(mqs) (pns) (rnq) =

(nqs)3

set2D(0; 20; 4; 20);

;0 domuzīme0 );

;0 domuzīme0 );

;0 domuzīme0 );

dash0);

p8 = punktiPlot(4

[ 0A 0; 0 B 0; 0 C 0; 0 un 0; 0 b 0; 0 c 0; 0 D 0];

showPlots(;0 noAxes0 );

set2D(3; 12; 2; 13);

;0 domuzīme0 );

;0 domuzīme0 );

;0 domuzīme0 );

dash0);

;0 domuzīme0 );

TREŠĀ NODAĻA

POLIEDRAĻI

II PRIZMAS UN PIRAMĪDAS APJOMS

82. Galvenie apjoma pieņēmumi.Ģeometriskā ķermeņa aizņemtās telpas daļas lielumu sauc par šī ķermeņa tilpumu.

Mēs uzstādām uzdevumu - atrast šai vērtībai izteiksmi kāda skaitļa formā, kas mēra šo vērtību. To darot, mēs vadīsimies pēc šādiem sākumpunktiem:

1) Vienādiem ķermeņiem ir vienādi tilpumi.

2) Ķermeņa tilpums(piemēram, katrs paralēlskaldnis, kas attēlots 87. attēlā), sastāv no daļām(P un Q), ir vienāds ar šo daļu tilpumu summu.

Divus ķermeņus, kuriem ir vienāds tilpums, sauc par vienādiem.

83.Tilpuma mērvienība. Tilpuma vienībai, tos mērot, viņi ņem tāda kuba tilpumu, kurā katra mala ir vienāda ar lineāru vienību. Tātad izplatīti ir kubikmetri (m 3), kubikcentimetri (cm 3) utt.

Kastes tilpums

84. Teorēma.Taisnstūra paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar tā trīs dimensiju reizinājumu.

Šādā īsā izteiksmē šī teorēma ir jāsaprot šādi: skaitlis, kas izsaka taisnstūra paralēlskaldņa tilpumu kubiskā vienībā, ir vienāds ar skaitļu reizinājumu, kas izsaka tā trīs dimensijas attiecīgajā lineārajā vienībā, t.i., vienībā, kas ir kuba mala, kura tilpums tiek ņemts par kubikvienību. Tātad ja X ir skaitlis, kas izsaka kuboīda tilpumu kubikcentimetros un a, b un Ar-skaitļi, kas izsaka tā trīs dimensijas lineāros centimetros, tad teorēma to nosaka x=abc.

Pierādījumā mēs īpaši ņemam vērā šādus trīs gadījumus:

1) Mērījumi ir izteikti veseli skaitļi.

Lai, piemēram, mērījumi būtu (88. att.): AB = a, BC = b un BD= c,
kur a, b un Ar- daži veseli skaitļi (piemēram, kā parādīts mūsu zīmējumā: a = 4, b= 2 un Ar= 5). Tad paralēlskaldņa pamatne satur ab tādi kvadrāti, no kuriem katrs apzīmē atbilstošo kvadrāta vienību. Acīmredzot uz katra no šiem laukumiem var novietot vienu kubikvienību. Tad jūs iegūstat slāni (parādīts zīmējumā), kas sastāv no ab kubikvienības. Tā kā šī slāņa augstums ir vienāds ar vienu lineāru vienību, un visas kastes augstums satur Ar tādas vienības, tad iekšā paralēlskaldnis var likt Ar tādi slāņi. Tāpēc šī paralēlskaldņa tilpums ir abc kubikvienības.

2) Mērījumi ir izteikti daļskaitļi. Ļaujiet kastes izmēriem būt:

m / n , lpp / q , r / s

. (Dažas no šīm daļām var būt vienādas ar veselu skaitli.) Samazinot daļskaitļus līdz vienam un tam pašam saucējam, mēs iegūstam:

mqs / nqs , pns / nqs , rnq / nqs

ņemsim 1/ nqs lineārās vienības daļa jaunai (palīgvienībai) garuma vienībai. Tad šajā paralēlskaldņa jaunajā mērvienībā tie tiks izteikti kā veseli skaitļi, proti: mqs, pns un rnq, un tāpēc saskaņā ar pierādīto (1. gadījumā) paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar reizinājumu ( mqs) (pns) (rnq), ja šo tilpumu mēra ar jaunu kubikvienību, kas atbilst jaunajai lineārajai vienībai. Šādas kubikvienības vienā kubikvienībā, kas atbilst iepriekšējai lineārajai vienībai, satur ( nqs) 3 ; tātad jaunā kubikvienība ir 1 /( nqs) 3 no iepriekšējām. Tāpēc paralēlskaldņa tilpums, kas izteikts tajās pašās vienībās, ir vienāds ar:

