Bir özelliğin ortalama değeri bir istatistik formülüdür. Moskova Devlet Baskı Sanatları Üniversitesi

İstatistiksel toplam birimlerinin işaretleri anlamlarında farklıdır, örneğin, bir işletmenin bir mesleğinin işçilerinin ücretleri aynı süre için aynı değildir, aynı ürünler için piyasa fiyatları farklıdır, çiftliklerde mahsul verimi bölgenin vb. Bu nedenle, incelenen tüm birim popülasyonunun bir özelliğinin değerini belirlemek için ortalama değerler hesaplanır.
ortalama değer – bazı nicel özelliklerin bireysel değerlerinin genelleştirici bir özelliğidir.

Nicel bir nitelik tarafından incelenen popülasyon, bireysel değerlerden oluşur; olarak etkilenirler yaygın sebepler ve bireysel koşullar. Ortalama değerde, bireysel değerlerin karakteristik sapmaları iptal edilir. Bir dizi bireysel değerin bir fonksiyonu olan ortalama, tüm seti tek bir değerle temsil eder ve tüm birimlerinde var olan ortak şeyi yansıtır.

Niteliksel olarak homojen birimlerden oluşan popülasyonlar için hesaplanan ortalamaya denir. tipik ortalama. Örneğin, bir veya başka bir meslek grubunun (madenci, doktor, kütüphaneci) bir çalışanının ortalama aylık maaşını hesaplayabilirsiniz. Elbette madencilerin aylık ücret düzeyleri, nitelikleri, hizmet süreleri, aylık çalışılan saat sayısı ve diğer birçok faktördeki farklılık nedeniyle birbirinden ve ortalama ücret düzeyinden farklılık göstermektedir. Ancak ortalama seviye, ücret seviyesini etkileyen ana faktörleri yansıtır ve çalışanın bireysel özelliklerinden kaynaklanan farklılıkları karşılıklı olarak dengeler. Ortalama ücret, bu tür bir işçi için tipik ücret düzeyini yansıtır. Tipik bir ortalamanın elde edilmesinden önce, bu popülasyonun niteliksel olarak nasıl homojen olduğunun bir analizi yapılmalıdır. Popülasyon ayrı bölümlerden oluşuyorsa, tipik gruplara ayrılmalıdır (hastanedeki ortalama sıcaklık).

Heterojen popülasyonlar için karakteristik olarak kullanılan ortalama değerlere denir. sistem ortalamaları. Örneğin, kişi başına düşen ortalama gayri safi yurtiçi hasıla (GSYİH) değeri, çeşitli mal gruplarının kişi başına ortalama tüketimi ve benzeri diğer değerler, tek bir ekonomik sistem olarak devletin genel özelliklerini temsil eder.

Yeterince fazla sayıda birimden oluşan popülasyonlar için ortalama hesaplanmalıdır. Bu koşula uygunluk, büyük sayılar yasasının yürürlüğe girmesi için gereklidir, bunun sonucunda bireysel değerlerin genel eğilimden rastgele sapmaları birbirini iptal eder.

Ortalama türleri ve bunları hesaplama yöntemleri

Ortalama türünün seçimi, belirli bir göstergenin ekonomik içeriği ve ilk veriler tarafından belirlenir. Bununla birlikte, herhangi bir ortalama değer, ortalaması alınan özelliğin her bir varyantını değiştirdiğinde, nihai, genelleme veya genel olarak adlandırıldığı gibi değişmeyecek şekilde hesaplanmalıdır. belirleyici gösterge, ortalama ile ilgilidir. Örneğin, yolun ayrı bölümlerindeki gerçek hızları değiştirirken, ortalama hızları kat edilen toplam mesafeyi değiştirmemelidir. araç aynı zamanda; işletmenin bireysel çalışanlarının fiili ücretlerini ortalama ücretle değiştirirken, ücret fonu değişmemelidir. Sonuç olarak, her özel durumda, mevcut verilerin doğasına bağlı olarak, incelenen sosyo-ekonomik olgunun özelliklerine ve özüne uygun göstergenin yalnızca bir gerçek ortalama değeri vardır.
En yaygın olarak kullanılanlar aritmetik ortalama, harmonik ortalama, geometrik ortalama, ortalama kare ve ortalama kübiktir.
Listelenen ortalamalar sınıfa aittir güç ortalama ve genel formülle birleştirilir:
,
incelenen özelliğin ortalama değeri nerede;
m, ortalamanın üssüdür;
– ortalama özelliğin mevcut değeri (varyant);
n, özelliklerin sayısıdır.
m üssünün değerine bağlı olarak, aşağıdaki türler güç ortalamaları:
m = -1'de – ortalama harmonik ;
m = 0 – geometrik ortalamada;
m = 1'de - aritmetik ortalama;
m = 2'de – kök ortalama kare ;
m = 3 - ortalama kübik.
Aynı girdi verilerini kullanırken, yukarıdaki formülde m üssü ne kadar büyükse, daha fazla değer orta boy:
.
Kuvvet yasasının bu özelliğine, tanımlayıcı fonksiyonun üssündeki bir artışla artma anlamına gelir. araçların majör kuralı.
İşaretli ortalamaların her biri iki şekilde olabilir: basit ve ağırlıklı.
basit biçim orta ortalama, birincil (gruplandırılmamış) veriler üzerinde hesaplandığında geçerlidir. ağırlıklı form– ikincil (gruplandırılmış) veriler için ortalama hesaplanırken.

