Norādiet periodiskas funkcijas numuru. Periodiskuma funkcijas izpēte

HARMONISKĀ ANALĪZE

Ievads.

Mūsdienu tehnoloģiju attīstība izvirza paaugstinātas prasības inženieru matemātiskajai apmācībai. Vairāku specifisku mehānikas un fizikas problēmu formulēšanas un izpētes rezultātā radās trigonometrisko sēriju teorija. Furjē sērijām ir vissvarīgākā loma visās tehnoloģiju jomās, kuru pamatā ir svārstību teorija un spektrālās analīzes teorija. Piemēram, datu pārraides sistēmās signālu aprakstīšanai spektrālo attēlojumu praktiskā pielietošana vienmēr rada nepieciešamību eksperimentāli īstenot Furjē paplašināšanu. Trigonometrisko rindu loma elektrotehnikā ir īpaši liela periodisku nesinusoidālu strāvu pētījumos: funkcijas amplitūdas spektrs tiek atrasts, izmantojot Furjē rindu kompleksā formā. Furjē integrālis tiek izmantots, lai attēlotu neperiodiskus procesus.

Trigonometriskām sērijām ir nozīmīgs pielietojums daudzās matemātikas nozarēs, un tās nodrošina īpaši ērtas metodes tādu sarežģītu matemātiskās fizikas uzdevumu risināšanai kā virknes vibrācija un siltuma izplatīšanās stieņā.

Periodiskas funkcijas.

Daudzas zinātnes un tehnikas problēmas ir saistītas ar periodiskām funkcijām, kas atspoguļo cikliskus procesus.

1. definīcija. Periodiskas parādības sauc par parādībām, kas atkārtojas tādā pašā secībā un tādā pašā formā noteiktos argumenta intervālos.

Piemērs. Spektrālajā analīzē - spektri.

2. definīcija. Funkcija plkst = f(x) sauc par periodisku ar punktu T, ja f(x + T) = f(x) visiem X un x + T no funkcijas darbības jomas.

Attēlā attēlotās funkcijas periods T = 2.

3. definīcija. Funkcijas mazāko pozitīvo periodu sauc par galveno periodu.

Tur, kur nākas saskarties ar periodiskām parādībām, gandrīz vienmēr ir sastopamas trigonometriskās funkcijas.

Funkcijas periods ir vienāds ar , funkciju periods ir vienāds ar .

Trigonometrisko funkciju periods ar argumentu ( Ak) tiek atrasts pēc formulas:

.

Piemērs. Atrodiet galveno funkciju periodu 1) .

Risinājums. 1) . 2) .

Lemma. Ja f(x) ir periods T, tad šīs funkcijas integrālis, kas ņemts robežās, kas atšķiras par T, nav atkarīgs no apakšējās integrācijas robežas izvēles, t.i., = .

Galvenais grūtā periods periodiska funkcija plkst = f(x) (sastāv no periodisko funkciju summas) ir veidojošo funkciju periodu mazākais kopīgais reizinājums.

Tas ir, ja f(x) = f 1 (x) + f 2 (x), T 1 - funkcijas periods f 1 (x), T 2 - funkcijas periods f 2 (x), tad mazākais pozitīvais periods T jāatbilst nosacījumam:

T = nt 1 + kT 2, kur(*) –

Pētot dabas parādības, risinot tehniskas problēmas, mēs saskaramies ar periodiskiem procesiem, kurus var raksturot ar īpaša veida funkcijām.

Funkciju y = f(x) ar domēnu D sauc par periodisku, ja pastāv vismaz viens skaitlis T > 0, un ir izpildīti šādi divi nosacījumi:

1) punkti x + T, x − T pieder pie domēna D jebkuram x ∈ D;

2) katram x no D mums ir attiecība

f(x) = f(x + T) = f(x − T).

Skaitli T sauc par funkcijas f(x) periodu. Citiem vārdiem sakot, periodiska funkcija ir funkcija, kuras vērtības tiek atkārtotas pēc noteikta intervāla. Piemēram, funkcija y = sin x ir periodiska (1. att.) ar periodu 2π.

