Посочете номера на функцията, която е периодична. Изследване на функция за периодичност

ХАРМОНИЧЕН АНАЛИЗ

Въведение.

Съвременното развитие на технологиите поставя повишени изисквания към математическата подготовка на инженерите. В резултат на формулирането и изследването на редица специфични проблеми в механиката и физиката възниква теорията на тригонометричните редове. Редовете на Фурие играят най-важната роля във всички области на технологиите, базирани на теорията на трептенията и теорията на спектралния анализ. Например в системите за предаване на данни за описание на сигнали, практическото приложение на спектралните представи неизменно води до необходимостта от експериментално прилагане на разширението на Фурие. Ролята на тригонометричните редове в електротехниката е особено голяма при изследването на периодични несинусоидални токове: амплитудният спектър на функцията се намира с помощта на редицата на Фурие в сложна форма. Интегралът на Фурие се използва за представяне на непериодични процеси.

Тригонометричните серии имат важни приложения в много клонове на математиката и предоставят особено удобни методи за решаване на трудни проблеми в математическата физика, като вибрациите на струна и разпространението на топлина в пръчка.

Периодични функции.

Много проблеми на науката и технологиите са свързани с периодични функции, които отразяват цикличните процеси.

Определение 1.Периодични явления се наричат ​​явления, които се повтарят в една и съща последователност и в една и съща форма на определени интервали от аргумента.

Пример. При спектрален анализ – спектри.

Определение 2.Функция в = е(х) се нарича периодичен с период T, ако е(х + Т) = е(х) за всички хи х + Тот обхвата на функцията.

На фигурата периодът на изобразената функция T = 2.

Определение 3.Най-малкият положителен период на функция се нарича основен период.

Там, където човек трябва да се занимава с периодични явления, почти винаги се срещат тригонометрични функции.

Период на действие е равно на , период на функциите е равно на .

Периодът на тригонометричните функции с аргумент ( ох) се намира по формулата:

.

Пример.Намерете основния период на функциите 1) .

Решение. 1) . 2) .

Лема.Ако е(х) има период T, тогава интегралът на тази функция, взет в граници, различаващи се от T, не зависи от избора на долната граница на интеграция, т.е. = .

Основният период на труднияпериодична функция в = е(х) (състоящ се от сбора от периодични функции) е най-малкото общо кратно на периодите на съставните функции.

Тоест, ако е(х) = е 1 (х) + е 2 (х), T 1 - период на функцията е 1 (х), T 2 - период на функция е 2 (х), след това най-малкият положителен период Tтрябва да отговаря на условието:

T = nt 1 + kT 2, където(*) –

Изучавайки природните явления, решавайки технически проблеми, ние сме изправени пред периодични процеси, които могат да бъдат описани с функции от специален вид.

Функция y = f(x) с област D се нарича периодична, ако съществува поне едно число T > 0, така че да са изпълнени следните две условия:

1) точките x + T, x − T принадлежат на област D за всяко x ∈ D;

2) за всяко х от D имаме отношението

f(x) = f(x + T) = f(x − T).

Числото T се нарича период на функцията f(x). С други думи, периодична функция е функция, чиито стойности се повтарят след определен интервал. Например функцията y = sin x е периодична (фиг. 1) с период 2π.

Обърнете внимание, че ако числото T е периодът на функцията f(x), тогава числото 2T също ще бъде нейният период, както и 3T, 4T и т.н., т.е. периодичната функция има безкрайно много различни периоди. Ако сред тях има най-малкият (не е равен на нула), тогава всички останали периоди на функцията са кратни на това число. Забележете, че не всяка периодична функция има такъв най-малък положителен период; например функцията f(x)=1 няма такъв период. Също така е важно да се има предвид, че например сборът от две периодични функции с един и същ най-малък положителен период T 0 не е задължително да има същия положителен период. И така, сумата от функциите f(x) = sin x и g(x) = −sin x изобщо няма най-малкия положителен период, а сумата от функциите f(x) = sin x + sin 2x и g( x) = −sin x, чиито най-малки периоди са 2π, има най-малкия положителен период, равен на π.

Ако съотношението на периодите на две функции f(x) и g(x) е рационално число, тогава сумата и произведението на тези функции също ще бъдат периодични функции. Ако съотношението на периодите на навсякъде дефинираните и непрекъснати функции f и g е ирационално число, тогава функциите f + g и fg вече ще бъдат непериодични функции. Така например функциите cos x sin √2 x и cosj √2 x + sin x са непериодични, въпреки че функциите sin x и cos x са периодични с период от 2π, функциите sin √2 x и cos √2 x са периодични с период √2 π .