3) Mērījumi ir izteikti iracionāli skaitļi. Lai šim paralēlskaldnim (89. att.), kuru īsuma labad apzīmējam ar vienu burtu Q, ir izmēri:

AB = α; AC = β; AD = γ,

kur visi skaitļi α, β un γ vai tikai daži no tiem ir neracionāli.

Katru no skaitļiem α, β un γ var attēlot kā bezgalīgu decimāldaļu. Ņemsim šo daļu aptuvenās vērtības ar P decimālzīmes, vispirms ar deficītu un pēc tam ar pārpalikumu. Vērtības ar deficītu tiks apzīmētas ar α n , β n , γ n, vērtības ar pārpalikumu α" n , β" n , γ" n. Uzzīmēsim uz malas AB, sākot no punkta A, divus segmentus AB 1 = α n un AB 2 \u003d α " n.
Uz malas AC no tā paša punkta A uzzīmējam nogriežņus AC 1 = β n un AC 2 = β" n un uz malas AD no tā paša punkta-nozares AD 1 = γ n un AD 2 = γ" n.

To darot, mums būs:

AB 1< АВ < АВ 2 ; АС 1 < АС < АС 2 ; AD 1 < AD < AD 2 .

Tagad izveidosim divus papildu paralēlskaldņus; viens (sauksim to par Q 1) ar mērījumiem AB 1, AC 1 un AD 1 un otrs (sauksim to par Q 2) ar mērījumiem AB 2, AC 2 un AD 2. Kaste Q 1 ietilps kastē Q, un kaste Q 2 saturēs Q.

Pēc pierādītā (2. gadījumā) mums būs:

tilpums Q 1 \u003d α n β n γ n (1)

apjoms Q 2 \u003d α " n β" n γ" n (2)

Sauksim skaļumu Q 1< объёма Q 2 .

Sāksim palielināt skaitu P. Tas nozīmē, ka skaitļu α , β , γ aptuvenās vērtības mēs ņemam ar arvien lielāku precizitāti.

Apskatīsim, kā šajā gadījumā mainās paralēlskaldņu Q 1 un Q 2 tilpumi.

Ar neierobežotu pieaugumu P apjoms Q 1 acīmredzami palielinās un, pamatojoties uz vienādību (1), ar bezgalīgu pieaugumu n kā robeža ir produkta robeža (α n β n γ n). Tilpums Q 2 acīmredzami samazinās, un, pamatojoties uz vienādību (2), tam ir reizinājuma robeža (α " n β" n γ" n). Bet no algebras ir zināms, ka abi produkti
α n β n γ n un α" n β" n γ" n ar neierobežotu palielinājumu P ir kopīga robeža, kas ir neracionālu skaitļu reizinājums αβγ.

Mēs ņemam šo robežu kā paralēlskaldņa Q tilpuma mēru: tilpums Q = αβγ.

Var pierādīt, ka šādi definētais apjoms atbilst apjomam noteiktajiem nosacījumiem (82.§). Patiešām, ar šo tilpuma definīciju vienādiem paralēlskaldņiem acīmredzami ir vienādi tilpumi. Līdz ar to pirmais nosacījums (82.§) ir izpildīts. Tagad sadalīsim šo paralēlskaldni Q divās daļās ar plakni, kas ir paralēla tā pamatnei: Q 1 un Q 2 (90. att.).

Tad mums būs:

apjoms Q \u003d AB AC AD,
sējums Q 1 \u003d AB AA 1 AD,
sējums Q 2 \u003d A 1 B 1 A 1 C A 1 D 1.

Pa vārdam pievienojot pēdējās divas vienādības un pamanot, ka A 1 B 1 \u003d AB un A 1 D 1 \u003d AD, mēs iegūstam:

tilpums Q 1 + tilpums Q 2 \u003d AB AA 1 AD + AB A 1 C AD \u003d AB AD (AA 1 + A 1 C) \u003d AB AD AC, no šejienes mēs iegūstam:

tilpums Q 1 + tilpums Q 2 = tilpums Q.