Ņemiet vērā, ka, ja skaitlis T ir funkcijas f(x) periods, tad arī skaitlis 2T būs tās periods, kā arī 3T un 4T utt., t.i., periodiskai funkcijai ir bezgalīgi daudz dažādu periodu. Ja starp tiem ir mazākais (nav vienāds ar nulli), tad visi pārējie funkcijas periodi ir šī skaitļa daudzkārtņi. Ņemiet vērā, ka ne katrai periodiskai funkcijai ir šis mazākais pozitīvais periods; piemēram, funkcijai f(x)=1 šāda perioda nav. Ir arī svarīgi paturēt prātā, ka, piemēram, divu periodisku funkciju summai, kurām ir vienāds mazākais pozitīvais periods T 0, ne vienmēr ir vienāds pozitīvais periods. Tātad, funkciju summai f(x) = sin x un g(x) = −sin x vispār nav mazākā pozitīvā perioda, un funkciju summai f(x) = sin x + sin 2x un g( x) = −sin x, kura mazākie periodi ir 2π, ir mazākais pozitīvais periods, kas vienāds ar π.

Ja divu funkciju f(x) un g(x) periodu attiecība ir racionāls skaitlis, tad arī šo funkciju summa un reizinājums būs periodiskas funkcijas. Ja visur definēto un nepārtraukto funkciju f un g periodu attiecība ir iracionāls skaitlis, tad funkcijas f + g un fg jau būs neperiodiskas funkcijas. Tā, piemēram, funkcijas cos x sin √2 x un cosj √2 x + sin x ir neperiodiskas, lai gan funkcijas sin x un cos x ir periodiskas ar periodu 2π, funkcijas sin √2 x un cos. √2 x ir periodiski ar periodu √2 π .

Ņemiet vērā, ka, ja f(x) ir periodiska funkcija ar periodu T, tad kompleksā funkcija (ja, protams, ir jēga) F(f(x)) arī ir periodiska funkcija, un par tās funkciju kalpos skaitlis T. periodā. Piemēram, funkcijas y \u003d sin 2 x, y \u003d √ (cos x) (2.3. att.) ir periodiskas funkcijas (šeit: F 1 (z) \u003d z 2 un F 2 (z) \u003d √z ). Taču nevajadzētu domāt, ka, ja funkcijai f(x) ir mazākais pozitīvais periods T 0 , tad funkcijai F(f(x)) būs tāds pats mazākais pozitīvais periods; piemēram, funkcijai y \u003d sin 2 x ir mazākais pozitīvais periods, kas ir 2 reizes mazāks par funkciju f (x) \u003d sin x (2. att.).

Ir viegli parādīt, ka, ja funkcija f ir periodiska ar periodu T, ir definēta un diferencējama katrā reālās līnijas punktā, tad funkcija f "(x) (atvasinājums) ir arī periodiska funkcija ar periodu T, tomēr, antiatvasinājuma funkcija F (x) (sk. Integrālo aprēķinu) f(x) būs periodiska funkcija tikai tad, ja

F(T) − F(0) = T o ∫ f(x) dx = 0.

UDK 517,17+517,51

DIVU PERIODISKO FUNKCIJU SUMMAS PERIODS

A/O. Evnin

Darbs pilnībā atrisina jautājumu par to, kāds var būt periodiskas funkcijas galvenais periods, kas ir divu periodisku funkciju ar zināmiem galvenajiem periodiem summa. Mēs arī pētām gadījumu, kad periodisku funkciju periodiskai summai nav galvenā perioda.

Mēs uzskatām reāla mainīgā reālās vērtības funkcijas. Enciklopēdiskā izdevumā rakstā "Periodiskās funkcijas" var lasīt: "Periodisko funkciju summa ar dažādiem periodiem ir periodiska tikai tad, ja to periodi ir samērojami." Šis apgalvojums attiecas uz nepārtrauktām funkcijām1, bet nav spēkā vispārīgā gadījumā. gadā tika izveidots ļoti vispārīgas formas pretpiemērs. Šajā rakstā mēs uzzinām, kāds var būt periodiskas funkcijas galvenais periods, kas ir divu periodisku funkciju ar zināmiem galvenajiem periodiem summa.

