Уравнението на равнина, минаваща през точка, е перпендикулярна на вектора. Права

Ако всички числа A, B, C и D са различни от нула, тогава общото уравнение на равнината се нарича завършен. В противен случай се нарича общото уравнение на равнината непълна.

Нека разгледаме всички възможни общи непълни уравнения на равнината в правоъгълната координатна система Oxyz в тримерното пространство.

Нека D = 0, тогава имаме общо непълно уравнение на равнината на формата . Тази равнина в правоъгълната координатна система Oxyz минава през началото. Всъщност, когато заменим координатите на точката в полученото непълно уравнение на равнината, стигаме до тъждеството .

За , или , или имаме общи непълни уравнения на равнините , или , или съответно. Тези уравнения дефинират равнини, които са успоредни на координатните равнини Oxy , Oxz и Oyz съответно (вижте статията Условие на паралелизъм за равнини) и преминаващи през точките и съответно. В. От точката принадлежи на равнината по условие, то координатите на тази точка трябва да отговарят на уравнението на равнината, тоест равенството трябва да е вярно. От тук намираме. По този начин желаното уравнение има формата .

Представяме втория начин за решаване на този проблем.

Тъй като равнината, чието общо уравнение трябва да съставим, е успоредна на равнината Oyz , тогава като неин нормален вектор можем да вземем нормален вектор на равнината Oyz . Нормалният вектор на координатната равнина Oyz е координатният вектор. Сега знаем нормалния вектор на равнината и точката на равнината, следователно можем да запишем общото му уравнение (решихме подобен проблем в предишния параграф на тази статия):
, то координатите му трябва да отговарят на уравнението на равнината. Следователно, равенството където намираме. Сега можем да напишем желаното общо уравнение на равнината, то има формата .

Отговор:

Библиография.

• Бугров Я.С., Николски С.М. Висша математика. Том първи: Елементи на линейната алгебра и аналитичната геометрия.
• Илин В.А., Позняк Е.Г. Аналитична геометрия.

За да получим общото уравнение на равнината, ние анализираме равнината, минаваща през дадена точка.

Нека има три координатни оси, които вече са ни известни в пространството - вол, Ойи Оз. Дръжте листа хартия, така че да остане плосък. Равнината ще бъде самият лист и неговото продължение във всички посоки.

Позволявам Ппроизволна равнина в пространството. Всеки вектор, перпендикулярен на него, се нарича нормален вектор към този самолет. Естествено, говорим за ненулев вектор.

Ако някоя точка от равнината е известна Пи някакъв вектор на нормалата към него, то от тези две условия равнината в пространството е напълно определена(през дадена точка има само една равнина, перпендикулярна на даден вектор). Общото уравнение на равнината ще изглежда така:

И така, има условия, които задават уравнението на равнината. За да го получите сам равнинно уравнение, който има горната форма, поемаме в самолета Ппроизволен точка М с променливи координати х, г, z. Тази точка принадлежи на равнината само ако вектор перпендикулярно на вектора(Фиг. 1). За това според условието за перпендикулярност на векторите е необходимо и достатъчно скаларното произведение на тези вектори да е равно на нула, т.е.

Векторът е даден от условие. Координатите на вектора намираме по формулата :

.

Сега, използвайки формулата на точковото произведение на векторите , изразяваме скаларното произведение в координатна форма:

От точката M(x; y; z)е избран произволно на равнината, тогава последното уравнение се удовлетворява от координатите на всяка точка, лежаща на равнината П. За точка н, не лежащи на дадена равнина, , т.е. равенството (1) е нарушено.

Пример 1Напишете уравнение за равнина, минаваща през точка и перпендикулярна на вектор.

Решение. Използваме формула (1), погледнете я отново:

В тази формула числата А , Би ° Свекторни координати и числа х0 , г0 и z0 - координати на точката.

Изчисленията са много прости: заместваме тези числа във формулата и получаваме

Умножаваме всичко, което трябва да се умножи и събираме само числа (които са без букви). Резултат:

.

Необходимото уравнение на равнината в този пример се оказа изразено с общото уравнение от първа степен по отношение на променливи координати x, y, zпроизволна точка на равнината.

И така, уравнение на формата

Наречен общото уравнение на равнината .

Пример 2Конструирайте в правоъгълна декартова координатна система равнината, дадена от уравнението .

Решение. За да се построи равнина, е необходимо и достатъчно да се знаят три от нейните точки, които не лежат на една права линия, например точките на пресичане на равнината с координатните оси.