Līdz ar to ir izpildīts arī 82.§ otrais nosacījums, ja paralēlskaldnis ir salocīts no divām daļām, kas iegūtas, to nogriežot ar plakni, kas ir paralēla vienai no virsmām.

85.Sekas. Taisnstūra paralēlskaldņa, kas kalpo kā tā pamatnes malas, izmērus izsaka ar skaitļiem a un b, un trešā dimensija (augstums) ir skaitlis Ar. Pēc tam, apzīmējot tā tilpumu attiecīgajās kubikvienībās ar burtu V, mēs varam rakstīt:

V = abs.

Kopš darba ab izsaka pamatnes laukumu, tad to varam teikt Taisnstūra prizmas tilpums ir vienāds ar pamatnes laukuma un augstuma reizinājumu .

komentēt. Divu dažādu nosaukumu kubikvienību attiecība ir vienāda ar to lineāro vienību attiecības trešo pakāpi, kas kalpo par šo kubikvienību malām. Tātad kubikmetra attiecība pret kubikdecimetru ir 10 3, t.i., 1000. Tāpēc, piemēram, ja mums ir kubs ar malas garumu a lineāras vienības un vēl viens kubs ar malu garumu 3 a lineārās vienības, tad to tilpumu attiecība būs vienāda ar 3 3, t.i., 27, kas skaidri redzams no 91. zīmējuma.

86. Lemma. Slīpa prizma ir vienāda ar tādu taisnu prizmu, kuras pamatne ir vienāda ar slīpās prizmas perpendikulāro griezumu, bet augstums ir vienāds ar tās sānu malu.

Dota slīpa prizma ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 (92. att.).

Turpināsim visas tā sānu malas un sānu malas tajā pašā virzienā.

Paņemiet patvaļīgu punktu vienas malas turpinājumā a un novelciet caur to perpendikulāru griezumu abcde. Tad atliekot aa 1 \u003d AA 1, izvilksim cauri a 1 perpendikulāra sadaļa a 1 b 1 c 1 d 1 e viens . Tā kā abu posmu plaknes ir paralēlas, tad bb 1 = ss 1 = dd 1 = viņa 1 = aa 1 = AA 1 (§17). Rezultātā daudzskaldnis a 1 d, kurai mūsu zīmētās sadaļas tiek ņemtas par bāzēm, ir tiešā prizma, kas ir minēta teorēmā.

Pierādīsim, ka dotā slīpā prizma ir vienāda ar šo taisni. Lai to izdarītu, vispirms jāpārliecinās, ka daudzskaldnis a D un a 1 D 1 ir vienādi. to pamati abcde un a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 ir vienādi ar prizmas bāzēm a 1 d; no otras puses, pieskaitot abām vienādības daļām A 1 A = a 1 a pa to pašu līnijas posmu A1 a, mēs iegūstam: a A = a 1 A 1; kā šis b B = b 1 no 1, Ar C = Ar 1 C 1 utt. Tagad iedomāsimies, ka daudzskaldnis a D ir iestrādāts daudzskaldnī a 1 D 1 tā, lai to pamatnes sakristu; tad arī sānu malas, būdamas perpendikulāras pamatiem un attiecīgi vienādas, sakritīs; tātad daudzskaldnis a D ir saderīgs ar daudzskaldni a 1 D 1; tāpēc šie ķermeņi ir vienādi. Tagad ņemiet vērā, ka, ja uz taisnas prizmas a 1 d pievienojiet daudzskaldni a D un pievienojiet daudzskaldni slīpajai prizmai A 1 D a 1 D 1 vienāds a D, tad mēs iegūstam to pašu daudzskaldni a 1 D. No tā izriet, ka divas prizmas A 1 D un a 1 d ir vienādi.

87. Teorēma. Paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar pamatnes laukuma un augstuma reizinājumu.

Agrāk šo teorēmu pierādījām taisnleņķa paralēlskaldiņam, tagad pierādīsim taisnleņķa paralēlskaldnim un tad arī slīpam.

viens). Lai (93. att.) AC 1 ir taisns paralēlskaldnis, t.i., tāds, kura pamats ABCD ir kaut kāds paralelograms, un visas malas ir taisnstūri.