Iepriekšēja informācija

Atgādinām, ka funkcija / tiek uzskatīta par periodisku, ja kādam skaitlim T F O jebkuram x no domēna D(f) skaitļi x + T un x - T pieder pie D(f) un vienādības f(x + T) = f(x) = f(x ~ T). Šajā gadījumā skaitli Г sauc par funkcijas periodu.

Funkcijas mazākais pozitīvais periods (ja, protams, pastāv) tiks saukts par galveno periodu. Ir zināms šāds fakts.

1. teorēma. Ja funkcijai ir galvenais periods To, tad jebkuram funkcijas periodam ir forma pTo, kur p Ф 0 ir vesels skaitlis.

Tiek uzskatīts, ka skaitļi T\ un T2 ir samērīgi, ja eksistē skaitlis T0, kas "atbilst" gan T\, gan T2 veselam skaitam reižu: T\ = T2 = n2T0, u, n2e Z. Pretējā gadījumā skaitļi T\ un T2 sauc par nesamērojamiem. Tādējādi periodu samērojamība (nesalīdzināmība) nozīmē, ka to attiecība ir racionāls (irracionāls) skaitlis.

No 1. teorēmas izriet, ka jebkuri divi funkcijas periodi, kuriem ir galvenais periods, ir samērojami.

Klasisks tādas funkcijas piemērs, kurai nav mazākā perioda, ir Dirihleta funkcija, kas racionālajos punktos ir vienāda ar 1 un iracionālajos punktos ar nulli. Jebkurš racionāls skaitlis, kas nav nulle, ir Dirihlē funkcijas periods, un jebkurš iracionāls skaitlis nav tā periods. Kā redzam, šeit jebkuri divi periodi ir samērojami.

Dosim piemēru nekonstantai periodiskai funkcijai ar nesamērojamiem periodiem.

Lai funkcija /(x) formas /u + la/2, m, n e Z punktos ir vienāda ar 1, bet pārējos punktos ir vienāda ar

nulle. Starp šīs funkcijas periodiem ir 1 un l

Funkciju summas periods ar salīdzināmiem periodiem

2. teorēma. Lai fug ir periodiskas funkcijas ar pamatperiodiem mT0 un "To, kur tips

Kopirma skaitļi. Tad to summas galvenais periods (ja tāds pastāv) ir -

kur k ir naturāls skaitlis kopā ar m.

Pierādījums. Ļaujiet h = / + g. Acīmredzot skaitlis mnT0 ir periods h. Pamatojoties uz

1. teorēma, galvenajam periodam h ir tāda forma, kur k ir naturāls skaitlis. Pieņemts

mēs nospiežam, ka k nav kopskaitlis ar skaitli m, tas ir, k - dku m \u003d dm\, kur d\u003e 1 ir visvairāk

1 Skaists pierādījums tam, ka jebkura ierobežota skaita nepārtrauktu funkciju ar pāriem nesamērīgiem periodiem summa ir neperiodiska, ir ietverts rakstā Skat. arī .

skaitļu m un k lielākais kopējais dalītājs Tad funkcijas k periods ir vienāds ar

un funkcija f=h-g

ir periods mxnTo, kas nav tā galvenā perioda mTQ daudzkārtnis. Tiek iegūta pretruna ar teorēmu 1. Līdz ar to k ir pirmskaitļa vērtība ar m. Tāpat arī skaitļi k un n ir pirmskaitļi. Tādējādi A: ir kopsaņēmums ar m. □

3. teorēma. Ļaujiet m, n un k būt pa pāriem kopirmskaitļiem, un lai T0 ir pozitīvs skaitlis. Tad ir tādas periodiskas funkcijas fug, ka galvenie periodi f, g un (f + g) ir

ir attiecīgi mT$, nTQ un

Pierādījums. Teorēmas pierādījums būs konstruktīvs: mēs vienkārši izveidosim atbilstošo piemēru. Sākotnēji formulēsim šādu rezultātu. Paziņojums, apgalvojums. Lai m ir relatīvi pirmskaitļi. Pēc tam funkcijas

fx - cos- + cos--- un f2= cos- m n m

cos- ir galvenā perioda numurs 2ktp. P

Apgalvojuma pierādījums. Acīmredzot skaitlis 2nm ir abu funkciju periods. Ir viegli pārbaudīt, vai šis periods ir galvenais funkcijai Atradīsim tās maksimālos punktus.

x = 2lM, te Z.