Aritmetik ortalama

Aritmetik ortalama, popülasyonun hacmi, değişen özelliğin tüm bireysel değerlerinin toplamı olduğunda kullanılır. Ortalama türü belirtilmezse, aritmetik ortalamanın varsayıldığına dikkat edilmelidir. Mantıksal formülü şudur:

basit aritmetik ortalama hesaplanmış gruplandırılmamış verilere göre formüle göre:
veya ,
özelliğin bireysel değerleri nerede;
j, değeri ile karakterize edilen gözlem biriminin seri numarasıdır;
N, gözlem birimlerinin sayısıdır (set boyutu).
Misal.“İstatistiksel verilerin özeti ve gruplandırılması” dersinde, 10 kişilik bir ekibin iş deneyiminin gözlemlenmesinin sonuçları değerlendirildi. Tugay çalışanlarının ortalama iş deneyimini hesaplayın. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

Aritmetik ortalamanın formülüne göre basit, bir de hesaplar kronolojik ortalamalar, karakteristik değerlerin sunulduğu zaman aralıkları eşitse.
Misal.İlk çeyrekte satılan ürün hacmi 47 den olarak gerçekleşti. ikinci 54 birim, üçüncü 65 birim ve dördüncü 58 den. birimler Ortalama üç aylık ciro (47+54+65+58)/4 = 56 den. birimler
Kronolojik seride anlık göstergeler verilirse, ortalama hesaplanırken, dönemin başında ve sonunda değerlerin yarı toplamları ile değiştirilir.
İkiden fazla an varsa ve aralarındaki aralıklar eşitse, ortalama kronolojik formül kullanılarak ortalama hesaplanır.

,
n zaman noktalarının sayısıdır
Veriler öznitelik değerlerine göre gruplandırıldığında (yani, ayrık bir varyasyon dağılım serisi oluşturulur) ağırlıklı aritmetik ortalama(k) sayısı önemli ölçüde olan özelliğin belirli değerlerinin frekansları veya gözlem frekansları kullanılarak hesaplanır. sayıdan az gözlemler (N) .
,
,
burada k, varyasyon serisinin grup sayısıdır,
i, varyasyon serisinin grup numarasıdır.
, and 'dan beri, pratik hesaplamalar için kullanılan formülleri elde ederiz:
ve
Misal. Gruplandırılmış seriler için çalışan ekiplerin ortalama hizmet sürelerini hesaplayalım.
a) frekansları kullanarak:

b) frekansları kullanarak:

Veriler aralıklara göre gruplandırıldığında , yani aralık dağılım serisi şeklinde sunulur; aritmetik ortalama hesaplanırken, aralığın ortası, bu aralıktaki popülasyon birimlerinin düzgün bir dağılımı varsayımına dayanarak özelliğin değeri olarak alınır. Hesaplama aşağıdaki formüllere göre yapılır:
ve
aralığın ortası nerede: ,
aralıkların alt ve üst sınırları nerede ve nerededir (şu şartla ki) üst sınır Bu aralığın değeri, bir sonraki aralığın alt sınırı ile çakışır).

Misal. 30 işçinin yıllık ücretlerine ilişkin bir çalışmanın sonuçlarından oluşturulan aralıklı varyasyon serilerinin aritmetik ortalamasını hesaplayalım ("İstatistiksel verilerin özeti ve gruplandırılması" dersine bakın).
Tablo 1 - Aralıklı varyasyon dağılımı serisi.

Aralıklar, UAH	Frekans, kişi.	Sıklık,	Aralığın ortası
600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200	3 6 8 9 3 1	0,10 0,20 0,267 0,30 0,10 0,033	(600+700):2=650 (700+800):2=750 850 950 1050 1150	1950 4500 6800 8550 3150 1150	65 150 226,95 285 105 37,95

UAH veya UAH
İlk veriler ve aralık varyasyon serileri temelinde hesaplanan aritmetik ortalamalar, öznitelik değerlerinin aralıklar içindeki eşit olmayan dağılımı nedeniyle çakışmayabilir. Bu durumda aritmetik ağırlıklı ortalamanın daha doğru hesaplanması için aralıkların ortası değil, her grup için hesaplanan basit aritmetik ortalamalar kullanılmalıdır ( grup ortalamaları). Ağırlıklı bir hesaplama formülü kullanılarak grup ortalamalarından hesaplanan ortalamaya denir. genel ortalama.
Aritmetik ortalamanın bir takım özellikleri vardır.
1. Varyantın ortalamadan sapmalarının toplamı sıfırdır:
.
2. Seçeneğin tüm değerleri A değeri kadar artar veya azalırsa, ortalama değer aynı A değeri kadar artar veya azalır:

3. Her seçenek B kat artırılır veya azaltılırsa, ortalama değer de aynı sayıda artar veya azalır:
veya
4. Varyantın ürünlerinin frekanslara göre toplamı, frekansların toplamına göre ortalama değerin ürününe eşittir:

5. Tüm frekanslar herhangi bir sayıya bölünür veya çarpılırsa, aritmetik ortalama değişmez:

6) tüm aralıklarda frekanslar birbirine eşitse, aritmetik ağırlıklı ortalama, basit aritmetik ortalamaya eşittir:
,
burada k, varyasyon serisindeki grup sayısıdır.