Ņemsim tajā pamatnei sānu virsmu AA 1 B 1 B; tad paralēlskaldnis būs
n a c l o n n y. Uzskatot to par slīpas prizmas īpašu gadījumu, mēs, pamatojoties uz iepriekšējās rindkopas lemmu, varam apgalvot, ka šis paralēlskaldnis pēc izmēra ir vienāds ar tādu taisnstūrveida paralēlskaldni, kura pamatne ir perpendikulārais griezums MNPQ un augstums ir BC. Četrstūris MNPQ ir taisnstūris, jo tā leņķi ir taisnleņķa divvirsmas lineārie leņķi; tādēļ taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura pamats ir taisnstūris MNPQ, ir jābūt taisnstūrveida, un tāpēc tā tilpums ir vienāds ar tā trīs dimensiju reizinājumu, ko var uzskatīt par segmentiem MN, MQ un BC. Pa šo ceļu,

tilpums AC 1 \u003d MN MQ BC \u003d MN (MQ BC).

Bet reizinājums MQ BC izsaka paralelograma ABCD laukumu

apjoms ACX \u003d (apgabals ABCD) MN \u003d (apgabals ABCD) BB 1.

2) Pieņemsim (94. att.) AC 1 slīps paralēlskaldnis.

Pēc izmēra tas ir vienāds ar tādu taisni, kurā par pamatu kalpo perpendikulārais posms MNPQ (tas ir, perpendikulārs malām AD, BC, . . .), un augstums ir mala BC. Bet, saskaņā ar pierādīto, taisnstūra paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar pamatlaukuma un augstuma reizinājumu; nozīmē,

tilpums AC 1 \u003d (apgabals MNPQ) BC.

Ja RS ir posma MNPQ augstums, tad laukums MNPQ = MQ RS, tātad

tilpums AC 1 \u003d MQ RS BC \u003d (BC MQ) RS.

Produkts BC MQ izsaka paralelograma ABCD laukumu; tāpēc apjoms AC 1 \u003d (apgabals ABCOD) RS.

Tagad ir jāpierāda, ka segments RS ir paralēlskaldņa augstums. Patiešām, posms MNPQ, kas ir perpendikulārs malām BC, B 1 C 1 , .. . , jābūt perpendikulāram virsmām ABCD, BB 1 C 1 C, ...., kas iet caur šīm malām (§ 43). Tāpēc, ja mēs uzstādām perpendikulu plaknei ABCD no punkta S, tad tai pilnībā jāatrodas plaknē MNPQ (§ 44) un tāpēc jāsaplūst ar taisni RS, kas atrodas šajā plaknē un ir perpendikulāra tai. MQ. Tādējādi segments SR ir paralēlskaldņa augstums. Tādējādi slīpā paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar pamatlaukuma un augstuma reizinājumu.

Sekas. Ja V, B un H ir skaitļi, kas atbilstošās vienībās izsaka paralēlskaldņa tilpumu, pamatnes laukumu un augstumu, tad var rakstīt.