Mums ir = p!. Tā kā tips ir kopīgs, no tā izriet, ka 5 ir /r daudzkārtnis, t.i. i = I e b. Tas nozīmē, ka /x(x) = 2 o x = 2mmn1,1 e 2, un attālums starp funkcijas /\ blakus esošajiem maksimālajiem punktiem ir vienāds ar 2kn, un /1 pozitīvais periods nevar būt mazāks par skaitli 2spn.

Funkcijai f mēs izmantojam cita veida argumentus (kas ir piemēroti arī funkcijai f, bet

mazāk elementāri). Kā parāda 1. teorēma, funkcijas /2 galvenajam periodam Γ ir forma -,

kur k ir kāds naturāls skaitlis, kas atbilst tipam. Skaitlis G būs funkcijas periods

(2 ^ 2 xn g t t /2 + /2 = - -1 cos

kuru visi periodi ir formā 2pp1. Tātad,

2nnl, t.i. m = kl. Tā kā t un k ir savstarpēji

Tātad, no tā izriet, ka k = 1.

Tagad, lai pierādītu 3. teorēmu, mēs varam izveidot vēlamo piemēru. Piemērs. Ļaujiet m, n un k būt pa pāriem pirmskaitļiem un lai vismaz viens no skaitļiem n vai k atšķiras no 1. Tad pf k, un, pamatojoties uz pierādīto funkcijas apgalvojumu

/ (x) \u003d izmaksas --- + izmaksas līdz

Un g(x) = cos-cos - n līdz

ir attiecīgi 2 ltk un 2 tk pamata periodi un to summa

k(x) = f(x) + = cos- + cos-

galvenais periods ir 2 tp.

Ja n = k = 1, tad derēs funkciju pāris

f(x)-2 cos- + COS X un g(x) - COS X. m

To galvenie periodi, kā arī funkcijas k(x) - 2 periods ir attiecīgi 2lm, 2/ri 2tips.

cik viegli to pārbaudīt.

Matemātika

Apzīmēsim T = 2lx. Patvaļīgiem pāru kopskaitļiem mn, n un k funkcijas / un £ ir norādītas tā, lai funkciju /, g un / + g galvenie periodi būtu attiecīgi mT, nT un

Teorēmas nosacījumus izpilda funkcijas / - l;

Funkciju summas periods ar nesalīdzināmiem periodiem

Nākamais apgalvojums ir gandrīz acīmredzams.

4. teorēma. Lai fug ir periodiskas funkcijas ar nesamērojamiem pamatperiodiem T) un T2, un šo funkciju summa h = f + g ir periodiska un ar pamatperiodu T. Tad skaitlis T nav samērojams ne ar T], ne T2.

Pierādījums. No vienas puses, ja skaitļi TnT) ir samērojami, tad funkcijai g = h-f ir periods, kas samērīgs ar r]. No otras puses, saskaņā ar 1. teorēmu jebkurš funkcijas g periods ir T2 daudzkārtnis. Iegūstam pretrunu ar skaitļu T\ un T2 nesamērojamību. Līdzīgi tiek pierādīta arī skaitļu T un T2 nesamērojamība, d

Ievērības cienīgs un pat nedaudz pārsteidzošs ir fakts, ka patiesība ir arī 4. teorēmas otrādi.. Pastāv plaši izplatīts maldīgs uzskats, ka divu periodisku funkciju ar nesamērīgiem periodiem summa nevar būt periodiska funkcija. Patiesībā tas tā nav. Turklāt summas periods var būt jebkurš pozitīvs skaitlis, kas apmierina 4. teorēmas apgalvojumu.

5. teorēma. Lai T\, T2 un T~ ir pa pāriem nesalīdzināmi pozitīvi skaitļi. Tad ir tādas periodiskas funkcijas fug, ka to summa h =/+ g ir periodiska, un funkcijas f guh galvenie periodi ir attiecīgi Th T2 un T.