Ortalamanın özelliklerini kullanmak, hesaplamasını basitleştirmenizi sağlar.
Tüm seçeneklerin (x) önce aynı A sayısına, sonra da B faktörüne indirgendiğini varsayalım. En büyük sadeleştirme, en yüksek frekansa sahip aralığın orta değeri A ve aralığın değeri B (eşit aralıklı satırlar için) seçildiğinde elde edilir. A miktarına orijin denir, dolayısıyla bu ortalamayı hesaplama yöntemine denir. yol b koşullu sıfırdan ohm referansı veya anların yolu.
Böyle bir dönüşümden sonra, varyantları eşit olan yeni bir varyasyon dağılım serisi elde ederiz. Onların aritmetik ortalamaları, ilk sipariş anı, formül ile ifade edilir ve ikinci ve üçüncü özelliklere göre, aritmetik ortalama, orijinal versiyonun ortalamasına eşittir, önce A, sonra B çarpı, yani .
Almak gerçek ortalama(orijinal satırın ortasında) ilk sıranın anını B ile çarpmanız ve A eklemeniz gerekir:

Moment yöntemiyle aritmetik ortalamanın hesaplanması Tablodaki verilerle gösterilmektedir. 2.
Tablo 2 - İşletme mağazası çalışanlarının hizmet süresine göre dağılımı

İş deneyimi, yıllar	işçi miktarı	Aralık orta noktası
0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30	12 16 23 28 17 14	2,5 7,5 12,7 17,5 22,5 27,5	15 -10 -5 0 5 10	3 -2 -1 0 1 2	36 -32 -23 0 17 28

İlk siparişin anını bulma . Ardından, A = 17.5 ve B = 5 olduğunu bilerek, mağaza çalışanlarının ortalama iş deneyimini hesaplıyoruz:
yıllar

ortalama harmonik
Yukarıda gösterildiği gibi, aritmetik ortalama, bir özelliğin x varyantlarının ve f frekanslarının bilindiği durumlarda bir özelliğin ortalama değerini hesaplamak için kullanılır.
İstatistiksel bilgiler, popülasyonun bireysel x seçenekleri için f frekanslarını içermiyor, ancak bunların çarpımı olarak sunuluyorsa, formül uygulanır. ortalama harmonik ağırlıklı. Ortalamayı hesaplamak için, nereden olduğunu belirtin. Bu ifadeleri ağırlıklı aritmetik ortalama formülüyle değiştirerek, ağırlıklı harmonik ortalama formülünü elde ederiz:
,
i sayısı (i=1,2, …, k) aralığındaki gösterge öznitelik değerlerinin hacmi (ağırlığı) nerededir.

Bu nedenle, harmonik ortalama, toplamaya tabi olan seçeneklerin kendilerinin değil, karşılıklılarının olduğu durumlarda kullanılır: .
Her seçeneğin ağırlığının bire eşit olduğu durumlarda, yani. Ters özelliğin bireysel değerleri bir kez oluşur, uygulanır basit harmonik ortalama:
,
bir kez meydana gelen ters özelliğin bireysel varyantları nerede;
N, seçeneklerin sayısıdır.
Popülasyonun iki bölümü için ve sayısı ile harmonik ortalamalar varsa, tüm popülasyon için toplam ortalama aşağıdaki formülle hesaplanır:

ve aradı grup ortalamalarının ağırlıklı harmonik ortalaması.

Misal. Döviz ticaretinin ilk saatinde üç anlaşma yapıldı. Grivnası satış miktarı ve ABD doları karşısındaki Grivnası kuruna ilişkin veriler Tablo'da verilmiştir. 3 (sütun 2 ve 3). Tanımlamak ortalama oran Ticaretin ilk saatinde ABD doları karşısında Grivnası.
Tablo 3 - Döviz ticaretinin seyrine ilişkin veriler

Ortalama dolar kuru, tüm işlemler sırasında satılan Grivnası miktarının aynı işlemler sonucunda elde edilen dolar miktarına oranı ile belirlenir. Grivnası satışının toplam tutarı tablonun 2. sütunundan bilinir ve her işlemde satın alınan dolar tutarı, Grivnası satış tutarının döviz kuruna bölünmesiyle belirlenir (4. sütun). Üç işlem sırasında toplam 22 milyon dolar satın alındı. Bu, bir dolar için ortalama Grivnası döviz kurunun
.
Ortaya çıkan değer gerçektir, çünkü işlemlerde fiili Grivnası döviz kurlarını ikame etmesi, Grivnasının toplam satış tutarını değiştirmeyecektir. belirleyici gösterge: milyon UAH
Hesaplama için aritmetik ortalama kullanılmışsa, yani. Grivnası, ardından döviz kuru üzerinden 22 milyon dolarlık alım yapacak. 110.66 milyon UAH harcanması gerekecek, bu doğru değil.

geometrik ortalama
Geometrik ortalama, fenomenlerin dinamiklerini analiz etmek için kullanılır ve ortalama büyüme oranını belirlemenizi sağlar. Geometrik ortalamayı hesaplarken, özelliğin bireysel değerleri, her seviyenin bir öncekine oranı olarak zincir değerleri şeklinde oluşturulmuş göreceli dinamik göstergeleridir.
Geometrik basit ortalama şu formülle hesaplanır:
,
ürünün işareti nerede,
N, ortalama değerlerin sayısıdır.
Misal. 4 yıl boyunca kayıtlı suç sayısı, 1. - 1.08 kat, 2. - 1.1 kat, 3. - 1.18 ve 4. - 1.12 kat olmak üzere 1.57 kat arttı. O halde suç sayısının yıllık ortalama büyüme oranı: , yani. Kayıtlı suçların sayısı yıllık ortalama %12 arttı.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

Ağırlıklı ortalama kareyi hesaplamak için tabloyu belirleyip giriyoruz. Daha sonra, belirli bir normdan ürünlerin uzunluğunun ortalama sapma değeri şuna eşittir:

Bu durumda aritmetik ortalama uygun olmaz, çünkü sonuç olarak, sıfır sapma elde ederiz.
Kök ortalama karesinin kullanımı daha sonra varyasyon üslerinde tartışılacaktır.

