Vienādojums plaknei, kas iet caur punktu, ir perpendikulāra vektoram. Taisne

Ja visi skaitļi A, B, C un D nav nulle, tad plaknes vispārīgo vienādojumu sauc pabeigts. Pretējā gadījumā tiek izsaukts plaknes vispārīgais vienādojums nepilnīgs.

Apskatīsim visus iespējamos vispārīgos nepilnīgos plaknes vienādojumus taisnstūra koordinātu sistēmā Oxyz trīsdimensiju telpā.

Pieņemsim, ka D = 0, tad mums ir vispārējs nepilnīgs formas plaknes vienādojums. Šī plakne taisnstūrveida koordinātu sistēmā Oxyz iet caur sākuma punktu. Patiešām, aizstājot punkta koordinātas iegūtajā plaknes nepilnīgajā vienādojumā, mēs nonākam pie identitātes .

Par , vai , vai mums ir vispārīgi nepilnīgi vienādojumi plaknēm , vai , vai attiecīgi. Šie vienādojumi definē plaknes, kas ir paralēlas attiecīgi koordinātu plaknēm Oxy , Oxz un Oyz (skat. rakstu Paralēlitātes nosacījums plaknēm) un iet caur punktiem un attiecīgi. Plkst. Kopš punkta pieder plaknei pēc nosacījuma, tad šī punkta koordinātēm jāapmierina plaknes vienādojums, tas ir, vienādībai ir jābūt patiesai. No šejienes mēs atrodam. Tādējādi vēlamajam vienādojumam ir forma .

Mēs piedāvājam otro veidu, kā atrisināt šo problēmu.

Tā kā plakne, kuras vispārīgais vienādojums mums jāsastāda, ir paralēla Oyz plaknei, tad par tās normālo vektoru varam pieņemt Oyz plaknes normālo vektoru. Koordinātu plaknes Oyz normālais vektors ir koordinātu vektors . Tagad mēs zinām plaknes normālo vektoru un plaknes punktu, tāpēc mēs varam pierakstīt tā vispārējo vienādojumu (līdzīgu problēmu mēs atrisinājām šī raksta iepriekšējā punktā):
, tad tā koordinātām jāatbilst plaknes vienādojumam. Tāpēc vienlīdzība kur atrodam. Tagad mēs varam uzrakstīt vēlamo plaknes vispārīgo vienādojumu, tam ir forma .

Atbilde:

Bibliogrāfija.

• Bugrovs Ya.S., Nikolsky S.M. Augstākā matemātika. Pirmais sējums: Lineārās algebras un analītiskās ģeometrijas elementi.
• Iļjins V.A., Pozņaka E.G. Analītiskā ģeometrija.

Lai iegūtu plaknes vispārējo vienādojumu, mēs analizējam plakni, kas iet caur noteiktu punktu.

Lai ir trīs mums jau zināmas koordinātu asis kosmosā - Vērsis, Oy un Oz. Turiet papīra lapu tā, lai tā paliktu plakana. Lidmašīna būs pati lapa un tās turpinājums visos virzienos.

Ļaujiet P patvaļīga plakne telpā. Tiek saukts jebkurš tam perpendikulārs vektors normāls vektors uz šo lidmašīnu. Protams, mēs runājam par vektoru, kas nav nulle.

Ja ir zināms kāds plaknes punkts P un kaut kāds tā normas vektors, tad ar šiem diviem nosacījumiem plakne telpā ir pilnībā noteikta(caur doto punktu ir tikai viena plakne, kas ir perpendikulāra dotajam vektoram). Plaknes vispārīgais vienādojums izskatīsies šādi:

Tātad ir nosacījumi, kas nosaka plaknes vienādojumu. Lai to iegūtu pats plaknes vienādojums, kam ir iepriekš minētā forma, mēs uzņemam lidmašīnu P patvaļīgi punktu M ar mainīgām koordinātām x, y, z. Šis punkts pieder plaknei tikai tad, ja vektors perpendikulāri vektoram(1. att.). Šim nolūkam saskaņā ar vektoru perpendikularitātes nosacījumu ir nepieciešams un pietiekami, lai šo vektoru skalārais reizinājums būtu vienāds ar nulli, tas ir

Vektoru dod nosacījums. Mēs atrodam vektora koordinātas pēc formulas :

.