Забележете, че ако f(x) е периодична функция с период T, тогава комплексната функция (ако, разбира се, има смисъл) F(f(x)) също е периодична функция, а числото T ще служи като нейно месечен цикъл. Например, функциите y = sin 2 x, y = √ (cos x) (фиг. 2.3) са периодични функции (тук: F 1 (z) \u003d z 2 и F 2 (z) = √z ). Все пак не трябва да се мисли, че ако функцията f(x) има най-малкия положителен период T 0 , то функцията F(f(x)) ще има същия най-малък положителен период; например функцията y \u003d sin 2 x има най-малкия положителен период, който е 2 пъти по-малък от функцията f (x) = sin x (фиг. 2).

Лесно е да се покаже, че ако функцията f е периодична с период T, е дефинирана и диференцируема във всяка точка от реалната права, тогава функцията f "(x) (производна) също е периодична функция с период T, обаче, антипроизводната функция F (x) (виж Интегрално изчисление) за f(x) ще бъде периодична функция само ако

F(T) − F(0) = T o ∫ f(x) dx = 0.

УДК 517.17+517.51

ПЕРИОД НА СУМАТА ОТ ДВЕ ПЕРИОДИЧНИ ФУНКЦИИ

A/O Евнин

Статията напълно решава въпроса какъв може да бъде главният период на периодична функция, който е сбор от две периодични функции с известни главни периоди. Изучаваме и случая, когато периодична сума от периодични функции няма главен период.

Разглеждаме функции с реална стойност на реална променлива. В енциклопедичното издание, в статията „Периодични функции“ може да се прочете: „Сборът от периодични функции с различни периоди е периодичен само когато периодите им са съизмерими“. Това твърдение е вярно за непрекъснати функции1, но не е валидно в общия случай. Контрапример в много обща форма е конструиран в . В тази статия ще разберем какъв може да бъде главният период на периодична функция, който е сумата от две периодични функции с известни главни периоди.

Предварителна информация

Припомнете си, че функция / се нарича периодична, ако за някакво число T F O за всяко x от областта D(f) числата x + T и x - T принадлежат на D(f) и равенствата f(x + T) = f( x) = f(x ~ T). В този случай числото Г се нарича период на функцията.

Най-малкият положителен период на функция (ако, разбира се, съществува) ще се нарича основен период. Известен е следният факт.

Теорема 1. Ако функцията има основен период To, то всеки период на функцията има вида pTo, където p Ф 0 е цяло число.

Числата T\ и T2 се казва, че са съизмерими, ако съществува число T0, което се "побира" както в T\, така и в T2 цял брой пъти: T\ = T2 = n2T0, u, n2e Z. В противен случай числата T \ и Т2, наречени несъизмерими. Следователно съизмеримостта (несъизмеримостта) на периодите означава, че тяхното съотношение е рационално (ирационално) число.

От теорема 1 следва, че всеки два периода на функция, която има основен период, са съизмерими.

Класически пример за функция, която няма най-малък период, е функцията на Дирихле, която е равна на 1 в рационалните точки и на нула в ирационалните. Всяко рационално число, различно от нула, е периодът на функцията на Дирихле, а всяко ирационално число не е неговият период. Както виждаме, тук всеки два периода са съизмерими.

Нека дадем пример за непостоянна периодична функция с несъизмерими периоди.

Нека функцията /(x) в точки от вида /u + la/2, m, n e Z е равна на 1, а в останалите точки е равна на

нула. Сред периодите на тази функция има 1 и l

Период на сбора от функции със сравними периоди

Теорема 2. Нека fug са периодични функции с фундаментални периоди mT0 и "To, където типът

Взаимно прости числа. Тогава основният период на тяхната сума (ако съществува) е -

където k е естествено число, взаимно просто с m.

Доказателство. Нека h = / + g. Очевидно числото mnT0 е периодът h. Посредством

Теорема 1, основният период h има вида където k е някакво естествено число. Предполага се

натискаме, че k не е взаимно просто с число m, тоест k - dku m \u003d dm\, където d\u003e 1 е най-много

1 Прекрасно доказателство, че сумата от произволен краен брой непрекъснати функции с двойно несъизмерими периоди е непериодична, се съдържа в статията Виж също.