Šajā nodarbībā mēs runāsim par taisnstūrveida kastīti. Atcerēsimies dažas tās īpašības. Un tad mēs detalizēti iegūstam formulas taisnstūra paralēlskaldņa tilpuma aprēķināšanai. Nodarbības kopsavilkums "Kuboīda tilpums" Šajā nodarbībā mēs runāsim par kuboīdu. Atcerēsimies dažas tās īpašības. Un tad mēs detalizēti iegūstam formulas taisnstūra paralēlskaldņa tilpuma aprēķināšanai. Agrāk mēs jau tikāmies ar taisnstūrveida paralēlskaldni. Atgādiniet, ka lodziņu sauc par taisnstūri, ja visas sešas tās skalas ir taisnstūri. Priekšstatu par kuboīda formu sniedz sērkociņu kastīte, kastīte, ledusskapis utt. Iedomāsimies telpu, kurai ir stacionāra forma. Ja mēs runājam par tā izmēriem, tad parasti tiek lietoti vārdi "garums", "platums" un "augstums", kas attiecas uz trīs malu garumiem ar kopīgu virsotni. Ģeometrijā šos trīs lielumus apvieno kopīgs nosaukums: taisnstūra paralēlskaldņa mērījumi. Taisnstūra kaste tiek parādīta uz ekrāna, jo var veikt tā mērījumus, piemēram, malu garumus, šīm malām ir kopīga kastes virsotne, platumam un kastītei ir šādas īpašības: 1) rūtiņas kvadrāts. taisnstūra kastes diagonāle ir vienāda ar tās trīs dimensiju kvadrātu summu. ir dotā garums. Tad mala ir tās augstums. . Visās 2) taisnstūra paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar tā trīs dimensiju reizinājumu. Tātad ir patiesa šāda teorēma: taisnstūra paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar tā trīs dimensiju reizinājumu. Pierādīsim šo teorēmu. Taisnstūra paralēlskaldiņa izmērus piešķir ar burtiem Pierādīsim, ka taisnstūra paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar, bet tilpums ar burtu. Apzīmēsim un. , . Ir iespējami divi gadījumi: Apsveriet pirmo gadījumu. Decimāldaļu mērījumi, kuros decimāldaļu skaits nepārsniedz, ir galīgi un (,). Šajā gadījumā skaitļi un ir veseli skaitļi. Mēs sadalām katru paralēlskaldņa malu vienādās garuma daļās. Pēc tam caur sadalīšanas punktiem zīmējam plaknes, kas ir perpendikulāras šai malai. Tad mūsu kastīte tiks sadalīta vienādos kubos ar katras malas garumu. Kopējais šādu kubu skaits būs vienāds. Tā kā katra šāda kuba tilpums ir vienāds, visa paralēlskaldņa tilpums būs vienāds. Ar to mēs pierādījām, ka taisnstūra paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar tā trīs dimensiju reizinājumu. Q.E.D. Pāriesim pie otrā gadījuma. Vismaz viena no dimensijām ir bezgalīga decimāldaļdaļa. , un apzīmē Apsveriet skaitļu c, -th galīgās decimāldaļdaļas. , kas iegūti no, ja katrā no tiem atmetam visus ciparus aiz komata, sākot Ņemiet vērā, ka tad nevienādība ir patiesa Līdzīgas nevienādības būs spēkā arī skaitļiem, kur un: . , kur,. Sareizināsim šīs nevienlīdzības. Tad mēs to redzam. No nevienlīdzības ir skaidrs, ka kaste ir kaste un pati kas atrodas kastē. Un tā saka. Tagad palielināsim bezgalīgi, lai kļūtu patvaļīgi mazs, un tāpēc skaitlis maz atšķiras no skaitļa. . Tad skaitlis būs patvaļīgi Rezultātā tie kļūs vienādi. Tie. . Q.E.D. Šai teorēmai ir šādas sekas. Pirmās sekas. Taisnstūra prizmas tilpums ir vienāds ar pamatnes laukuma un augstuma reizinājumu. Pierādījums. Ļaujiet seju ar malām taisnstūra paralēlskaldnis. Tad pamatnes laukums ir paralēlskaldņa augstums un. ir pamatne, un tad jūs varat redzēt, ka formula taisnstūra paralēlskaldņa tilpuma aprēķināšanai ir pamatnes laukums, ir taisnstūra paralēlskaldņa augstums. var uzrakstīt formā, kur Tādējādi esam