралелепипед е площта на основата, е височината на правоъгълен паралелепипед. може да бъде записано във вида, където По този начин, ние сме доказали, че обемът на правоъгълен паралелепипед е равен на. Q.E.D. Второ последствие. Обемът на дясна призма, чиято основа е правоъгълен триъгълник, е равен на произведението на площта на основата и височината. Доказателство. За да докажем това твърдение, нека завършим дясна триъгълна призма с основа на паралелепипед, както е показано на екрана. Като се вземе предвид първото следствие, обемът на този паралелепипед е равен на къде е площта на основата) на правоъгълник (, е височината на призмата. , разделя паралелепипеда на две равни прави призми, едната от които е дадена равнина. Тези призми са равни, тъй като имат равни основи и равни височини. Следователно обемът на тази призма е равен, т.е. равен на доказателство. Забележка. Помислете за квадрат със страна a. Както се изисква Въз основа на Питагоровата теорема, диагоналът му е равен. Следователно площта на квадрата, построен върху него, е два пъти по-голяма от площта на този квадрат. По този начин не е трудно да се построи страна на квадрат, чиято площ е два пъти по-голяма от площта на квадрата. даден квадрат. Сега помислете за куб със страна a. Възниква въпросът: възможно ли е с помощта на пергел и линейка да се построи страна на куб, чийто обем е два пъти по-голям от обема на даден куб, т.е. да се построи отсечка, равна на ? Този проблем е формулиран в древни времена. Нарича се „проблемът за удвояване на куба“. Едва през 1837 г. френският математик Пиер Лоран Ванзел доказва, че подобна конструкция е невъзможна. В същото време той доказа неразрешимостта на друг строителен проблем - задачата за трисечение на ъгъл (произволно даден ъгъл се разделя на три равни ъгъла). Припомнете си, че проблемът за квадратура на кръг (построяване на квадрат, чиято площ е равна на площта на дадения кръг) също принадлежи към класа на класическите нерешими строителни задачи. Невъзможността за такава конструкция е доказана през 1882 г. от немския математик Карл Луис Фердинанд Линдеман. Задача: намерете обема на кубоид с диагонални страни на основата Решение: напишете формула за изчисляване на обема на кубоид чрез неговите измервания. cm и cm. cm и От условието на задачата знаем дължината, ширината и диагонал на правоъгълен паралелепипед, но височината му е неизвестна. Припомнете си това. Изразяваме от тази формула височината, която е височината (см). правоъгълен паралелепипед. Получаваме и равно на Нека заместим измерванията на нашия правоъгълен паралелепипед във формулата за обем. Да преброим. Получаваме, че обемът на паралелепипеда е равен. Не забравяйте да запишете отговора. (см3). Задача: квадрат. Обемът на кубоида е равен на височината на кубоида, ако е кубоидът, основата е cm3. Определете Вижте решение: В този урок доказахме, че обемът на кубоид е равен. Изразете височината от формулата. Следователно височината е равна. Тъй като основата на нашия правоъгълен паралелепипед е квадрат по условие, тогава площта на основата е равна на обема на правоъгълния паралелепипед е (cm2). От състоянието на проблема се знае също, че. Следователно височината (см). Нека запишем отговора. равно на общите суми: В този урок си спомнихме концепцията за кубоид. Доказахме, че обемът на правоъгълен паралелепипед е равен на произведението на неговите три измерения. Доказахме, че обемът на правоъгълен паралелепипед може да се изчисли като произведение на основната площ и височината. Те също така доказаха, че обемът на дясна призма, чиято основа е правоъгълен триъгълник, е равен на произведението на площта на основата и височината.

Призмата се нарича паралелепипедако основите му са паралелограми. См. Фиг. 1.

Свойства на кутията:

Противоположните страни на паралелепипеда са успоредни (т.е. лежат в успоредни равнини) и равни.

Диагоналите на паралелепипеда се пресичат в една точка и разполовяват тази точка.

Съседни лица на кутияса две лица, които имат общ ръб.

Противоположни лица на паралелепипед– лица, които нямат общи ръбове.

Противоположни върхове на кутиятаса два върха, които не принадлежат на едно и също лице.

Диагонал на кутиятаЛинеен сегмент, който свързва противоположни върхове.

Ако страничните ръбове са перпендикулярни на равнините на основите, тогава паралелепипедът се нарича директен.

Нарича се десен паралелепипед, чиито основи са правоъгълници правоъгълна. Нарича се призма, чиито лица са квадрати куб.

ПаралелепипедПризма, чиито основи са успоредни.

Десен паралелепипед- паралелепипед, чиито странични ръбове са перпендикулярни на равнината на основата.

кубоиде десен паралелепипед, чиито основи са правоъгълници.

кубе правоъгълен паралелепипед с равни ръбове.

Паралелепипеднарича се призма, чиято основа е паралелограм; по този начин паралелепипедът има шест лица и всички те са успоредни.

Противоположните лица са по двойки равни и успоредни. Паралелепипедът има четири диагонала; всички те се пресичат в една точка и се разделят наполовина в нея. Всяко лице може да се вземе за основа; обемът е равен на произведението на основната площ и височината: V = Sh.

Паралелепипед, чиито четири странични лица са правоъгълници, се нарича десен паралелепипед.

Десен паралелепипед, в който всичките шест лица са правоъгълници, се нарича правоъгълен. См. Фиг.2.

Обемът (V) на десен паралелепипед е равен на произведението на основната площ (S) и височината (h): V = Sh .

За правоъгълен паралелепипед, в допълнение, формулата V=abc, където a,b,c са ръбове.