Pierādījums. Pierādījums atkal būs konstruktīvs. Mūsu konstrukcijas būtībā būs atkarīgas no tā, vai skaitlis T ir vai nav attēlojams kā periodu T1 un T2 racionāla kombinācija T = aT1 + pT2 (a un P ir racionālie skaitļi).

I. T nav racionāla Tr un J2 kombinācija

Pieņemsim, ka A = (mT\ + nT2 + kT\m,n, k e Z) ir veselu skaitļu lineāro skaitļu r1, T2 un T kombināciju kopa. Uzreiz jāatzīmē, ka, ja skaitli var attēlot formā nT\ + nT2 + kT, tad šāds attēlojums ir unikāls . Patiešām, ja mxT\ + n\Tr + k\T - m2Tx + n2T2 + k2T9, tad

(k) - k2)T - (ot2 - m\)T] + (n2 - u)Tb, un attiecībā uz k\ * k2 mēs atklājam, ka T var racionāli izteikt T] un T2 izteiksmē. Tādējādi k\ = k2. Tagad no skaitļu T\ un T2 nesamērojamības tieši iegūst vienādības m\ = m2 un uu = n2.

Svarīgs fakts ir viegli pārbaudāmais fakts, ka kopas A un tās papildinājums A ir slēgtas, saskaitot skaitļus no A: ja x e A un y e A, tad x + y e A; ja x e A un y e A, tad x + y e A.

Pieņemsim, ka visos kopas A punktos funkcijas / un g ir vienādas ar nulli, un kopā A šīs funkcijas definējam šādi:

f(mTi + nT2 + kT) = nT2 + kT g(mT1 + nT2 + kT) - mT1 - kT.

Tā kā, kā parādīts, koeficientus m, periodu r, T2 un r lineārās kombinācijas maksimumu var unikāli atjaunot no skaitļa x ∈ A, dotie funkciju f un g piešķīrumi ir pareizi.

Funkcija h =/ + g uz kopas A ir vienāda ar nulli, un kopas A punktos tā ir vienāda ar

h(mT\ + nT2 + kT) - mT\ + nT2.

Ar tiešo aizstāšanu ir viegli pārbaudīt, vai skaitlis T\ ir funkcijas f periods, skaitlis T2 ir g periods un T~ ir h periods. Parādīsim, ka šie periodi ir pamata.

Pirmkārt, mēs atzīmējam, ka jebkurš funkcijas / periods pieder kopai A. Patiešām,

ja 0 fx A, y e A, tad x + y e A un f(x + y) = 0 * f(x). Tādējādi y e A nav funkcijas / periods

Lai tagad skaitļi \, x2, kas nav vienādi viens ar otru, pieder pie ^ un f (x 1) ~ f (x2). No funkcijas / definīcijas no šejienes iegūstam, ka x\ - x2 = 1T, kur I ir vesels skaitlis, kas nav nulle. Tāpēc jebkurš funkcijas / periods ir T\ daudzkārtnis. Tādējādi Tx patiešām ir galvenais periods /

Apgalvojumi par T2 un T tiek pārbaudīti tādā pašā veidā.

komentēt. Grāmatā par lpp. 172-173 sniedz citu vispārīgu konstrukciju I gadījumam.

II. T ir racionāla T\ un T2 kombinācija.

Atveidosim racionālu periodu T\ un T2 kombināciju formā Γ = - (kxTx + k2T2), kur kx un

k2 ™ ir veseli pirmskaitļi, k(Γ\ + k2T2 > 0, a/? un q ir naturāli skaitļi. Apsveriet, leZ>.

rēnija komplekts B----

Mēs pieņemam, ka visos kopas B punktos funkcijas f un g ir vienādas ar nulli, un kopā B šīs funkcijas definējam šādi:

^ mT\ + nT2 A I

^ mTx + nT2 L

Šeit, kā parasti, [x] un (x) apzīmē attiecīgi skaitļu veselās un daļējās daļas. Funkcija k = / + q kopā B ir vienāda ar nulli, un kopas B punktos tā ir vienāda ar

fmTx + nT: l H

Ar tiešo aizstāšanu ir viegli pārbaudīt, vai skaitlis Tx ir funkcijas / periods, skaitlis T2 ir periods g un T ir periods h. Parādīsim, ka šie periodi ir pamata.