pierādījuši, ka taisnstūra paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar. Q.E.D. Otrās sekas. Taisnās prizmas tilpums, kuras pamatne ir taisnleņķa trīsstūris, ir vienāds ar pamatnes laukuma un augstuma reizinājumu. Pierādījums. Lai pierādītu šo apgalvojumu, pabeigsim taisnstūra trīsstūrveida prizmu ar paralēlskaldņu pamatni, kā parādīts ekrānā. Ņemot vērā pirmās sekas, šī paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar kur ir pamatnes laukums) līdz taisnstūrveida (, ir prizmas augstums. , sadala paralēlskaldni divās vienādās taisnās prizmās, no kurām viena ir dota plakne.Šīs prizmas ir vienādas,jo tām ir vienādas pamatnes un vienādi augstumi.Tāpēc šīs prizmas tilpums ir vienāds,t.i.vienāds pierādīt.Piezīme.Aplūkosim kvadrātu ar malu a.Kā nepieciešams Pamatojoties uz Pitagora teorēmu tā diagonāle ir vienāda. Tāpēc uz tā uzbūvētā kvadrāta laukums ir divreiz lielāks par šī kvadrāta laukumu. Tādējādi nav grūti izveidot kvadrāta malu, kuras laukums ir divreiz lielāks par kvadrāta laukumu. dots kvadrāts.Tagad apsveriet kubu ar malu a. Rodas jautājums: vai ir iespējams, izmantojot kompasu un taisngriezi, izveidot kuba malu, kuras tilpums ir divreiz lielāks par dotā kuba tilpumu, t.i., izveidot segmentu, kas vienāds ? Šī problēma tika formulēta senos laikos. To sauc par “kuba dubultošanas problēmu”. Tikai 1837. gadā franču matemātiķis Pjērs Lorāns Vanzels pierādīja, ka šāda konstrukcija nav iespējama. Tajā pašā laikā viņš pierādīja citas konstrukcijas problēmas - leņķa trīsdaļas problēmas - neatrisināmību (patvaļīgi dots leņķis ir sadalīts trīs vienādos leņķos). Atgādinām, ka apļa kvadrāta kvadrāta problēma (izveidot kvadrātu, kura laukums ir vienāds ar dotā apļa laukumu) pieder arī klasisko neatrisināmo konstruēšanas problēmu klasei. Šādas konstrukcijas neiespējamību 1882. gadā pierādīja vācu matemātiķis Karls Luiss Ferdinands Lindemans. Uzdevums: atrast kubīda tilpumu ar diagonālām pamatnes malām Risinājums: uzrakstīt formulu kubīda tilpuma aprēķināšanai, izmantojot tā mērījumus. cm un cm. cm un No uzdevuma stāvokļa mēs zinām taisnstūra paralēlskaldņa garumu, platumu un diagonāli, bet tā augstums nav zināms. Atgādiniet to. No šīs formulas mēs izsakām augstumu, kas ir augstums (cm). taisnstūra paralēlskaldnis. Mēs iegūstam, un vienāds ar Aizstāsim mūsu taisnstūra paralēlskaldņa mērījumus tilpuma formulā. Skaitīsim. Iegūstam, ka paralēlskaldņa tilpums ir Neaizmirsīsim pierakstīt atbildi. (cm3). Uzdevums: kvadrāts. Kuboīda tilpums ir vienāds ar kuboīda augstumu, ja stacionārs, tad pamatne ir cm3. Nosakiet Skatiet risinājumu: Šajā nodarbībā mēs pierādījām, ka kuboīda tilpums ir vienāds. Izsakiet augstumu no formulas. Tādējādi augstums ir vienāds. Tā kā mūsu taisnstūra paralēlskaldņa pamatne pēc nosacījuma ir kvadrāts, tad pamatnes laukums ir vienāds ar taisnstūra paralēlskaldņa tilpumu (cm2). Pēc problēmas stāvokļa zināms arī tas. Tātad augstums (cm). Pierakstīsim atbildi. vienāds ar summām: šajā nodarbībā mēs atcerējāmies stacionāra jēdzienu. Mēs pierādījām, ka taisnstūra paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar tā trīs dimensiju reizinājumu. Mēs pierādījām, ka taisnstūra paralēlskaldņa tilpumu var aprēķināt kā pamatlaukuma un augstuma reizinājumu. Viņi arī pierādīja, ka taisnleņķa prizmas, kuras pamatne ir taisnleņķa trīsstūris, tilpums ir vienāds ar pamatnes laukuma un augstuma reizinājumu.