Bu terimin başka anlamları vardır, ortalama anlama bakın.

Ortalama(matematik ve istatistikte) sayı kümeleri - sayılarına bölünen tüm sayıların toplamı. En yaygın merkezi eğilim ölçülerinden biridir.

Pisagorcular tarafından (geometrik ortalama ve harmonik ortalama ile birlikte) önerildi.

Aritmetik ortalamanın özel durumları, (genel popülasyonun) ortalaması ve (örneklerin) örnek ortalamasıdır.

Tanıtım

Veri kümesini belirtin X = (x 1 , x 2 , …, x n), sonra örnek ortalama genellikle (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) değişkeni üzerinde yatay bir çubukla gösterilir, " x tire ile").

Yunan harfi μ, tüm popülasyonun aritmetik ortalamasını belirtmek için kullanılır. Ortalama bir değerin tanımlandığı rastgele bir değişken için μ, olasılık ortalaması veya rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi. eğer küme X olasılık ortalaması μ olan rastgele sayıların bir koleksiyonudur, daha sonra herhangi bir örnek için x ben bu koleksiyondan μ = E( x ben) bu örneğin beklentisidir.

Pratikte, μ ve x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) arasındaki fark, μ'nin tipik bir değişken olmasıdır, çünkü popülasyonun tamamından ziyade örneği görebilirsiniz. Bu nedenle, örnek rastgele temsil edilirse (olasılık teorisi açısından), o zaman x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (ama μ değil), örnek üzerinde bir olasılık dağılımına sahip rastgele bir değişken olarak ele alınabilir ( ortalamanın olasılık dağılımı).

Bu miktarların her ikisi de aynı şekilde hesaplanır:

X ¯ = 1 n ∑ ben = 1 n x ben = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)))

Eğer bir X rastgele bir değişken ise matematiksel beklenti X miktarın tekrarlı ölçümlerinde değerlerin aritmetik ortalaması olarak kabul edilebilir. X. Bu, büyük sayılar yasasının bir tezahürüdür. Bu nedenle, örnek ortalama, bilinmeyen matematiksel beklentiyi tahmin etmek için kullanılır.

Temel cebirde, ortalamanın olduğu kanıtlanmıştır. n+ 1 sayı ortalamanın üzerinde n sayılar, yalnızca yeni sayı eski ortalamadan büyükse ve yalnızca yeni sayı ortalamadan küçükse ve yalnızca yeni sayı ortalamaya eşitse değişmezse, sayılar. Daha fazla n, yeni ve eski ortalamalar arasındaki fark ne kadar küçükse.

Kuvvet yasası ortalaması, Kolmogorov ortalaması, harmonik ortalama, aritmetik-geometrik ortalama ve çeşitli ağırlıklı araçlar (örneğin, aritmetik ağırlıklı ortalama, geometrik ağırlıklı ortalama, harmonik ağırlıklı ortalama) dahil olmak üzere birkaç başka "araç" bulunduğunu unutmayın. .

Örnekler

• Üç sayı için bunları toplamanız ve 3'e bölmeniz gerekir:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• Dört sayı için bunları toplamanız ve 4'e bölmeniz gerekir:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Veya daha kolay 5+5=10, 10:2. Çünkü 2 sayı ekledik, yani kaç sayı toplarsak o kadarına böleriz.

Sürekli rastgele değişken

Sürekli olarak dağıtılmış bir f (x) (\displaystyle f(x)) değeri için [ a ; b ] (\displaystyle ) belirli bir integral ile tanımlanır:

F (x) ¯ [ bir ; b ] = 1 b − bir ∫ bir b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Ortalamayı kullanmanın bazı sorunları

Sağlamlık eksikliği

Ana makale: İstatistikte sağlamlık

Aritmetik ortalama genellikle ortalama veya merkezi eğilimler olarak kullanılsa da, bu kavram sağlam istatistikler için geçerli değildir, bu da aritmetik ortalamanın "büyük sapmalardan" büyük ölçüde etkilendiği anlamına gelir. Büyük bir çarpıklığa sahip dağılımlar için, aritmetik ortalamanın "ortalama" kavramına karşılık gelmeyebileceği ve sağlam istatistiklerden (örneğin medyan) ortalamanın değerlerinin merkezi eğilimi daha iyi tanımlayabileceği dikkat çekicidir.