Jebkurš funkcijas / periods pieder kopai B. Patiešām, ja 0 * x e B, y e B, tad f(x) Φ 0, j(x + y) = 0 */(*)■ Tātad, y e B _ Nav darbības periods/

Tādējādi jebkuram funkcijas / periodam ir forma Ty =

Kur 5i un 52 ir veseli skaitļi. Ļaujiet

x \u003d -7] 4 - Г2, x e 5. Ja i \u003d 0, tad / (i) ir racionāls skaitlis. Tagad no skaitļa / (x + 7)) racionalitātes izriet vienādība -I - I - 0. Līdz ar to mums ir vienādība 52 = Xp, kur X ir kāds vesels skaitlis

numuru. Attiecība /(x + 7)) = /(x) iegūst formu

^ P + I + I w +

Šai vienādībai ir jābūt spēkā visiem veselu skaitļu veidiem. Ja m-p ~ 0, (1) labā puse ir

uz nulli. Tā kā daļdaļas nav negatīvas, mēs iegūstam, ka -<0, а при

m \u003d n \u003d q - ] daļdaļu summa vienādības (1) labajā pusē nav mazāka par daļdaļu h-X summu

tas, kas atrodas kreisajā pusē. Tātad ->0. Tādējādi X = 0 un 52 = 0. Tāpēc funkcijas / periodam ir forma

un vienlīdzība (1) kļūst

n\ | un 52 ir veseli skaitļi. No attiecībām

d(0) = 0 = d(GA) =

iegūstam, ka skaitļiem 51 un ^ jābūt p daudzkārtņiem, t.i. dažiem veseliem skaitļiem Ax un A2 mums ir 51 = A\p, E2 = A2p. Tad attiecību (3) var pārrakstīt kā

No vienādības A2kx = k2A\ un skaitļu k\ un k2 kopīguma izriet, ka A2 dalās ar k2. No šejienes

kādam veselam skaitlim t ir spēkā vienādības A2 = k2t un Ax ~ kxt, t.i. Th ~-(kxTx + k2T2).

Parādīts, ka jebkurš funkcijas h periods ir perioda Т = - (к(Гх + к2Т2)9 daudzkārtnis, kas tādējādi

Zom, ir galvenais. □

Nav galvenā perioda

6. teorēma. Lai Tx un T2~ ir patvaļīgi pozitīvi skaitļi. Tad ir tādas periodiskas funkcijas fug, kuru galvenie periodi ir attiecīgi T\ un T2, un to summa h=f+g ir periodiska, bet tai nav galvenā perioda.

Pierādījums. Apskatīsim divus iespējamos gadījumus.

I. Periodi Tx un T2 nav salīdzināmi.

Pieņemsim, ka A = + nT2 +kT\ . Kā minēts iepriekš, ir viegli parādīt, ka, ja numurs

attēlojams formā mTx + nT2 + kT, tad šāds attēlojums ir unikāls.

Pieņemsim, ka visos kopas A punktos funkcijas / un g ir vienādas ar nulli, un kopā A šīs funkcijas definējam šādi:

/no; + nT2 + kT) = nT2 + kT, g(mTx + nT2 + kT) = mTx - kT.

Ir viegli pārbaudīt, vai skaitlis Tx ir funkcijas / galvenais periods, skaitlis T2 ir galvenais periods g, un jebkuram racionālam skaitlim kT ir funkcijas h - f + g periods, kas līdz ar to nav mazākā perioda.

II. Periodi Tx un T2 ir salīdzināmi.

Pieņemsim, ka Tx = mT0, T2 = nT0, kur T0 > O, m un n ir naturāli skaitļi. Ņemsim vērā kopu R = + .

Mēs pieņemam, ka visos kopas B punktos funkcijas fug ir vienādas ar nulli, un kopā B šīs funkcijas definējam šādi:

/((/ + WT0) = W + Jit, g((/ + 4lk)T0) - W - 42k.