Tagad, izmantojot vektoru punktu reizinājuma formulu , mēs izsakām skalāro reizinājumu koordinātu formā:

Kopš punkta M(x; y; z) plaknē ir izvēlēts patvaļīgi, tad pēdējo vienādojumu apmierina jebkura plaknes punkta koordinātas P. Par punktu N, neguļot uz dotās plaknes, , t.i. ir pārkāpta vienlīdzība (1).

1. piemērs Uzrakstiet vienādojumu plaknei, kas iet caur punktu un ir perpendikulāra vektoram.

Risinājums. Mēs izmantojam formulu (1), apskatiet to vēlreiz:

Šajā formulā skaitļi A , B un C vektoru koordinātas un skaitļi x0 , y0 un z0 - punktu koordinātas.

Aprēķini ir ļoti vienkārši: mēs aizstājam šos skaitļus formulā un iegūstam

Sareizinām visu, kas jāreizina, un saskaitām tikai skaitļus (kas ir bez burtiem). Rezultāts:

.

Nepieciešamais plaknes vienādojums šajā piemērā izrādījās izteikts ar pirmās pakāpes vispārīgo vienādojumu attiecībā pret mainīgajām koordinātām x, y, z patvaļīgs plaknes punkts.

Tātad, formas vienādojums

sauca plaknes vispārējais vienādojums .

2. piemērs Izveidojiet vienādojuma doto plakni taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmā .

Risinājums. Lai konstruētu plakni, ir nepieciešams un pietiekami zināt jebkurus trīs tās punktus, kas neatrodas uz vienas taisnes, piemēram, plaknes krustošanās punktus ar koordinātu asīm.

Kā atrast šos punktus? Lai atrastu krustošanās punktu ar asi Oz, jums ir jāaizstāj nulles, nevis x un y vienādojumā, kas norādīts problēmas priekšrakstā: x = y= 0. Tāpēc mēs saņemam z= 6. Tādējādi dotā plakne krustojas ar asi Oz punktā A(0; 0; 6) .

Tādā pašā veidā mēs atrodam plaknes krustošanās punktu ar asi Oy. Plkst x = z= 0 mēs iegūstam y= −3 , tas ir, punkts B(0; −3; 0) .

Un visbeidzot mēs atrodam mūsu plaknes krustošanās punktu ar asi Vērsis. Plkst y = z= 0 mēs iegūstam x= 2, tas ir, punkts C(2; 0; 0) . Saskaņā ar mūsu risinājumā iegūtajiem trim punktiem A(0; 0; 6) , B(0; -3; 0) un C(2; 0; 0) veidojam doto plakni.

Apsveriet tagad plaknes vispārējā vienādojuma īpašie gadījumi. Tie ir gadījumi, kad noteikti (2) vienādojuma koeficienti pazūd.

1. Kad D= 0 vienādojums definē plakni, kas iet caur sākuma punktu, jo punkta koordinātas 0 (0; 0; 0) apmierina šo vienādojumu.

2. Kad A= 0 vienādojums definē plakni, kas ir paralēla asij Vērsis, jo šīs plaknes normālvektors ir perpendikulārs asij Vērsis(tā projekcija uz asi Vērsis ir vienāds ar nulli). Līdzīgi, kad B= 0 lidmašīna ass paralēla Oy, un tad, kad C= 0 lidmašīna paralēli asij Oz.

3. Kad A=D= 0 vienādojums definē plakni, kas iet caur asi Vērsis jo tas ir paralēls asij Vērsis (A=D= 0). Līdzīgi plakne iet caur asi Oy, un plakne caur asi Oz.

4. Kad A=B= 0 vienādojums definē plakni, kas ir paralēla koordinātu plaknei xOy jo tas ir paralēls asīm Vērsis (A= 0) un Oy (B= 0). Tāpat plakne ir paralēla plaknei yOz, un lidmašīna - lidmašīna xOz.