Как да намеря тези точки? За намиране на пресечната точка с оста Оз, трябва да замените нули вместо x и y в уравнението, дадено в формулировката на проблема: х = г= 0 . Следователно получаваме z= 6 . Така дадена равнина пресича оста Озв точката А(0; 0; 6) .

По същия начин намираме пресечната точка на равнината с оста Ой. В х = z= 0 получаваме г= −3 , тоест точка Б(0; −3; 0) .

И накрая, намираме точката на пресичане на нашата равнина с оста вол. В г = z= 0 получаваме х= 2 , тоест точка ° С(2; 0; 0) . Според трите точки, получени в нашето решение А(0; 0; 6) , Б(0; −3; 0) и ° С(2; 0; 0) изграждаме дадената равнина.

Помислете сега специални случаи на общото уравнение на равнината. Това са случаи, когато определени коефициенти на уравнение (2) изчезват.

1. Кога D= 0 уравнение дефинира равнина, минаваща през началото, тъй като координатите на точка 0 (0; 0; 0) удовлетворяват това уравнение.

2. Кога A= 0 уравнение определя равнина, успоредна на оста вол, тъй като нормалният вектор на тази равнина е перпендикулярен на оста вол(проекцията му върху оста волравно на нула). По същия начин, когато B= 0 самолет успоредна ос Ой, и когато C= 0 самолет успоредно на оста Оз.

3. Кога A=D= 0 уравнение дефинира равнина, минаваща през оста волзащото е успоредна на оста вол (A=D= 0). По същия начин равнината минава през оста Ой, и равнината през оста Оз.

4. Кога A=B= 0 уравнение дефинира равнина, успоредна на координатната равнина xOyзащото е успоредна на осите вол (А= 0) и Ой (Б= 0). По същия начин равнината е успоредна на равнината йОз, а самолетът - самолетът xOz.

5. Кога A=B=D= 0 уравнение (или z= 0) дефинира координатната равнина xOy, тъй като е успоредна на равнината xOy (A=B= 0) и минава през началото ( D= 0). По същия начин, уравнението y= 0 в пространството определя координатната равнина xOz, и уравнението x= 0 - координатна равнина йОз.

Пример 3Съставете уравнението на равнината Ппреминаващ през оста Ойи точка.

Решение. Значи самолетът минава през оста Ой. Така че в нейното уравнение г= 0 и това уравнение има вида . За определяне на коефициентите Аи ° Сизползваме факта, че точката принадлежи на равнината П .

Следователно сред неговите координати има такива, които могат да бъдат заместени в уравнението на равнината, което вече изведохме (). Нека отново да разгледаме координатите на точката:

М0 (2; −4; 3) .

Между тях х = 2 , z= 3 . Ние ги заместваме в общото уравнение и получаваме уравнението за нашия конкретен случай:

2А + 3° С = 0 .

Оставяме 2 Аот лявата страна на уравнението прехвърляме 3 ° Сот дясната страна и вземете

А = −1,5° С .

Заместване на намерената стойност Ав уравнението получаваме

или .

Това е уравнението, което се изисква в примерното условие.

Решете сами задачата върху уравненията на равнината и след това погледнете решението

Пример 4Определете равнината (или равнините, ако са повече от една) по отношение на координатните оси или координатните равнини, ако равнината(ите) е дадена от уравнението .

Решения на типични проблеми, които възникват при тестове - в ръководството "Проблеми в равнина: успоредност, перпендикулярност, пресичане на три равнини в една точка" .

Уравнение на равнина, минаваща през три точки

Както вече споменахме, необходимо и достатъчно условие за построяване на равнина, освен една точка и нормален вектор, са и три точки, които не лежат на една права линия.

Нека има три различни точки , И , Не лежи на една и съща права линия. Тъй като тези три точки не лежат на една права линия, векторите и не са колинеарни и следователно всяка точка от равнината лежи в една и съща равнина с точките , и ако и само ако векторите , и компланарен, т.е. ако и само ако смесеното произведение на тези векториравно на нула.

Използвайки израза за смесено произведение в координати, получаваме равнинното уравнение

(3)

След разширяване на детерминанта това уравнение става уравнение от вида (2), т.е. общото уравнение на равнината.

Пример 5Напишете уравнение за равнина, минаваща през три дадени точки, които не лежат на права линия:

и да се определи конкретен случай на общото уравнение на правата, ако има такова.