Диагоналът (d) на кубоида е свързан с неговите ръбове чрез релацията d 2 \u003d a 2 + b 2 + c 2 .

кубоид- паралелепипед, чиито странични ръбове са перпендикулярни на основите, а основите са правоъгълници.

Свойства на кубоид:

В кубоид всичките шест лица са правоъгълници.

Всички двугранни ъгли на кубоид са прави.

Квадратът на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равен на сбора от квадратите на трите му измерения (дължини на три ръба, които имат общ връх).

Диагоналите на правоъгълен паралелепипед са равни.

Правоъгълен паралелепипед, чиито лица са квадрати, се нарича куб. Всички ръбове на куб са равни; обемът (V) на куб се изразява с формулата V=a 3, където a е ръбът на куба.

Всяко геометрично тяло може да се характеризира с повърхност (S) и обем (V). Площта и обемът не са едно и също нещо. Един обект може да има сравнително малко V и голямо S, например, така работи човешкият мозък. Много по-лесно е да се изчислят тези показатели за прости геометрични фигури.

Паралелепипед: определение, типове и свойства

Паралелепипедът е четириъгълна призма с паралелограм в основата си. Защо може да ви е необходима формула за намиране на обема на фигура? Подобна форма имат книги, опаковъчни кутии и много други неща от ежедневието. Стаите в жилищни и офис сгради, като правило, са правоъгълни паралелепипеди. За да инсталирате вентилация, климатизация и да определите броя на нагревателните елементи в една стая, е необходимо да изчислите обема на помещението.

Фигурата има 6 лица - успоредник и 12 ръба, две произволно избрани лица се наричат ​​бази. Паралелепипедът може да бъде от няколко вида. Разликите се дължат на ъглите между съседните ръбове. Формулите за намиране на V-s на различни полигони са малко по-различни.

Ако 6 лица на геометрична фигура са правоъгълници, тогава тя се нарича още правоъгълна. Кубът е специален случай на паралелепипед, в който всичките 6 лица са равни квадрати. В този случай, за да намерите V, трябва да знаете дължината само на едната страна и да я повишите на трета степен.

За да решавате проблеми, ще ви трябват познания не само за готови формули, но и за свойствата на фигурата. Списъкът с основните свойства на правоъгълна призма е малък и много лесен за разбиране:

1. Противоположните лица на фигурата са равни и успоредни. Това означава, че разположените срещуположно ребра са еднакви по дължина и ъгъл на наклон.
2. Всички странични лица на десен паралелепипед са правоъгълници.
3. Четирите основни диагонала на геометрична фигура се пресичат в една точка и я разделят наполовина.
4. Квадратът на диагонала на паралелепипед е равен на сумата от квадратите на размерите на фигурата (следва от Питагоровата теорема).

Питагорова теоремагласи, че сумата от площите на квадратите, построени върху краката на правоъгълен триъгълник, е равна на площта на триъгълника, построен върху хипотенузата на същия триъгълник.

Доказателството за последното свойство може да се види на изображението по-долу. Ходът на решаване на проблема е прост и не изисква подробни обяснения.

Формулата за обема на правоъгълен паралелепипед

Формулата за намиране на всички видове геометрични фигури е една и съща: V=S*h, където V е желаният обем, S е площта на основата на паралелепипеда, h е височината, спусната от противоположния връх и перпендикуляра към основата. В правоъгълник h съвпада с една от страните на фигурата, така че за да намерите обема на правоъгълна призма, трябва да умножите три измервания.

Обемът обикновено се изразява в cm3. Познавайки и трите стойности a, b и c, намирането на обема на фигурата изобщо не е трудно. Най-често срещаният тип проблем в USE е търсенето на обема или диагонала на паралелепипед. Невъзможно е да се решат много типични USE задачи без формула за обема на правоъгълник. Пример за задача и дизайнът на нейното решение е показан на фигурата по-долу.

Забележка 1. Повърхността на правоъгълна призма може да се намери, като се умножи по 2 сумата от площите на трите лица на фигурата: основата (ab) и две съседни странични лица (bc + ac).

Бележка 2. Площта на повърхността на страничните повърхности може лесно да се намери чрез умножаване на периметъра на основата по височината на паралелепипеда.

Въз основа на първото свойство на паралелепипедите, AB = A1B1 и лицето B1D1 = BD. Според следствията от теоремата на Питагор сумата от всички ъгли в правоъгълен триъгълник е равна на 180 °, а кракът срещу ъгъла от 30 ° е равен на хипотенузата. Прилагайки това знание за триъгълник, лесно можем да намерим дължината на страните AB и AD. След това умножаваме получените стойности и изчисляваме обема на паралелепипеда.

Формулата за намиране на обема на наклонена кутия

За да се намери обемът на наклонен паралелепипед, е необходимо да се умножи площта на основата на фигурата по височината, спусната до тази основа от противоположния ъгъл.

По този начин желаното V може да бъде представено като h - броят на листовете с площ S на основата, така че обемът на тестето се състои от Vs на всички карти.

Примери за решаване на проблеми

Задачите на единичния изпит трябва да бъдат изпълнени в рамките на определено време. Типичните задачи, като правило, не съдържат голям брой изчисления и сложни дроби. Често на ученика се предлага как да намери обема на неправилна геометрична фигура. В такива случаи трябва да запомните простото правило, че общият обем е равен на сумата от V-s на съставните части.

Както можете да видите от примера на изображението по-горе, няма нищо сложно в решаването на подобни проблеми. Задачите от по-сложни раздели изискват познаване на питагоровата теорема и последствията от нея, както и формулата за дължината на диагонала на фигура. За успешно решаване на тестови задачи е достатъчно да се запознаете предварително с образци от типични задачи.