5. Kad A=B=D= 0 vienādojums (vai z= 0) definē koordinātu plakni xOy, jo tas ir paralēls plaknei xOy (A=B= 0) un iet caur izcelsmi ( D= 0). Līdzīgi, vienādojums y= 0 telpā nosaka koordinātu plakni xOz, un vienādojums x= 0 - koordinātu plakne yOz.

3. piemērs Sastādiet plaknes vienādojumu P kas iet caur asi Oy un punkts .

Risinājums. Tātad plakne iet caur asi Oy. Tātad viņas vienādojumā y= 0 un šim vienādojumam ir forma . Lai noteiktu koeficientus A un C mēs izmantojam faktu, ka punkts pieder plaknei P .

Tāpēc starp tās koordinātām ir tās, kuras var aizstāt ar plaknes vienādojumu, kuru mēs jau esam atvasinājuši (). Apskatīsim vēlreiz punkta koordinātas:

M0 (2; −4; 3) .

Starp viņiem x = 2 , z= 3. Mēs tos aizstājam vispārējā vienādojumā un iegūstam vienādojumu mūsu konkrētajam gadījumam:

2A + 3C = 0 .

Mēs atstājam 2 A vienādojuma kreisajā pusē mēs pārnesam 3 C uz labo pusi un saņemt

A = −1,5C .

Atrastās vērtības aizstāšana A vienādojumā mēs iegūstam

vai .

Šis ir vienādojums, kas nepieciešams piemēra nosacījumā.

Atrisiniet problēmu plaknes vienādojumos pats un pēc tam apskatiet risinājumu

4. piemērs Nosakiet plakni (vai plaknes, ja vairāk nekā viena) attiecībā pret koordinātu asīm vai koordinātu plaknēm, ja plakne(-es) ir norādīta ar vienādojumu .

Tipisku problēmu risinājumi, kas rodas testos - rokasgrāmatā "Problēmas plaknē: paralēlisms, perpendikularitāte, trīs plakņu krustojums vienā punktā" .

Vienādojums plaknei, kas iet cauri trim punktiem

Kā jau minēts, nepieciešams un pietiekams nosacījums plaknes konstruēšanai papildus vienam punktam un normālvektoram ir arī trīs punkti, kas neatrodas uz vienas taisnes.

Ļaujiet tur ir doti trīs dažādi punkti , Un , Neatrodas uz vienas taisnas līnijas. Tā kā šie trīs punkti neatrodas uz vienas taisnes, vektori un nav kolineāri, un tāpēc jebkurš plaknes punkts atrodas vienā plaknē ar punktiem , Un tad un tikai tad, ja vektori , un koplanārs, t.i. ja un tikai tad šo vektoru jauktais produkts vienāds ar nulli.

Izmantojot jaukto reizinājuma izteiksmi koordinātēs, iegūstam plaknes vienādojumu

(3)

Pēc determinanta paplašināšanas šis vienādojums kļūst par (2) formas vienādojumu, t.i. plaknes vispārējais vienādojums.

5. piemērs Uzrakstiet vienādojumu plaknei, kas iet cauri trim dotiem punktiem, kas neatrodas uz taisnas līnijas:

un noteikt konkrētu taisnes vispārējā vienādojuma gadījumu, ja tāds ir.

Risinājums. Saskaņā ar formulu (3) mums ir:

Plaknes normāls vienādojums. Attālums no punkta līdz plaknei

Plaknes normālais vienādojums ir tā vienādojums, kas uzrakstīts formā

Šis raksts sniedz priekšstatu par to, kā uzrakstīt vienādojumu plaknei, kas iet caur noteiktu punktu trīsdimensiju telpā, kas ir perpendikulāra noteiktai taisnei. Analizēsim iepriekš minēto algoritmu, izmantojot tipisku problēmu risināšanas piemēru.