по-големият общ делител на числата m и k. Тогава периодът на функцията k е равен на

и функцията f=h-g

има период mxnTo, който не е кратен на основния му период mTQ. Получава се противоречие с теорема 1. Следователно k е взаимно просто с m. По същия начин числата k и n са взаимно прости. По този начин A: е взаимно просто с m. □

Теорема 3. Нека m, n и k са взаимно прости числа и нека T0 е положително число. Тогава има периодични функции fug такива, че основните периоди f, g и (f + g) са

са съответно mT$, nTQ и

Доказателство. Доказателството на теоремата ще бъде конструктивно: просто ще изградим съответния пример. Нека предварително формулираме следния резултат. Изявление. Нека m са относително прости числа. След това функциите

fx - cos- + cos--- и f2= cos- m n m

cos- имат основен период номер 2ktp. П

Доказателство за твърдението. Очевидно числото 2nm е периодът на двете функции. Лесно е да се провери, че този период е основният за функцията Да намерим нейните максимални точки.

x = 2lM, te Z.

Имаме = p!. Тъй като типът е взаимно прост, следва, че 5 е кратно на /r, т.е. i = I e b. Това означава, че /x(x) = 2 o x = 2mmn1,1 e 2, а разстоянието между съседните максимални точки на функцията /\ е равно на 2kn, а положителният период на /1 не може да бъде по-малък от числото 2spn.

За функцията f прилагаме аргументи от различен вид (които са подходящи и за функцията f, но

по-малко елементарен). Както показва теорема 1, главният период Γ на функцията /2 има вида -,

където k е някакво естествено число, взаимно просто с типа. Числото на G ще бъде периодът на функцията

(2 ^ 2 xn g t t /2 + /2 = - -1 cos

всички периоди от които имат формата 2pp1. Така,

2nnl, т.е. m = kl. Тъй като t и k са взаимно

така че, следва, че k = 1.

Сега, за да докажем теорема 3, можем да построим желания пример. Пример. Нека m, n и k са взаимно прости числа и нека поне едно от числата n или k е различно от 1. Тогава pf k и по силата на доказаното твърдение на функцията

/ (x) \u003d cos--- + cos- t to

И g(x) = cos-cos - n to

имат базисни периоди съответно 2 ltk и 2 tk и тяхната сума

k(x) = f(x) + = cos- + cos-

основният период е 2 tp.

Ако n = k = 1, тогава двойка функции ще свърши работа

f(x)-2 cos- + COS X и g(x) - COS X. m

Основните им периоди, както и периодът на функцията k(x) - 2, са съответно 2lm, 2/ri 2тип.

колко лесно е да се провери.

математика

Да означим T = 2lx. За произволни по двойки взаимно прости числа mn, n и k, функциите / и £ са посочени така, че основните периоди на функциите /, g и / + g са съответно mT, nT и

Условията на теоремата се изпълняват от функциите / - l;

Период на сбора от функции с несъизмерими периоди

Следващото твърдение е почти очевидно.

Теорема 4. Нека fug са периодични функции с несъизмерими основни периоди T) и T2, а сумата от тези функции h = f + g е периодична и има основен период T. Тогава числото T е несъизмеримо нито с T], нито с T2.

Доказателство. От една страна, ако числата TnT) са съизмерими, тогава функцията g = h-f има период, съизмерим с r]. От друга страна, по силата на теорема 1, всеки период на функцията g е кратен на T2. Получаваме противоречие с несъизмеримостта на числата Т\ и Т2. Аналогично се доказва несъизмеримостта на числата T и T2, d

Забележителен и дори донякъде изненадващ е фактът, че е вярно и обратното на теорема 4. Има широко разпространено погрешно схващане, че сборът от две периодични функции с несъизмерими периоди не може да бъде периодична функция. Всъщност това не е така. Освен това периодът на сбора може да бъде всяко положително число, което удовлетворява твърдението на теорема 4.

Теорема 5. Нека T\, T2 и T~ са несъизмерими по двойки положителни числа. Тогава има периодични функции fug такива, че тяхната сума h =/+ g е периодична, а основните периоди на функцията f guh са съответно Th T2 и T.

Доказателство. Доказателството отново ще бъде конструктивно. Нашите конструкции по същество ще зависят от това дали числото T може да бъде представено или не като рационална комбинация T = aT1 + pT2 (a и P са рационални числа) от периодите T1 и T2.