Funkcija h ~ / + g kopā B ir vienāda ar nulli, un kopas B punktos tā ir vienāda ar

Ir viegli pārbaudīt, vai skaitlis 7j = mTQ ir funkcijas / galvenais periods, skaitlis T2 ~ nT0 ir galvenais periods g, savukārt starp funkcijas h ~ f + g periodiem ir visi formas skaitļi. l/2kT0, kur k ir patvaļīgs racionāls skaitlis. □

Konstrukcijas, kas pierāda 6. teorēmu, balstās uz funkcijas h~ / + g periodu nesamērojamību ar funkciju / un g periodiem. Noslēgumā mēs sniedzam tādu funkciju fug piemēru, ka visi funkciju /, g un / + g periodi ir samērojami viens ar otru, bet / un g ir pamata periodi, savukārt f + g nav.

Lai m ir kāds fiksēts naturāls skaitlis, M ir nereducējamu neveselu daļskaitļu kopa, kuru skaitītāji ir m daudzkārtņi. Liekam

1 ja xM; viens

ifxe mZ;

EcnuxeZXmZ; 2

O citos gadījumos; 1 ja xeMU

~,ifxe2 2

[Ak citādi.

Ir viegli redzēt, ka funkciju fug galvenie periodi ir attiecīgi vienādi ar m un 1, savukārt summai / + g ir jebkura skaitļa periods formā m/n, kur n ir patvaļīgs naturāls skaitlis, kas vienāds ar m.

Literatūra

1. Matemātiskā enciklopēdiskā vārdnīca / Ch. ed. Yu.V. Prohorovs - M.: Sov. enciklopēdija, 1988.

2. Mikaeljans L.V., Sedrakjans N.M. Par periodisko funkciju summas periodiskumu// Matemātiskā izglītība. - 2000. - Nr.2 (13). - S. 29-33.

3. Gerenšteins A.V., Evnins A.Ju. Par periodisko funkciju summu// Matemātika skolā. -2002. - Nr.1. - S. 68-72.

4. Ivlev B.M. uc Algebras uzdevumu apkopojums un analīzes principi 9 un 10 šūnām. - M.: Apgaismība, 1978. gads.

Atkārtojot tās vērtības ar kādu regulāru argumenta intervālu, tas ir, nemainot tā vērtību, ja argumentam tiek pievienots fiksēts skaitlis, kas nav nulle ( periodā funkcijas) visā definīcijas jomā.

Formālāk tiek teikts, ka funkcija ir periodiska ar punktu T ≠ 0 (\displaystyle T\neq 0), ja par katru punktu x (\displaystyle x) no tā punkta definīcijas apgabala x + T (\displaystyle x+T) un x − T (\displaystyle x-T) arī pieder tās definīcijas jomai, un viņiem vienlīdzība f (x) = f (x + T) = f (x − T) (\displeja stils f(x)=f(x+T)=f(x-T)).

Pamatojoties uz definīciju, vienlīdzība attiecas arī uz periodisku funkciju f (x) = f (x + n T) (\displeja stils f(x)=f(x+nT)), kur n (\displaystyle n)- jebkurš vesels skaitlis.

Tomēr, ja periodu kopums ( T , T > 0 , T ∈ R ) (\displaystyle \(T,T>0,T\in \mathbb (R) \)) ir mazākā vērtība, to sauc galvenais (vai galvenais) periods funkcijas.

Piemēri

Sin ⁡ (x + 2 π) = sin ⁡ x , cos ⁡ (x + 2 π) = cos ⁡ x , ∀ x ∈ R . (\displaystyle \sin(x+2\pi)=\sin x,\;\cos(x+2\pi)=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb (R) .)

• Dirihleta funkcija ir periodiska; tās periods ir jebkurš racionāls skaitlis, kas nav nulle. Tam arī nav galvenā perioda.

Dažas periodisko funkciju iezīmes

un T 2 (\displaystyle T_(2))(Tomēr šis skaitlis būs vienkārši punkts). Piemēram, funkcija f (x) = sin ⁡ (2 x) − sin ⁡ (3 x) (\displaystyle f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)) galvenais periods ir 2 π (\displaystyle 2\pi ), pasākumā g (x) = sin ⁡ (3 x) (\displaystyle g(x)=\sin(3x)) periods ir 2 π / 3 (\displaystyle 2\pi /3), un to summa f (x) + g (x) = sin ⁡ (2 x) (\displaystyle f(x)+g(x)=\sin(2x)) galvenais periods acīmredzami ir vienāds ar π (\displaystyle \pi ).