Vienādojuma atrašana plaknei, kas iet caur noteiktu punktu telpā, kas ir perpendikulāra noteiktai taisnei

Dota tajā trīsdimensiju telpa un taisnstūra koordinātu sistēma O x y z. Dots arī punkts M 1 (x 1, y 1, z 1), taisne a un plakne α, kas iet caur punktu M 1, kas ir perpendikulāra taisnei a. Nepieciešams pierakstīt plaknes α vienādojumu.

Pirms turpināt šīs problēmas risināšanu, atcerēsimies ģeometrijas teorēmu no programmas 10.–11. klasei, kas skan:

1. definīcija

Viena plakne iet caur noteiktu punktu trīsdimensiju telpā un ir perpendikulāra noteiktai taisnei.

Tagad apsveriet, kā atrast šīs vienas plaknes vienādojumu, kas iet caur sākuma punktu un ir perpendikulāra dotajai taisnei.

Plaknes vispārīgo vienādojumu var uzrakstīt, ja ir zināmas šai plaknei piederoša punkta koordinātas, kā arī plaknes normālvektora koordinātas.

Pēc uzdevuma nosacījuma mums ir dotas punkta M 1 koordinātas x 1, y 1, z 1, caur kuru iet plakne α. Ja noteiksim plaknes α normālvektora koordinātas, tad varēsim uzrakstīt vajadzīgo vienādojumu.

Plaknes α normālais vektors, jo tas nav nulle un atrodas uz taisnes a, kas ir perpendikulāra plaknei α, būs jebkurš taisnes a virzošais vektors. Tādējādi plaknes α normālvektora koordinātu atrašanas uzdevums tiek pārveidots par taisnes a virzošā vektora koordinātu noteikšanas uzdevumu.

Taisnes a virzošā vektora koordinātu noteikšanu var veikt ar dažādām metodēm: tas ir atkarīgs no taisnes a iestatīšanas varianta sākotnējos apstākļos. Piemēram, ja taisne a uzdevuma nosacījumā ir dota ar formas kanoniskajiem vienādojumiem

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

vai parametru vienādojumi šādā formā:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

tad taisnes virziena vektoram būs koordinātas a x, a y un a z. Gadījumā, ja taisne a ir attēlota ar diviem punktiem M 2 (x 2, y 2, z 2) un M 3 (x 3, y 3, z 3), tad virziena vektora koordinātas tiks noteiktas kā (x3 - x2, y3 - y2, z3 - z2).

2. definīcija

Algoritms plaknes vienādojuma atrašanai, kas iet caur noteiktu punktu, kas ir perpendikulārs noteiktai taisnei:

Nosakiet taisnes a virzošā vektora koordinātas: a → = (a x, a y, a z) ;

Plaknes α normālā vektora koordinātas definējam kā taisnes a virzošā vektora koordinātas:

n → = (A , B , C) , kur A = a x, B = a y, C = a z;

Mēs rakstām vienādojumu plaknei, kas iet caur punktu M 1 (x 1, y 1, z 1) un kurai ir normāls vektors n→=(A, B, C) formā A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Tas būs nepieciešamais vienādojums plaknei, kas iet caur noteiktu telpas punktu un ir perpendikulāra noteiktai līnijai.

Iegūtais plaknes vispārīgais vienādojums: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 ļauj iegūt plaknes vienādojumu segmentos vai plaknes normālo vienādojumu.

Atrisināsim dažus piemērus, izmantojot iepriekš iegūto algoritmu.

1. piemērs

Ir dots punkts M 1 (3, - 4, 5), caur kuru iet plakne, un šī plakne ir perpendikulāra koordinātu taisnei O z.

Risinājums

koordinātu taisnes O z virziena vektors būs koordinātu vektors k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Tāpēc plaknes normālajam vektoram ir koordinātas (0 , 0 , 1) . Uzrakstīsim vienādojumu plaknei, kas iet caur noteiktu punktu M 1 (3, - 4, 5), kuras normālvektoram ir koordinātes (0, 0, 1) :

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Atbilde: z-5 = 0.