Klasik örnek, ortalama gelirin hesaplanmasıdır. Aritmetik ortalama, medyan olarak yanlış yorumlanabilir, bu da gerçekte olduğundan daha fazla gelire sahip daha fazla insan olduğu sonucuna yol açabilir. "Ortalama" gelir, çoğu insanın geliri bu sayıya yakın olacak şekilde yorumlanır. Bu "ortalama" (aritmetik ortalama anlamında) gelir, çoğu insanın gelirinden daha yüksektir, çünkü ortalamadan büyük bir sapma ile yüksek bir gelir, aritmetik ortalamayı güçlü bir şekilde çarpıtır (aksine, medyan gelir "direnir"). böyle bir sapma). Bununla birlikte, bu "ortalama" gelir, medyan gelire yakın kişi sayısı hakkında hiçbir şey söylemez (ve modsal gelire yakın kişi sayısı hakkında hiçbir şey söylemez). Bununla birlikte, "ortalama" ve "çoğunluk" kavramları hafife alınırsa, çoğu insanın gerçekte olduğundan daha yüksek gelire sahip olduğu yanlış bir sonuca varılabilir. Örneğin, Washington, Medine'deki sakinlerin tüm yıllık net gelirlerinin aritmetik ortalaması olarak hesaplanan "ortalama" net gelir hakkında bir rapor, Bill Gates nedeniyle şaşırtıcı derecede yüksek bir rakam verecektir. Örneği düşünün (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetik ortalama 3.17'dir, ancak altı değerden beşi bu ortalamanın altındadır.

Bileşik faiz

Ana makale: yatırım getirisi

eğer sayılar çarpmak, Ama değil katlamak, aritmetik ortalamayı değil geometrik ortalamayı kullanmanız gerekir. Çoğu zaman, bu olay finanstaki yatırım getirisini hesaplarken olur.

Örneğin, hisse senetleri ilk yıl %10 düştü ve ikinci yıl %30 arttıysa, bu iki yıldaki "ortalama" artışı aritmetik ortalama (−%10 + %30) / 2 olarak hesaplamak yanlış olur. = %10; bu durumda doğru ortalama, yıllık büyümenin yalnızca yaklaşık % 8.16653826392 ≈ %8.2 olduğu bileşik yıllık büyüme oranı ile verilmektedir.

Bunun nedeni, yüzdelerin her seferinde yeni bir başlangıç ​​noktasına sahip olmasıdır: %30, %30'dur. ilk yılın başındaki fiyattan daha az bir sayıdan: hisse senedi 30 dolardan başlayıp %10 düştüyse, ikinci yılın başında 27 dolar değerindedir. Hisse senedi %30 artarsa, ikinci yılın sonunda 35,1 dolar değerindedir. Bu büyümenin aritmetik ortalaması %10'dur, ancak hisse senedi 2 yılda yalnızca 5,1 dolar büyüdüğü için, ortalama %8,2'lik bir artış, 35.1 dolarlık nihai bir sonuç verir:

[30$ (1 - 0.1) (1 + 0.3) = 30$ (1 + 0.082) (1 + 0.082) = 35,1$]. Aynı şekilde %10'luk aritmetik ortalamayı kullanırsak, gerçek değeri elde edemeyiz: [30$ (1 + 0.1) (1 + 0.1) = 36,3$].

2. yılın sonunda bileşik faiz: %90 * %130 = %117 , yani toplam %17 artış ve ortalama yıllık bileşik faiz %117 ≈ %108,2 (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \yaklaşık %108.2\%), yani yıllık ortalama %8.2 artış.

Talimatlar

Ana makale: Hedef istatistikleri

Döngüsel olarak değişen bazı değişkenlerin (örneğin faz veya açı) aritmetik ortalamasını hesaplarken özel dikkat gösterilmelidir. Örneğin, 1° ve 359°'nin ortalaması 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180° olur. Bu sayı iki nedenden dolayı yanlıştır.

• İlk olarak, açısal ölçüler yalnızca 0° ila 360° (veya radyan cinsinden ölçüldüğünde 0 ila 2π) aralığı için tanımlanır. Böylece, aynı sayı çifti (1° ve -1°) veya (1° ve 719°) olarak yazılabilir. Her çiftin ortalamaları farklı olacaktır: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
• İkinci olarak, bu durumda, sayılar 0°'den diğer herhangi bir değerden daha az saptığından (0° değeri en küçük varyansa sahiptir) 0° (360°'ye eşdeğer) değeri geometrik olarak en iyi ortalama olacaktır. Karşılaştırmak:
  • 1° sayısı 0°'den yalnızca 1° sapar;
  • 1° sayısı hesaplanan 180° ortalamasından 179° sapar.

Döngüsel bir değişkenin yukarıdaki formüle göre hesaplanan ortalama değeri, gerçek ortalamaya göre yapay olarak sayısal aralığın ortasına kaydırılacaktır. Bu nedenle ortalama farklı bir şekilde hesaplanır, yani ortalama değer olarak en küçük varyansa (merkez nokta) sahip sayı seçilir. Ayrıca, çıkarma yerine modulo mesafesi (yani çevresel mesafe) kullanılır. Örneğin, 1° ile 359° arasındaki modüler mesafe 358° değil 2°'dir (359° ile 360° arasındaki bir daire üzerinde==0° - bir derece, 0° ile 1° arasında - ayrıca toplamda 1° - 2 °).

Ortalama değer türleri ve hesaplama yöntemleri

İstatistiksel işleme aşamasında, çözümü için uygun ortalamayı seçmenin gerekli olduğu çeşitli araştırma görevleri belirlenebilir. Bunu yaparken, takip etmek gerekir sonraki kural: Ortalamanın payını ve paydasını temsil eden değerler mantıksal olarak birbiriyle ilişkili olmalıdır.

• güç ortalamaları;
• yapısal ortalamalar.

Aşağıdaki gösterimi tanıtalım:

Ortalaması hesaplanan değerler;

Yukarıdaki satırın bireysel değerlerin ortalamasının alındığını gösterdiği ortalama;

Sıklık (bireysel özellik değerlerinin tekrarlanabilirliği).