Решение. Съгласно формула (3) имаме:

Нормално уравнение на равнината. Разстояние от точка до равнина

Нормалното уравнение на равнината е нейното уравнение, написано във формата

Тази статия дава представа как да се напише уравнение за равнина, минаваща през дадена точка в триизмерно пространство, перпендикулярно на дадена права. Нека анализираме горния алгоритъм, като използваме примера за решаване на типични проблеми.

Намиране на уравнението на равнина, минаваща през дадена точка от пространството, перпендикулярна на дадена права

Нека в него са дадени триизмерно пространство и правоъгълна координатна система O x y z. Дадени са също точката M 1 (x 1, y 1, z 1), правата a и равнината α, минаваща през точката M 1, перпендикулярна на правата a. Необходимо е да се запише уравнението на равнината α.

Преди да продължим с решаването на този проблем, нека си припомним геометричната теорема от програмата за 10 - 11 клас, която гласи:

Определение 1

Една равнина минава през дадена точка в триизмерно пространство и е перпендикулярна на дадена права.

Сега помислете как да намерите уравнението на тази единствена равнина, минаваща през началната точка и перпендикулярна на дадената права.

Възможно е да се напише общото уравнение на равнината, ако са известни координатите на точка, принадлежаща на тази равнина, както и координатите на нормалния вектор на равнината.

Съгласно условието на задачата ни са дадени координатите x 1, y 1, z 1 на точката M 1, през която минава равнината α. Ако определим координатите на нормалния вектор на равнината α, тогава ще можем да напишем желаното уравнение.

Нормалният вектор на равнината α, тъй като е различен от нула и лежи на правата a, перпендикулярна на равнината α, ще бъде всеки насочващ вектор на правата a. И така, задачата за намиране на координатите на нормалния вектор на равнината α се трансформира в задача за определяне на координатите на насочващия вектор на правата линия a .

Определянето на координатите на насочващия вектор на правата линия a може да се извърши по различни методи: зависи от варианта на задаване на правата линия a в началните условия. Например, ако правата a в условието на задачата е дадена от канонични уравнения от вида

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

или параметрични уравнения от вида:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

тогава насочващият вектор на правата линия ще има координати a x, a y и a z. В случай, когато правата линия a е представена от две точки M 2 (x 2, y 2, z 2) и M 3 (x 3, y 3, z 3), тогава координатите на вектора на посоката ще бъдат определени като (x3 - x2, y3 - y2 , z3 – z2).

Определение 2

Алгоритъм за намиране на уравнението на равнина, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена права:

Определете координатите на насочващия вектор на правата линия a: a → = (a x, a y, a z) ;

Ние дефинираме координатите на нормалния вектор на равнината α като координатите на насочващия вектор на правата линия a:

n → = (A , B , C) , където A = a x , B = a y , C = a z;

Пишем уравнението на равнината, минаваща през точката M 1 (x 1, y 1, z 1) и имаща нормален вектор n→=(A, B, C) във формата A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Това ще бъде необходимото уравнение на равнина, която минава през дадена точка в пространството и е перпендикулярна на дадена права.

Полученото общо уравнение на равнината: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 дава възможност да се получи уравнението на равнината на сегменти или нормалното уравнение на равнината.

Нека решим някои примери с помощта на алгоритъма, получен по-горе.

Пример 1

Дадена е точка M 1 (3, - 4, 5), през която минава равнината, като тази равнина е перпендикулярна на координатната права O z.

Решение

векторът на посоката на координатната линия O z ще бъде координатният вектор k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Следователно, нормалният вектор на равнината има координати (0 , 0 , 1) . Нека напишем уравнението на равнина, минаваща през дадена точка M 1 (3, - 4, 5), чийто нормален вектор има координати (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Отговор: z - 5 = 0 .

Помислете за друг начин за решаване на този проблем:

Пример 2

Равнина, която е перпендикулярна на правата O z, ще бъде дадена от непълно общо уравнение на равнината от вида С z + D = 0 , C ≠ 0 . Нека дефинираме стойностите на C и D: тези, за които равнината минава през дадена точка. Заместваме координатите на тази точка в уравнението C z + D = 0 , получаваме: C · 5 + D = 0 . Тези. числа, C и D са свързани с - D C = 5 . Вземайки C \u003d 1, получаваме D = - 5.

Заменете тези стойности в уравнението C z + D = 0 и получете необходимото уравнение за равнина, перпендикулярна на правата O z и минаваща през точката M 1 (3, - 4, 5) .