Apsveriet citu veidu, kā atrisināt šo problēmu:

2. piemērs

Plakne, kas ir perpendikulāra taisnei O z, tiks dota ar nepilnīgu plaknes vispārīgo vienādojumu formā С z + D = 0 , C ≠ 0 . Definēsim C un D vērtības: tās, kurām plakne iet caur noteiktu punktu. Aizvietojot šī punkta koordinātas vienādojumā C z + D = 0 , iegūstam: C · 5 + D = 0 . Tie. skaitļi, C un D ir saistīti ar - D C = 5 . Ņemot C \u003d 1, mēs iegūstam D = 5.

Aizvietojiet šīs vērtības vienādojumā C z + D = 0 un iegūstiet vajadzīgo vienādojumu plaknei, kas ir perpendikulāra taisnei O z un iet caur punktu M 1 (3, - 4, 5) .

Tas izskatīsies šādi: z - 5 = 0.

Atbilde: z-5 = 0.

3. piemērs

Uzrakstiet vienādojumu plaknei, kas iet caur sākuma punktu un ir perpendikulāra taisnei x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Risinājums

Balstoties uz uzdevuma nosacījumiem, var apgalvot, ka dotās taisnes virzošais vektors var tikt pieņemts kā dotas plaknes normāls vektors n →. Tādējādi: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Uzrakstīsim vienādojumu plaknei, kas iet caur punktu O (0, 0, 0) un kurai ir normāls vektors n → \u003d (- 3, - 7, 2) :

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Esam ieguvuši vajadzīgo vienādojumu plaknei, kas iet caur izcelsmi perpendikulāri dotajai taisnei.

Atbilde:- 3x - 7y + 2z = 0

4. piemērs

Dota taisnstūra koordinātu sistēma O x y z trīsdimensiju telpā, tajā ir divi punkti A (2 , - 1 , - 2) un B (3 , - 2 , 4) . Plakne α iet caur punktu A, kas ir perpendikulāra taisnei AB. Nepieciešams sastādīt plaknes α vienādojumu segmentos.

Risinājums

Plakne α ir perpendikulāra taisnei A B, tad vektors A B → būs plaknes α normālvektors. Šī vektora koordinātas nosaka kā starpību starp atbilstošajām punktu B (3, - 2, 4) un A (2, - 1, - 2) koordinātām:

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Plaknes vispārīgais vienādojums tiks uzrakstīts šādā formā:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Tagad mēs sastādām vēlamo plaknes vienādojumu segmentos:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Atbilde:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Jāņem vērā arī tas, ka pastāv problēmas, kuru prasība ir uzrakstīt vienādojumu plaknei, kas iet caur noteiktu punktu un ir perpendikulāra divām dotām plaknēm. Kopumā šīs problēmas risinājums ir uzrakstīt vienādojumu plaknei, kas iet caur noteiktu punktu perpendikulāri noteiktai taisnei, jo divas krustojošas plaknes nosaka taisnu līniju.

5. piemērs

Ir dota taisnstūra koordinātu sistēma O x y z, kurā ir punkts M 1 (2, 0, - 5) . Doti arī divu plakņu 3 x + 2 y + 1 = 0 un x + 2 z - 1 = 0 vienādojumi, kas krustojas pa taisni a . Ir jāsastāda vienādojums plaknei, kas iet caur punktu M 1 perpendikulāri taisnei a.

Risinājums

Noteiksim taisnes a virzošā vektora koordinātas. Tas ir perpendikulārs gan plaknes n → (1,0,2) normālvektoram n 1 → (3 , 2 , 0), gan x + 2 z - normālvektoram 3 x + 2 y + 1 = 0. 1 = 0 plakne.

Tad virzošais vektors α → taisne a mēs ņemam vektoru n 1 → un n 2 → vektoru reizinājumu:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Tādējādi vektors n → = (4, - 6, - 2) būs taisnei a perpendikulāras plaknes normālais vektors. Mēs rakstām vēlamo plaknes vienādojumu:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Atbilde: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Taisnes līnijas īpašības Eiklīda ģeometrijā.

Ir bezgala daudz līniju, kuras var novilkt caur jebkuru punktu.