Çeşitli ortalamalar elde edilir Genel formül güç anlamı:

(5.1)

k = 1 için - aritmetik ortalama; k = -1 - harmonik ortalama; k = 0 - geometrik ortalama; k = -2 - kök ortalama kare.

Ortalamalar basit veya ağırlıklıdır. ağırlıklı ortalamalarözniteliğe ait değerlerin bazı varyantlarının farklı sayılara sahip olabileceğini ve bu nedenle her varyantın bu sayı ile çarpılması gerektiğini dikkate alan nicelikler denir. Başka bir deyişle, "ağırlıklar", popülasyondaki birim sayısıdır. farklı gruplar, yani her seçenek frekansına göre "ağırlıklıdır". Frekans f denir istatistiksel ağırlık veya ağırlık ortalaması.

Aritmetik ortalama- en yaygın ortam türü. Ortalama toplamı almak istediğiniz gruplanmamış istatistiksel veriler üzerinde hesaplama yapıldığında kullanılır. Aritmetik ortalama, alındığında özelliğin popülasyondaki toplam hacminin değişmeden kaldığı bir özelliğin böyle bir ortalama değeridir.

Aritmetik ortalama formülü ( basit) formu var

burada n nüfus büyüklüğüdür.

Örneğin, bir işletmenin çalışanlarının ortalama maaşı, aritmetik ortalama olarak hesaplanır:

Burada belirleyici olan göstergeler her bir çalışanın ücreti ve işletmenin çalışan sayısıdır. Ortalamayı hesaplarken, toplam ücret miktarı aynı kaldı, ancak sanki tüm işçiler arasında eşit olarak dağıtıldı. Örneğin, 8 kişinin çalıştığı küçük bir şirketin çalışanlarının ortalama maaşını hesaplamak gerekir:

Ortalamalar hesaplanırken, ortalaması alınan özelliğin bireysel değerleri tekrarlanabilir, bu nedenle ortalama, gruplandırılmış veriler kullanılarak hesaplanır. Bu durumda Konuşuyoruz kullanma hakkında aritmetik ortalama ağırlıklı, neye benziyor

(5.3)

Dolayısıyla bir anonim şirketin borsadaki ortalama hisse fiyatını hesaplamamız gerekiyor. İşlemlerin 5 gün (5 işlem) içerisinde gerçekleştiği biliniyor, satış oranından satılan hisse adedi aşağıdaki gibi dağıtıldı:

1 - 800 ac. - 1010 ruble

2 - 650 ac. - 990 ovmak.

3-700 ak. - 1015 ruble.

4 - 550 ac. - 900 ovmak.

5 - 850 bin. - 1150 ruble.

Ortalama hisse fiyatını belirlemek için ilk oran, toplam işlem tutarının (TCA) satılan hisse sayısına (KPA) oranıdır:

ÖSS = 1010 800+990 650+1015 700+900 550+1150 850= 3 634 500;

EBM = 800+650+700+550+850=3550.

Bu durumda, ortalama hisse fiyatı şuna eşitti:

Hem kullanımı hem de hesabı için çok önemli olan aritmetik ortalamanın özelliklerini bilmek gerekir. İstatistiksel ve ekonomik hesaplamalarda aritmetik ortalamanın yaygın olarak kullanılmasına en çok yol açan üç ana özellik vardır.

Mülk bir (sıfır): Bir özelliğin bireysel değerlerinin ortalama değerinden pozitif sapmalarının toplamı, negatif sapmaların toplamına eşittir. Bu çok önemli bir özelliktir, çünkü rastgele nedenlerden kaynaklanan sapmaların (hem + hem de - ile) karşılıklı olarak iptal edileceğini gösterir.

Kanıt:

Özellik iki (asgari): Özelliğin bireysel değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmalarının karelerinin toplamı, diğer herhangi bir sayıdan (a) daha azdır, yani. minimum sayıdır.

Kanıt.

a değişkeninden sapmaların karelerinin toplamını oluşturun:

(5.4)

Bu fonksiyonun ekstremumunu bulmak için türevini a'ya göre sıfıra eşitlemek gerekir:

Buradan şunu elde ederiz:

(5.5)

Bu nedenle, sapmaların karelerinin toplamının uç noktasına 'da ulaşılır. Bu ekstremum minimumdur, çünkü fonksiyonun bir maksimumu olamaz.

Özellik üç: bir sabitin aritmetik ortalaması şu sabite eşittir: a = const.

Aritmetik ortalamanın bu en önemli üç özelliğine ek olarak, tasarım özellikleri elektronik bilgisayarların kullanımı nedeniyle giderek önemini yitiren:

• her birimin işaretinin bireysel değeri sabit bir sayı ile çarpılır veya bölünürse, aritmetik ortalama aynı miktarda artacak veya azalacaktır;
• aritmetik ortalama, her bir özellik değerinin ağırlığı (frekansı) sabit bir sayıya bölünürse değişmez;
• her birimin özniteliğinin bireysel değerleri aynı miktarda azalır veya artarsa, aritmetik ortalama aynı miktarda azalır veya artar.

ortalama harmonik. Bu ortalama, k = -1 olduğunda bu değer kullanıldığından, karşılıklı aritmetik ortalama olarak adlandırılır.

basit harmonik ortalama karakteristik değerlerin ağırlıkları aynı olduğunda kullanılır. Formülü, k = -1 ile değiştirilerek temel formülden türetilebilir:

Örneğin, aynı yolda fakat farklı hızlarda seyahat eden iki arabanın ortalama hızını hesaplamamız gerekiyor: ilki 100 km/s'de, ikincisi 90 km/s'de. Harmonik ortalama yöntemini kullanarak ortalama hızı hesaplıyoruz:

İstatistiksel uygulamada, formülü forma sahip olan harmonik ağırlıklı daha sık kullanılır.