Ще изглежда така: z - 5 = 0.

Отговор: z - 5 = 0 .

Пример 3

Напишете уравнение за равнина, минаваща през началото и перпендикулярна на правата x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Решение

Въз основа на условията на задачата може да се твърди, че водещият вектор на дадена права линия може да се приеме като нормален вектор n → на дадена равнина. Така: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Нека напишем уравнението на равнина, минаваща през точка O (0, 0, 0) и имаща нормален вектор n → \u003d (- 3, - 7, 2) :

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Получихме необходимото уравнение за равнината, минаваща през началото, перпендикулярно на дадената права.

Отговор:- 3x - 7y + 2z = 0

Пример 4

Дадена е правоъгълна координатна система O x y z в триизмерно пространство, тя съдържа две точки A (2 , - 1 , - 2) и B (3 , - 2 , 4) . Равнината α минава през точка A, перпендикулярна на правата AB. Необходимо е да се състави уравнението на равнината α на отсечки.

Решение

Равнината α е перпендикулярна на правата A B, тогава векторът A B → ще бъде нормален вектор на равнината α. Координатите на този вектор се определят като разлика между съответните координати на точки B (3, - 2, 4) и A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Общото уравнение на равнината ще бъде записано в следния вид:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Сега съставяме желаното уравнение на равнината в сегментите:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Отговор:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Трябва също да се отбележи, че има задачи, чието изискване е да се напише уравнение за равнина, минаваща през дадена точка и перпендикулярна на две дадени равнини. Най-общо решението на този проблем е да се напише уравнение за равнина, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена права, тъй като две пресичащи се равнини определят права линия.

Пример 5

Дадена е правоъгълна координатна система O x y z, в нея е точка M 1 (2, 0, - 5) . Дадени са и уравненията на две равнини 3 x + 2 y + 1 = 0 и x + 2 z - 1 = 0, които се пресичат по правата линия a . Необходимо е да се състави уравнение за равнина, минаваща през точката M 1 перпендикулярно на правата a.

Решение

Нека определим координатите на насочващия вектор на правата a . Той е перпендикулярен както на нормален вектор n 1 → (3 , 2 , 0) на равнината n → (1 , 0 , 2), така и на нормален вектор 3 x + 2 y + 1 = 0 на равнината x + 2 z - 1 = 0 .

Тогава за насочващия вектор α → права линия a вземаме векторното произведение на векторите n 1 → и n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Така векторът n → = (4, - 6, - 2) ще бъде нормален вектор на равнината, перпендикулярна на правата a. Записваме желаното уравнение на равнината:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Отговор: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Свойства на права линия в евклидовата геометрия.

Има безкрайно много линии, които могат да бъдат начертани през всяка точка.

През всякакви две несъвпадащи точки има само една права линия.

Две несъвпадащи прави в равнината или се пресичат в една точка, или са

успоредна (следва от предишната).

В триизмерното пространство има три опции за относителното положение на две линии:

• линиите се пресичат;

• правите линии са успоредни;

• прави линии се пресичат.

Направо линия- алгебрична крива от първи ред: в декартовата координатна система права линия

се дава на равнината от уравнение от първа степен (линейно уравнение).

Общо уравнение на права линия.

Определение. Всяка права в равнината може да бъде дадена от уравнение от първи ред

Ah + Wu + C = 0,

и постоянно А, Бне е равно на нула в същото време. Това уравнение от първи ред се нарича общ

уравнение на права линия.В зависимост от стойностите на константите А, Би ОТВъзможни са следните специални случаи:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- линията минава през началото

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- права линия, успоредна на оста ох

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- права линия, успоредна на оста OU

. B = C = 0, A ≠ 0- линията съвпада с оста OU

. A = C = 0, B ≠ 0- линията съвпада с оста ох

Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми в зависимост от всяко дадено

начални условия.

Уравнение на права линия от точка и нормален вектор.

Определение. В декартова правоъгълна координатна система, вектор с компоненти (A, B)

перпендикулярно на правата, дадена от уравнението

Ah + Wu + C = 0.

Пример. Намерете уравнението на права линия, минаваща през точка A(1, 2)перпендикулярно на вектора (3, -1).

Решение. Нека съставим при A = 3 и B = -1 уравнението на правата линия: 3x - y + C = 0. За да намерите коефициента C

заместваме координатите на дадена точка A в получения израз. Получаваме: 3 - 2 + C = 0, следователно

С = -1. Общо: желаното уравнение: 3x - y - 1 \u003d 0.