Caur jebkuriem diviem punktiem, kas nesakrīt, ir tikai viena taisne.

Divas nesakrītošas ​​līnijas plaknē vai nu krustojas vienā punktā, vai arī ir

paralēli (seko no iepriekšējās).

Trīsdimensiju telpā divu līniju relatīvajam novietojumam ir trīs iespējas:

• līnijas krustojas;

• taisnas līnijas ir paralēlas;

• taisnas līnijas krustojas.

Taisni līnija- pirmās kārtas algebriskā līkne: Dekarta koordinātu sistēmā taisne

plaknē ir dots ar pirmās pakāpes vienādojumu (lineārais vienādojums).

Vispārīgais taisnes vienādojums.

Definīcija. Jebkuru plaknes līniju var norādīt ar pirmās kārtas vienādojumu

Ah + Wu + C = 0,

un nemainīgs A, B tajā pašā laikā nav vienāds ar nulli. Šo pirmās kārtas vienādojumu sauc ģenerālis

taisnās līnijas vienādojums. Atkarībā no konstantu vērtībām A, B un NO Ir iespējami šādi īpaši gadījumi:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- līnija iet caur izcelsmi

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (pēc + C = 0)- taisna līnija, kas ir paralēla asij Ak

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- taisna līnija, kas ir paralēla asij OU

. B = C = 0, A ≠ 0- līnija sakrīt ar asi OU

. A = C = 0, B ≠ 0- līnija sakrīt ar asi Ak

Taisnas līnijas vienādojumu var attēlot dažādās formās atkarībā no dotā

sākotnējie nosacījumi.

Taisnes vienādojums ar punktu un normālu vektoru.

Definīcija. Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmā vektors ar komponentiem (A, B)

perpendikulāri taisnei, kas dota vienādojumā

Ah + Wu + C = 0.

Piemērs. Atrodiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu A(1, 2) perpendikulāri vektoram (3, -1).

Risinājums. Sastādām pie A \u003d 3 un B \u003d -1 taisnes vienādojumu: 3x - y + C \u003d 0. Lai atrastu koeficientu C

iegūtajā izteiksmē aizvietojam dotā punkta A koordinātes. Iegūstam: 3 - 2 + C = 0, tāpēc

C = -1. Kopā: vēlamais vienādojums: 3x - y - 1 \u003d 0.

Taisnes līnijas vienādojums, kas iet caur diviem punktiem.

Telpā ir doti divi punkti M 1 (x 1 , y 1 , z 1) un M2 (x 2, y 2, z 2), tad taisnās līnijas vienādojums,

iet caur šiem punktiem:

Ja kāds no saucējiem ir vienāds ar nulli, atbilstošais skaitītājs ir jāiestata vienāds ar nulli. Uz

plaknē, iepriekš uzrakstītais taisnes vienādojums ir vienkāršots:

ja x 1 ≠ x 2 un x = x 1, ja x 1 = x 2 .

Frakcija = k sauca slīpuma koeficients taisni.

Piemērs. Atrodiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktiem A(1, 2) un B(3, 4).

Risinājums. Izmantojot iepriekš minēto formulu, mēs iegūstam:

Taisnes vienādojums ar punktu un slīpumu.

Ja taisnes vispārīgais vienādojums Ah + Wu + C = 0 izveido formu:

un nozīmēt , tad tiek izsaukts iegūtais vienādojums

taisnas līnijas ar slīpumu k vienādojums.

Punkta taisnes un virziena vektora vienādojums.

Pēc analoģijas ar punktu, kurā tiek ņemts vērā taisnes vienādojums caur normālu vektoru, varat ievadīt uzdevumu

taisne caur punktu un taisnes virziena vektors.

Definīcija. Katrs vektors, kas nav nulle (α 1 , α 2), kuras sastāvdaļas atbilst nosacījumam

Aα 1 + Bα 2 = 0 sauca taisnes virziena vektors.

Ah + Wu + C = 0.

Piemērs. Atrodiet vienādojumu taisnei ar virziena vektoru (1, -1) un iet caur punktu A(1, 2).