Bu formül, her bir öznitelik için ağırlıkların (veya fenomen hacimlerinin) eşit olmadığı durumlarda kullanılır. Orijinal oranda, payın ortalamayı hesapladığı bilinir, ancak payda bilinmiyor.

Örneğin ortalama fiyatı hesaplarken satılan miktarın satılan adet sayısına oranını kullanmalıyız. Satılan birimlerin sayısını bilmiyoruz (farklı mallardan bahsediyoruz), ancak bu farklı malların satış toplamlarını biliyoruz. Diyelim ki bilmemiz gerekiyor ortalama fiyat satılan mallar:

alırız

geometrik ortalama. Çoğu zaman, geometrik ortalama, özelliğin bireysel değerleri göreceli değerler olarak sunulduğunda, ortalama büyüme oranını (ortalama büyüme oranları) belirlemede uygulamasını bulur. Bir özelliğin minimum ve maksimum değerleri arasındaki (örneğin 100 ile 1000000 arası) ortalamanın bulunması gerektiğinde de kullanılır. Basit ve ağırlıklı geometrik ortalama için formüller vardır.

Basit bir geometrik ortalama için

Ağırlıklı geometrik ortalama için

RMS. Uygulamasının ana kapsamı, popülasyondaki bir özelliğin varyasyonunun ölçülmesidir (ortalamanın hesaplanması standart sapma).

Basit kök ortalama kare formülü

Ağırlıklı Kök Ortalama Kare Formülü

(5.11)

Sonuç olarak denilebilir ki doğru seçim her özel durumda ortalama değerin türü, istatistiksel araştırma problemlerinin başarılı çözümüne bağlıdır. Ortalamanın seçimi aşağıdaki sırayı varsayar:

a) nüfusun genelleştirici bir göstergesinin oluşturulması;

b) belirli bir genelleme göstergesi için matematiksel bir değer oranının belirlenmesi;

c) bireysel değerlerin ortalama değerlerle değiştirilmesi;

d) ilgili denklemi kullanarak ortalamanın hesaplanması.

Ortalama değerler ve varyasyon

ortalama değer- bu, belirli bir niceliksel özelliğe göre niteliksel olarak homojen bir nüfusu karakterize eden genelleştirici bir göstergedir. Örneğin, ortalama yaş hırsızlıktan hüküm giymiş kişiler.

Adli istatistiklerde, ortalamalar aşağıdakileri karakterize etmek için kullanılır:

Bu kategorideki davaların ortalama değerlendirme koşulları;

Orta boy iddia;

Dava başına ortalama sanık sayısı;

Ortalama hasar miktarı;

Hakimlerin ortalama iş yükü vb.

Ortalama değer her zaman adlandırılır ve popülasyonun ayrı bir biriminin özniteliği ile aynı boyuta sahiptir. Her ortalama değer, çalışılan popülasyonu değişen herhangi bir özelliğe göre karakterize eder, bu nedenle, herhangi bir ortalamanın arkasında, çalışılan özelliğe göre bu popülasyonun birimlerinin bir dizi dağılımı vardır. Ortalama türünün seçimi, göstergenin içeriği ve ortalamayı hesaplamak için ilk veriler tarafından belirlenir.

İstatistiksel çalışmalarda kullanılan tüm ortalama türleri iki kategoriye ayrılır:

1) güç ortalamaları;

2) yapısal ortalamalar.

İlk ortalama kategorisi şunları içerir: aritmetik ortalama, harmonik ortalama, geometrik ortalama ve Kök kare ortalama . İkinci kategori ise moda ve medyan. Ayrıca, listelenen güç ortalamalarının her birinin iki biçimi olabilir: basit ve ağırlıklı . Ortalamanın basit biçimi, hesaplama gruplanmamış istatistiklere dayandığında veya her değişken popülasyonda yalnızca bir kez gerçekleştiğinde, incelenen özelliğin ortalama değerini elde etmek için kullanılır. Ağırlıklı ortalamalar, bir özelliğin değerlerine ilişkin seçeneklerin farklı sayılara sahip olabileceğini ve bu nedenle her seçeneğin karşılık gelen frekansla çarpılması gerektiğini dikkate alan değerlerdir. Başka bir deyişle, her seçenek frekansına göre "tartılır". Frekans, istatistiksel ağırlık olarak adlandırılır.

basit aritmetik ortalama- en yaygın ortam türü. Bu değerlerin toplam sayısına bölünen bireysel karakteristik değerlerin toplamına eşittir:

,

nerede x 1 ,x 2 , … ,xN değişken özelliğin (seçenekler) bireysel değerleridir ve N, popülasyon birimlerinin sayısıdır.

Aritmetik ağırlıklı ortalama veriler dağıtım serileri veya gruplamalar şeklinde sunulduğunda kullanılır. Seçeneklerin çarpımları ve bunlara karşılık gelen frekansların toplamının, tüm seçeneklerin frekanslarının toplamına bölünmesiyle hesaplanır:

nerede x ben- anlam benözelliğin –th varyantları; fi- Sıklık ben-inci seçenekler.