I. T не е рационална комбинация от Tr и J2-

Нека A = (mT\ + nT2 + kT\m,n, k e Z) е множеството от цели линейни комбинации от числа r1, T2 и T. Веднага отбелязваме, че ако едно число може да бъде представено във формата nT\ + nT2 + kT, тогава такова представяне е уникално. Наистина, ако mxT\ + n\Tr + k\T - m2Tx + n2T2 + k2T9, тогава

(k) - k2)T - (ot2 - m\)T] + (n2 - u)Tb, а за k\ * k2 откриваме, че T може да се изрази рационално чрез T] и T2. Следователно k\ = k2. Сега от несъизмеримостта на числата T\ и T2 директно се получават равенствата m\ = m2 и uu = n2.

Важен факт е лесно проверимият факт, че множествата A и неговото допълнение A са затворени при добавяне на числа от A: ако x e A и y e A, то x + y e A; ако x e A и y e A, тогава x + y e A.

Да приемем, че във всички точки от множеството A функциите / и g са равни на нула, а на множеството A дефинираме тези функции, както следва:

f(mTi + nT2 + kT) = nT2 + kT g(mT1 + nT2 + kT) - mT1 - kT.

Тъй като, както беше показано, коефициентите m, пикът на линейната комбинация от периодите r, T2 и r могат да бъдат възстановени еднозначно от числото x e A, посочените присвоения на функциите f и g са правилни.

Функцията h =/ + g на множество A е равна на нула, а в точките от множество A е равна на

h(mT\ + nT2 + kT) - mT\ + nT2.

Чрез директно заместване е лесно да се провери, че числото T\ е периодът на функцията f, числото T2 е периодът на g, а T~ периодът на h. Нека покажем, че тези периоди са основни.

Първо, отбелязваме, че всеки период на функцията / принадлежи на множеството A. Наистина,

ако 0 fx в A, y e A, тогава x + y e A и f(x + y) = 0 * f(x). Следователно y e A не е периодът на функцията /

Нека сега числата \, x2, които не са равни едно на друго, принадлежат на ^ и f (x 1) ~ f (x2). От дефиницията на функцията / получаваме от тук, че x\ - x2 = 1T, където I е някакво цяло число, различно от нула. Следователно всеки период на функцията / е кратен на T\. Така Tx наистина е основният период /

Твърденията за T2 и T се проверяват по същия начин.

Коментирайте. В книгата на с. 172-173 дават друга обща конструкция за случай I.

II. T е рационална комбинация от T\ и T2.

Нека представим рационална комбинация от периодите T\ и T2 във формата Γ = - (kxTx + k2T2), където kx и

k2 ™ са взаимно прости числа, k(Γ\ + k2T2 > 0, a/? и q са естествени числа. Да разгледаме, leZ>.

рений комплект B----

Приемаме, че във всички точки от множеството B функциите f и g са равни на нула, а на множеството B дефинираме тези функции, както следва:

^ mT\ + nT2 A I

^ mTx + nT2 L

Тук, както обикновено, [x] и (x) означават съответно целите и дробните части на числата. Функцията k = / + q на множество B е равна на нула, а в точките на множество B е равна на

fmTx +nT: l H

Чрез директно заместване е лесно да се провери дали числото Tx е периодът на функцията /, числото T2 е периодът g, а T е периодът h. Нека покажем, че тези периоди са основни.

Всеки период на функцията / принадлежи на множеството B. Действително, ако 0 * x e B, y e B, то f(x) Φ 0, j(x + y) = 0 */(*)■ Следователно, y e B _ Нефункционален период/

По този начин всеки период на функцията / има формата Ty =

Където 5i и 52 са цели числа. Позволявам

x \u003d -7] 4 - Г2, x e 5. Ако i = 0, тогава / (i) е рационално число. Сега от рационалността на числото / (x + 7)) следва равенството -I - I - 0. Следователно имаме равенството 52 = Xp, където X е някакво цяло число

номер. Отношението /(x + 7)) = /(x) приема формата

^ P + I + I w +

Това равенство трябва да важи за всички типове цели числа. Когато m-p ~ 0, дясната страна на (1) е

до нула. Тъй като дробните части са неотрицателни, от тук получаваме, че -<0, а при

m = n = q - ] сумата от дробните части от дясната страна на равенството (1) не е по-малка от сумата на дробните части h-X

този вляво. Така че - >0. Така X = 0 и 52 = 0. Следователно периодът на функцията / има формата

и равенството (1) става

п\ | и 52 са цели числа. От отношенията

d(0) = 0 = d(GA) =

получаваме, че числата 51 и ^ трябва да са кратни на p, т.е. за някакво цяло число Ax и A2 имаме 51 = A\p, E2 = A2p. Тогава отношението (3) може да се пренапише като

От равенството A2kx = k2A\ и взаимнопростото на числата k\ и k2 следва, че A2 се дели на k2. Оттук

за някакво цяло число t са валидни равенствата A2 = k2t и Ax ~ kxt, т.е. Th ~-(kxTx + k2T2).