Prizmu sauc paralēlskaldnis ja tā pamati ir paralelogrami. Cm. 1. att.

Kastes īpašības:

Paralēlstūra pretējās virsmas ir paralēlas (t.i., atrodas paralēlās plaknēs) un vienādas.

Paralēles diagonāles krustojas vienā punktā un sadala šo punktu uz pusēm.

Blakus esošās kastes sejas ir divas sejas, kurām ir kopīga mala.

Paralēlskaldņa pretējās sejas– sejas, kurām nav kopīgu malu.

Kastes pretējās virsotnes ir divas virsotnes, kas nepieder vienai un tai pašai sejai.

Kastes diagonāle Līnijas segments, kas savieno pretējās virsotnes.

Ja sānu malas ir perpendikulāras pamatu plaknēm, tad tiek saukts paralēlskaldnis tiešā veidā.

Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura pamati ir taisnstūri taisnstūrveida. Tiek saukta prizma, kuras visas skaldnes ir kvadrāti kubs.

Paralēles Prizma, kuras pamati ir paralelogrami.

Labais paralēlskaldnis- paralēlskaldnis, kura sānu malas ir perpendikulāras pamatnes plaknei.

kuboīds ir taisnstūra paralēlskaldnis, kura pamatnes ir taisnstūri.

Kubs ir taisnstūrveida paralēlskaldnis ar vienādām malām.

Paralēles sauc prizmu, kuras pamats ir paralelograms; tātad paralēlskaldnim ir sešas skaldnes, un tās visas ir paralelogrami.

Pretējās sejas ir pa pāriem vienādas un paralēlas. Paralēlskaldnim ir četras diagonāles; tie visi krustojas vienā punktā un tajā sadalās uz pusēm. Par pamatu var ņemt jebkuru seju; tilpums ir vienāds ar pamatlaukuma un augstuma reizinājumu: V = Sh.

Paralēlstūri, kura četras sānu skaldnes ir taisnstūri, sauc par taisnstūri.

Labais paralēlskaldnis, kurā visas sešas skaldnes ir taisnstūri, tiek saukts par taisnstūri. Cm. 2. att.

Taisnā paralēlskaldņa tilpums (V) ir vienāds ar pamatlaukuma (S) un augstuma (h) reizinājumu: V = Sh .

Taisnstūra paralēlskaldnim papildus formula V=abc, kur a,b,c ir malas.

Kuboīda diagonāle (d) ir saistīta ar tās malām ar attiecību d 2 \u003d a 2 + b 2 + c 2 .

kuboīds- paralēlskaldnis, kura sānu malas ir perpendikulāras pamatiem, bet pamatnes ir taisnstūri.

Kuboīda īpašības:

Skaļveida formā visas sešas skaldnes ir taisnstūri.

Visi kuboīda divvirsmas leņķi ir taisni leņķi.

Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles kvadrāts ir vienāds ar tā trīs dimensiju (trīs malu garumi, kurām ir kopīga virsotne) kvadrātu summu.

Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles ir vienādas.

Taisnstūrveida paralēlskaldni, kura visas skaldnes ir kvadrāti, sauc par kubu. Visas kuba malas ir vienādas; kuba tilpumu (V) izsaka ar formulu V = a 3, kur a ir kuba mala.

Jebkuru ģeometrisku ķermeni var raksturot ar virsmas laukumu (S) un tilpumu (V). Platība un apjoms nav viens un tas pats. Objektam var būt salīdzinoši mazs V un liels S, piemēram, šādi darbojas cilvēka smadzenes. Šos rādītājus ir daudz vieglāk aprēķināt vienkāršām ģeometriskām formām.

Paralēles: definīcija, veidi un īpašības

Paralēlskaldnis ir četrstūra prizma ar paralelogramu tās pamatnē. Kāpēc jums var būt nepieciešama formula figūras apjoma noteikšanai? Grāmatām, iepakojuma kastēm un daudzām citām lietām no ikdienas ir līdzīga forma. Telpas dzīvojamās un biroju ēkās, kā likums, ir taisnstūrveida paralēlskaldņi. Lai uzstādītu ventilāciju, gaisa kondicionēšanu un noteiktu sildelementu skaitu telpā, nepieciešams aprēķināt telpas tilpumu.

Attēlam ir 6 skaldnes - paralelogrami un 12 malas, divas patvaļīgi izvēlētas skaldnes sauc par pamatnēm. Paralēlskaldnis var būt vairāku veidu. Atšķirības ir saistītas ar leņķiem starp blakus esošajām malām. Formulas dažādu daudzstūru V-zīmju atrašanai nedaudz atšķiras.

Ja ģeometriskas figūras 6 skaldnes ir taisnstūri, tad to sauc arī par taisnstūri. Kubs ir īpašs paralēlskaldņa gadījums, kurā visas 6 skaldnes ir vienādi kvadrāti. Šajā gadījumā, lai atrastu V, jums jāzina tikai vienas malas garums un jāpalielina tā līdz trešajai pakāpei.