Risinājums. Mēs meklēsim vajadzīgās taisnes vienādojumu formā: Ax + By + C = 0. Saskaņā ar definīciju,

koeficientiem jāatbilst šādiem nosacījumiem:

1 * A + (-1) * B = 0, t.i. A = B.

Tad taisnas līnijas vienādojumam ir šāda forma: Ax + Ay + C = 0, vai x + y + C / A = 0.

plkst x=1, y=2 mēs saņemam C/ A = -3, t.i. vēlamais vienādojums:

x + y - 3 = 0

Taisnas līnijas vienādojums segmentos.

Ja taisnes vispārējā vienādojumā Ah + Wu + C = 0 C≠0, tad, dalot ar -C, iegūstam:

vai, kur

Koeficientu ģeometriskā nozīme ir tāda, ka koeficients a ir krustošanās punkta koordināte

taisni ar asi Ak, a b- taisnes krustošanās punkta koordinātas ar asi OU.

Piemērs. Ir dots taisnes vispārīgais vienādojums x - y + 1 = 0. Atrodiet šīs taisnes vienādojumu segmentos.

C = 1, a \u003d -1, b = 1.

Normāls taisnes vienādojums.

Ja vienādojuma abas puses Ah + Wu + C = 0 dalīt ar skaitli , ko sauc

normalizējošais faktors, tad mēs saņemam

xcosφ + ysinφ - p = 0 -taisnas līnijas normāls vienādojums.

Normalizējošā koeficienta zīme ± jāizvēlas tā, lai μ * C< 0.

R- perpendikula garums, kas samazināts no sākuma līdz līnijai,

a φ - leņķis, ko veido šis perpendikuls ar ass pozitīvo virzienu Ak.

Piemērs. Dots taisnes vispārīgais vienādojums 12x - 5g - 65 = 0. Nepieciešams, lai uzrakstītu dažāda veida vienādojumus

šī taisnā līnija.

Šīs taisnes vienādojums segmentos:

Šīs līnijas vienādojums ar slīpumu: (dalīt ar 5)

Taisnas līnijas vienādojums:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Jāņem vērā, ka ne katru taisni var attēlot ar vienādojumu segmentos, piemēram, taisnes,

paralēli asīm vai iet caur izcelsmi.

Leņķis starp līnijām plaknē.

Definīcija. Ja ir dotas divas rindas y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, tad akūts leņķis starp šīm līnijām

tiks definēts kā

Divas taisnes ir paralēlas, ja k 1 = k 2. Divas līnijas ir perpendikulāras

ja k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorēma.

Tieša Ah + Wu + C = 0 un A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ir paralēli, ja koeficienti ir proporcionāli

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Ja arī С 1 \u003d λС, tad līnijas sakrīt. Divu taisnes krustošanās punkta koordinātas

tiek atrasti kā risinājums šo līniju vienādojumu sistēmai.

Taisnes vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu, ir perpendikulārs noteiktai taisnei.

Definīcija. Līnija, kas iet caur punktu M 1 (x 1, y 1) un perpendikulāri līnijai y = kx + b

attēlots ar vienādojumu:

Attālums no punkta līdz līnijai.

Teorēma. Ja tiek dots punkts M(x 0, y 0), tad attālums līdz līnijai Ah + Wu + C = 0 definēts kā:

Pierādījums. Ļaujiet punktu M 1 (x 1, y 1)- perpendikula pamatne nokrita no punkta M par doto

tiešā veidā. Tad attālums starp punktiem M un M 1:

(1)

Koordinātas x 1 un 1 var atrast kā vienādojumu sistēmas risinājumu:

Sistēmas otrais vienādojums ir taisnes vienādojums, kas iet caur doto punktu M 0 perpendikulāri

dotā līnija. Ja mēs pārveidosim pirmo sistēmas vienādojumu formā:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Ar 0 + C = 0,

tad, atrisinot, mēs iegūstam:

Aizvietojot šīs izteiksmes vienādojumā (1), mēs atrodam:

Teorēma ir pierādīta.