Показано е, че всеки период на функцията h е кратен на периода Т = - (к(Гх + к2Т2)9, който по този начин

Zom, е основният. □

Няма основен период

Теорема 6. Нека Tx и T2~ са произволни положителни числа. Тогава има периодични функции fug такива, че техните главни периоди са съответно T\ и T2 и тяхната сума h=f+g е периодична, но няма основен период.

Доказателство. Нека разгледаме два възможни случая.

I. Периодите Tx и T2 са несъизмерими.

Нека A = + nT2 +kT\ . Както по-горе, лесно е да се покаже, че ако числото

представимо във формата mTx + nT2 + kT, то такова представяне е уникално.

Да приемем, че във всички точки от множеството A функциите / и g са равни на нула, а на множеството A дефинираме тези функции, както следва:

/от; + nT2 + kT) = nT2 + kT, g(mTx + nT2 + kT) = mTx - kT.

Лесно е да се провери, че числото Tx е главният период на функцията /, числото T2 е главният период g, а за всяко рационално число kT е периодът на функцията h - f + g, което следователно прави нямат най-малкия период.

II. Периодите Tx и T2 са сравними.

Нека Tx = mT0, T2 = nT0, където T0 > O, m и n са естествени числа. Нека представим под внимание множеството R = + .

Приемаме, че във всички точки от множеството B функциите fug са равни на нула, а на множество B дефинираме тези функции, както следва:

/((/ + WT0) = W + Jit, g((/ + 4lk)T0) - W - 42k.

Функцията h ~ / + g на множество B е равна на нула, а в точките на множество B е равна на

Лесно е да се провери, че числото 7j = mTQ е главният период на функцията /, числото T2 ~ nT0 е главният период g, докато сред периодите на функцията h ~ f + g има всички числа от вида l/2kT0, където k е произволно рационално число. □

Конструкциите, доказващи теорема 6, се основават на несъизмеримостта на периодите на функцията h~ / + g с периодите на функциите / и g . В заключение, ние даваме пример за функции fug, така че всички периоди на функциите /, g и / + g са съизмерими един с друг, но / и g имат основни периоди, докато f + g не.

Нека m е някакво фиксирано естествено число, M е множеството от неприводими нецели дроби, чиито числители са кратни на m. Нека сложим

1, ако xM; един

ifxe mZ;

EcnuxeZXmZ; 2

O в други случаи; 1, ако xeMU

~,ifxe2 2

[О иначе.

Лесно е да се види, че основните периоди на функциите fug са равни на m и 1, съответно, докато сумата / + g има период от произволно число от вида m/n, където n е произволно естествено число, взаимно просто на м.

литература

1. Математически енциклопедичен речник / гл. изд. Ю.В. Прохоров - М.: Сов. енциклопедия, 1988 г.

2. Микаелян Л.В., Седракян Н.М. За периодичността на сбора от периодични функции// Математическо образование. - 2000. - No 2 (13). - С. 29-33.

3. Геренщайн А.В., Евнин А.Ю. За сбора от периодични функции// Математика в училище. -2002г. - No 1. - С. 68-72.

4. Ивлев Б.М. и др. Сборник задачи по алгебра и принципи на анализ за 9 и 10 клетки. - М.: Просвещение, 1978.

Повтаряне на стойностите му на някакъв редовен интервал от аргумента, тоест, без промяна на стойността му, когато към аргумента се добави някакво фиксирано число, различно от нула ( месечен цикълфункции) в цялата област на дефиниция.

По-формално се казва, че функцията е периодична с точка T ≠ 0 (\displaystyle T\neq 0), ако за всяка точка x (\displaystyle x)от неговата област на дефиниране на точки x + T (\displaystyle x+T)и x − T (\displaystyle x-T)също принадлежат към нейната област на дефиниция, а за тях и равенството f (x) = f (x + T) = f (x − T) (\displaystyle f(x)=f(x+T)=f(x-T)).

Въз основа на дефиницията, равенството важи и за периодична функция f (x) = f (x + n T) (\displaystyle f(x)=f(x+nT)), където n (\displaystyle n)- произволно цяло число.