Lai atrisinātu problēmas, jums būs nepieciešamas zināšanas ne tikai par gatavām formulām, bet arī par figūras īpašībām. Taisnstūra prizmas pamatīpašību saraksts ir mazs un ļoti viegli saprotams:

1. Attēla pretējās sejas ir vienādas un paralēlas. Tas nozīmē, ka pretī esošās ribas garumā un slīpuma leņķī ir vienādas.
2. Visas labās paralēlskaldņa sānu virsmas ir taisnstūri.
3. Ģeometriskas figūras četras galvenās diagonāles krustojas vienā punktā un sadala to uz pusēm.
4. Paralēlskaldņa diagonāles kvadrāts ir vienāds ar figūras izmēru kvadrātu summu (seko no Pitagora teorēmas).

Pitagora teorēma norāda, ka uz taisnleņķa trijstūra kājiņām uzbūvēto kvadrātu laukumu summa ir vienāda ar tā trijstūra laukumu, kas uzbūvēts uz tā paša trīsstūra hipotenūzas.

Pēdējā īpašuma pierādījums ir redzams zemāk esošajā attēlā. Problēmas risināšanas gaita ir vienkārša un neprasa detalizētus paskaidrojumus.

Taisnstūra paralēlskaldņa tilpuma formula

Formula visu veidu ģeometrisko formu atrašanai ir vienāda: V=S*h, kur V ir vēlamais tilpums, S ir paralēlskaldņa pamatnes laukums, h ir augstums, kas nolaists no pretējās virsotnes un perpendikulāri pamatnei. Taisnstūrī h sakrīt ar vienu no figūras malām, tāpēc, lai atrastu taisnstūra prizmas tilpumu, jums jāreizina trīs mērījumi.

Tilpumu parasti izsaka cm3. Zinot visas trīs vērtības a, b un c, nav grūti atrast figūras tilpumu. Visbiežāk sastopamā problēma USE ir paralēlskaldņa skaļuma vai diagonāles meklēšana. Daudzus tipiskus USE uzdevumus nav iespējams atrisināt bez taisnstūra tilpuma formulas. Uzdevuma piemērs un tā risinājuma dizains ir parādīts attēlā zemāk.

1. piezīme. Taisnstūra prizmas virsmas laukumu var atrast, reizinot ar 2 figūras trīs skaldņu laukumu summu: pamatne (ab) un divas blakus esošās sānu virsmas (bc + ac).

2. piezīme. Sānu virsmu virsmas laukumu var viegli atrast, reizinot pamatnes perimetru ar paralēlskaldņa augstumu.

Pamatojoties uz paralēlskaldņu pirmo īpašību, AB = A1B1 un virsma B1D1 = BD. Saskaņā ar Pitagora teorēmas sekām taisnleņķa trijstūrī visu leņķu summa ir vienāda ar 180 °, un kāja, kas atrodas pretī 30 ° leņķim, ir vienāda ar hipotenūzu. Lietojot šīs zināšanas trijstūrim, mēs varam viegli atrast malu AB un AD garumu. Tad mēs reizinām iegūtās vērtības un aprēķinām paralēlskaldņa tilpumu.

Slīpas kastes tilpuma atrašanas formula

Lai atrastu slīpa paralēlskaldņa tilpumu, ir jāreizina figūras pamatnes laukums ar augstumu, kas nolaists līdz šai pamatnei no pretējā leņķa.

Tādējādi vēlamo V var attēlot kā h - lokšņu skaitu ar pamatnes laukumu S, tāpēc klāja tilpumu veido visu kāršu Vs.

Problēmu risināšanas piemēri

Vienotā eksāmena uzdevumi jāizpilda noteiktā laikā. Tipiski uzdevumi, kā likums, nesatur lielu skaitu aprēķinu un sarežģītu daļu. Bieži studentam tiek piedāvāts, kā atrast neregulāras ģeometriskas figūras apjomu. Šādos gadījumos jums vajadzētu atcerēties vienkāršu noteikumu, ka kopējais tilpums ir vienāds ar sastāvdaļu V summu.

Kā redzat no piemēra attēlā iepriekš, šādu problēmu risināšanā nav nekā sarežģīta. Sarežģītāku sadaļu uzdevumi prasa zināšanas par Pitagora teorēmu un tās sekām, kā arī figūras diagonāles garuma formulu. Lai veiksmīgi atrisinātu testa uzdevumus, pietiek iepriekš iepazīties ar tipisku uzdevumu paraugiem.