Уравнение на права линия, минаваща през две точки.

Нека в пространството са дадени две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1)и M2 (x 2, y 2, z 2),тогава уравнение на права линия,

преминавайки през тези точки:

Ако някой от знаменателите е равен на нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула. На

равнина, уравнението на права линия, написано по-горе, е опростено:

ако x 1 ≠ x 2и х = х 1, ако х 1 = х 2 .

Фракция = kНаречен фактор на наклона прав.

Пример. Намерете уравнението на права линия, минаваща през точките A(1, 2) и B(3, 4).

Решение. Прилагайки горната формула, получаваме:

Уравнение на права линия по точка и наклон.

Ако общото уравнение на права линия Ah + Wu + C = 0приведете във формата:

и посочете , тогава полученото уравнение се извиква

уравнение на права линия с наклон k.

Уравнението на права линия върху точка и насочващ вектор.

По аналогия с точката, разглеждаща уравнението на права линия през нормалния вектор, можете да влезете в задачата

права линия през точка и вектор на посоката на права линия.

Определение. Всеки ненулев вектор (α 1 , α 2), чиито компоненти отговарят на условието

Aα 1 + Bα 2 = 0Наречен вектор на посоката на правата линия.

Ah + Wu + C = 0.

Пример. Намерете уравнението на права линия с вектор на посока (1, -1) и минаваща през точка A(1, 2).

Решение. Ще търсим уравнението на желаната права линия във формата: Ax + By + C = 0.Според определението,

коефициентите трябва да отговарят на условията:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = Б.

Тогава уравнението на права линия има вида: Ax + Ay + C = 0,или x + y + C / A = 0.

при x=1, y=2получаваме C/ A = -3, т.е. желаното уравнение:

x + y - 3 = 0

Уравнение на права линия в сегменти.

Ако в общото уравнение на правата линия Ah + Wu + C = 0 C≠0, тогава, разделяйки на -C, получаваме:

или , къде

Геометричното значение на коефициентите е, че коефициентът a е координатата на пресечната точка

права с ос о,а б- координатата на пресечната точка на правата с оста OU.

Пример. Дадено е общото уравнение на права линия x - y + 1 = 0.Намерете уравнението на тази права линия на отсечки.

C \u003d 1, , a = -1, b = 1.

Нормално уравнение на права линия.

Ако и двете страни на уравнението Ah + Wu + C = 0разделете на число , което се нарича

нормализиращ фактор, тогава получаваме

xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормално уравнение на права линия.

Знакът ± на нормализиращия фактор трябва да бъде избран така, че μ * C< 0.

Р- дължината на перпендикуляра, спуснат от началото до правата,

а φ - ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста ох.

Пример. Като се има предвид общото уравнение на права линия 12x - 5y - 65 = 0. Изисква се за писане на различни видове уравнения

тази права линия.

Уравнението на тази права линия в сегменти:

Уравнението на тази права с наклон: (раздели на 5)

Уравнение на права линия:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; р=5.

Трябва да се отбележи, че не всяка права линия може да бъде представена с уравнение на сегменти, например прави линии,

успоредни на осите или минаващи през началото.

Ъгъл между линиите в равнина.

Определение. Ако са дадени два реда y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, след това острия ъгъл между тези линии

ще се дефинира като

Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2. Две линии са перпендикулярни

ако k 1 \u003d -1 / k 2 .

Теорема.

Директен Ah + Wu + C = 0и A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0са успоредни, когато коефициентите са пропорционални

A 1 = λA, B 1 = λB. Ако също С 1 \u003d λС, тогава линиите съвпадат. Координати на пресечната точка на две прави

се намират като решение на системата от уравнения на тези линии.

Уравнението на права, минаваща през дадена точка, е перпендикулярно на дадена права.

Определение. Права, минаваща през точка M 1 (x 1, y 1)и перпендикулярно на линията y = kx + b

представено от уравнението:

Разстоянието от точка до права.

Теорема. Ако е дадена точка M(x 0, y 0),след това разстоянието до линията Ah + Wu + C = 0дефиниран като:

Доказателство. Нека точката M 1 (x 1, y 1)- основата на перпендикуляра, изпусната от точката Мза даденост

директен. След това разстоянието между точките Ми М 1:

(1)

Координати х 1и 1може да се намери като решение на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярно

дадена линия. Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

Теоремата е доказана.