Въпреки това, ако набор от периоди ( T , T > 0 , T ∈ R ) (\displaystyle \(T,T>0,T\in \mathbb (R) \))има най-малка стойност, тя се нарича основен (или основен) периодфункции.

Примери

Sin ⁡ (x + 2 π) = sin ⁡ x , cos ⁡ (x + 2 π) = cos ⁡ x , ∀ x ∈ R . (\displaystyle \sin(x+2\pi)=\sin x,\;\cos(x+2\pi)=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb (R) .)

• Функцията на Дирихле е периодична; нейният период е всяко ненулево рационално число. Освен това няма основен период.

Някои характеристики на периодичните функции

и T 2 (\displaystyle T_(2))(Това число обаче ще бъде просто точка). Например функцията f (x) = sin ⁡ (2 x) − sin ⁡ (3 x) (\displaystyle f(x)=\sin(2x)-\sin(3x))основният период е 2 π (\displaystyle 2\pi), на функцията g (x) = sin ⁡ (3 x) (\displaystyle g(x)=\sin(3x))периодът е 2 π / 3 (\displaystyle 2\pi /3), и тяхната сума f (x) + g (x) = sin ⁡ (2 x) (\displaystyle f(x)+g(x)=\sin(2x))основният период очевидно е равен на π (\displaystyle \pi).

• Сборът от две функции с несъизмерими периоди не винаги е непериодична функция.

Аргумент x, тогава се нарича периодичен, ако има число T такова, че за всяко x F(x + T) = F(x). Това число T се нарича период на функцията.

Може да има няколко периода. Например, функцията F = const приема една и съща стойност за всякакви стойности на аргумента и следователно всяко число може да се счита за период.

Обикновено се интересува от най-малкия ненулев период на функцията. За краткост се нарича просто точка.

Класически пример за периодични функции е тригонометричен: синус, косинус и тангенс. Техният период е еднакъв и е равен на 2π, тоест sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) и т.н. Въпреки това, разбира се, тригонометричните функции не са единствените периодични.

По отношение на простите основни функции, единственият начин да се установи тяхната периодичност или непериодичност е чрез изчисления. Но за сложните функции вече има някои прости правила.

Ако F(x) е с период T и за него е дефинирана производна, тогава тази производна f(x) = F′(x) също е периодична функция с период T. В крайна сметка стойността на производната при точка x е равна на тангенса на допирателната на графиката на нейната антипроизводна в тази точка към оста x и тъй като антипроизводната периодично се повтаря, производната също трябва да се повтаря. Например, производната на функцията sin(x) е cos(x) и е периодична. Вземането на производната на cos(x) ви дава -sin(x). Периодичността остава непроменена.

Обратното обаче не винаги е вярно. Така функцията f(x) = const е периодична, но нейната антипроизводна F(x) = const*x + C не е.

Ако F(x) е периодична функция с период T, тогава G(x) = a*F(kx + b), където a, b и k са константи и k не е равно на нула - също периодична функция, и периодът му е равен на T/k. Например sin(2x) е периодична функция и нейният период е π. Визуално това може да бъде представено по следния начин: като умножите x по някакво число, вие изглежда компресирате графиката на функцията хоризонтално точно толкова пъти

Ако F1(x) и F2(x) са периодични функции и техните периоди са равни съответно на T1 и T2, тогава сумата от тези функции също може да бъде периодична. Въпреки това, неговият период няма да бъде проста сума от периоди T1 и T2. Ако резултатът от разделянето на T1/T2 е рационално число, тогава сумата от функциите е периодична и нейният период е равен на най-малкото общо кратно (LCM) на периодите T1 и T2. Например, ако периодът на първата функция е 12, а периодът на втората е 15, тогава периодът на тяхната сума ще бъде LCM (12, 15) = 60.

Това може да се визуализира по следния начин: функциите идват с различни „широчини на стъпката“, но ако съотношението на техните ширини е рационално, тогава рано или късно (или по-скоро чрез LCM от стъпки) те отново ще станат равни и техните сумата ще започне нов период.

Въпреки това, ако съотношението на периодите е ирационално, тогава общата функция изобщо няма да бъде периодична. Например, нека F1(x) = x mod 2 (остатъкът от x, разделен на 2) и F2(x) = sin(x). T1 тук ще бъде равен на 2, а T2 е равен на 2π. Съотношението на периодите е равно на π – ирационално число. Следователно функцията sin(x) + x mod 2 не е периодична.