• Divu funkciju ar nesalīdzināmiem periodiem summa ne vienmēr ir neperiodiska funkcija.

Arguments x, tad to sauc par periodisku, ja ir tāds skaitlis T, ka jebkuram x F(x + T) = F(x). Šo skaitli T sauc par funkcijas periodu.

Var būt vairāki periodi. Piemēram, funkcijai F = const jebkurai argumenta vērtībai ir vienāda vērtība, un tāpēc jebkuru skaitli var uzskatīt par tā periodu.

Parasti interesē funkcijas mazākais periods, kas atšķiras no nulles. Īsuma labad to vienkārši sauc par punktu.

Klasisks periodisko funkciju piemērs ir trigonometriskais: sinuss, kosinuss un tangenss. To periods ir vienāds un vienāds ar 2π, tas ir, sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) un tā tālāk. Tomēr, protams, trigonometriskās funkcijas nav vienīgās periodiskās funkcijas.

Attiecībā uz vienkāršām pamatfunkcijām vienīgais veids, kā noteikt to periodiskumu vai neperioditāti, ir aprēķini. Bet sarežģītām funkcijām jau ir daži vienkārši noteikumi.

Ja F(x) ir ar periodu T un tam ir definēts atvasinājums, tad šis atvasinājums f(x) = F′(x) ir arī periodiska funkcija ar periodu T. Galu galā atvasinājuma vērtība pie perioda T. punkts x ir vienāds ar tā antiatvasinājuma grafika tangensu šajā punktā x asij, un, tā kā antiatvasinājums periodiski atkārtojas, arī atvasinājums ir jāatkārto. Piemēram, funkcijas sin(x) atvasinājums ir cos(x), un tas ir periodisks. Ņemot cos(x) atvasinājumu, tiek iegūts -sin(x). Periodiskums paliek nemainīgs.

Tomēr ne vienmēr ir taisnība. Tādējādi funkcija f(x) = const ir periodiska, bet tās antiatvasinājums F(x) = const*x + C nav.

Ja F(x) ir periodiska funkcija ar periodu T, tad G(x) = a*F(kx + b), kur a, b un k ir konstantes un k nav vienāds ar nulli - arī periodiska funkcija, un tā periods ir vienāds ar T/k. Piemēram, sin(2x) ir periodiska funkcija, un tās periods ir π. Vizuāli to var attēlot šādi: reizinot x ar kādu skaitli, jūs, šķiet, saspiežat funkcijas grafiku horizontāli tieši tik reižu

Ja F1(x) un F2(x) ir periodiskas funkcijas, un to periodi ir attiecīgi vienādi ar T1 un T2, tad arī šo funkciju summa var būt periodiska. Tomēr tā periods nebūs vienkārša periodu T1 un T2 summa. Ja dalīšanas T1/T2 rezultāts ir racionāls skaitlis, tad funkciju summa ir periodiska, un tās periods ir vienāds ar periodu T1 un T2 mazāko kopējo daudzkārtni (LCM). Piemēram, ja pirmās funkcijas periods ir 12, bet otrās periods ir 15, tad to summas periods būs LCM (12, 15) = 60.

To var vizualizēt šādi: funkcijas nāk ar dažādiem “soļu platumiem”, bet, ja to platumu attiecība ir racionāla, tad agri vai vēlu (vai drīzāk caur soļu LCM) tās atkal kļūs vienādas un to summa sāks jaunu periodu.

Taču, ja periodu attiecība ir neracionāla, tad kopējā funkcija nemaz nebūs periodiska. Piemēram, pieņemsim, ka F1(x) = x mod 2 (x atlikums dalīts ar 2) un F2(x) = sin(x). T1 šeit būs vienāds ar 2, un T2 ir vienāds ar 2π. Periodu attiecība ir vienāda ar π - iracionāls skaitlis. Tāpēc funkcija sin(x) + x mod 2 nav periodiska.