Bu nedenle, her bir değişken değeri frekansına göre ağırlıklandırılır, bu nedenle frekanslara bazen istatistiksel ağırlıklar denir.

Yorum. Türü belirtilmeden aritmetik ortalamaya gelince, basit aritmetik ortalama kastedilmektedir.

Tablo 12

Karar. Hesaplama için aritmetik ağırlıklı ortalama formülünü kullanıyoruz:

Böylece, ortalama olarak, bir ceza davasında iki sanık vardır.

Ortalama değerin hesaplanması, aralık dağılım serisi şeklinde gruplandırılmış verilere göre yapılırsa, önce her x "i aralığının medyan değerlerini belirlemeniz ve ardından ortalama değeri kullanarak ortalama değeri hesaplamanız gerekir. x" i'nin x i yerine ikame edildiği ağırlıklı aritmetik ortalama formülü.

Misal. Hırsızlıktan hüküm giymiş suçluların yaşına ilişkin veriler tabloda sunulmaktadır:

Tablo 13

Hırsızlıktan hüküm giymiş suçluların ortalama yaşını belirleyin.

Karar. Aralık varyasyon serisine dayalı olarak suçluların yaş ortalamasını belirlemek için öncelikle aralıkların ortanca değerlerini bulmanız gerekir. Bize bir aralık serisi verildiğinden önce aç ve son aralıklar, daha sonra bu aralıkların değerleri bitişik kapalı aralıkların değerlerine eşit alınır. Bizim durumumuzda, ilk ve son aralıkların değeri 10'dur.

Şimdi ağırlıklı aritmetik ortalama formülünü kullanarak suçluların ortalama yaşını buluyoruz:

Dolayısıyla hırsızlıktan hüküm giyen faillerin yaş ortalaması yaklaşık 27'dir.

Ortalama harmonik basit özniteliğin karşılıklı değerlerinin aritmetik ortalamasının karşılığıdır:

nerede 1/ x ben varyantların karşılıklı değerleridir ve N, popülasyon birimlerinin sayısıdır.

Misal. Bir bölge mahkemesi hakimlerinin ceza davaları değerlendirilirken ortalama yıllık iş yükünü belirlemek amacıyla bu mahkemenin 5 hakiminin iş yüküne ilişkin anket yapılmıştır. Ankete katılan yargıçların her biri için bir ceza davasında harcanan ortalama sürenin eşit olduğu ortaya çıktı (gün olarak): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Birinin ortalama maliyetini bulun ceza davası ve ceza davaları değerlendirilirken bu bölge mahkemesinin yargıçlarının ortalama yıllık iş yükü.

Karar. Bir ceza davasında harcanan ortalama süreyi belirlemek için harmonik basit formülü kullanıyoruz:

Örnekteki hesaplamaları basitleştirmek için, bir yıldaki gün sayısını hafta sonları da dahil olmak üzere 365'e eşit alalım (bu, hesaplama yöntemini etkilemez ve pratikte benzer bir gösterge hesaplanırken, çalışma sayısını değiştirmek gerekir) 365 gün yerine belirli bir yıldaki günler). Bu durumda, ceza davalarını değerlendirirken bu bölge mahkemesinin yargıçlarının yıllık ortalama iş yükü: 365 (gün): 5,56 ≈ 65,6 (dava) olacaktır.

Bir ceza davasında harcanan ortalama süreyi belirlemek için basit aritmetik ortalama formülünü kullanırsak, şunu elde ederiz:

365 (gün): 5,64 ≈ 64.7 (vaka), yani. yargıçlar için ortalama iş yükü daha azdı.

Bu yaklaşımın geçerliliğini kontrol edelim. Bunu yapmak için, her yargıç için bir ceza davasında harcanan zamana ilişkin verileri kullanırız ve her biri tarafından yılda değerlendirilen ceza davalarının sayısını hesaplarız.

buna göre alırız:

365(gün) : 6 ≈ 61 (vaka), 365(gün) : 5,6 ≈ 65,2 (vaka), 365(gün) : 6,3 ≈ 58 (vaka),

365(gün) : 4,9 ≈ 74,5 (vaka), 365(gün) : 5,4 ≈ 68 (vaka).

Şimdi ceza davalarını değerlendirirken bu bölge mahkemesinin yargıçları için ortalama yıllık iş yükünü hesaplıyoruz:

Onlar. ortalama yıllık yük, harmonik ortalama kullanıldığındakiyle aynıdır.

Dolayısıyla, bu durumda aritmetik ortalamanın kullanılması yasa dışıdır.

Bir özelliğin varyantlarının bilindiği, hacimsel değerlerinin (varyantların frekansa göre çarpımı), ancak frekansların bilinmediği durumlarda, harmonik ağırlıklı ortalama formülü uygulanır:

,

nerede x benözellik varyantlarının değerleridir ve w ben varyantların hacimsel değerleridir ( w ben = x ben f ben).

Misal. Hapishane sisteminin çeşitli kurumları tarafından üretilen aynı tür malların bir biriminin fiyatına ve uygulama hacmine ilişkin veriler tablo 14'te verilmiştir.

Tablo 14

Ürünün ortalama satış fiyatını bulun.

Karar. Ortalama fiyatı hesaplarken, satılan miktarın satılan adet sayısına oranını kullanmalıyız. Satılan birimlerin sayısını bilmiyoruz, ancak malların satış miktarını biliyoruz. Bu nedenle satılan malların ortalama fiyatını bulmak için harmonik ağırlıklı ortalama formülünü kullanırız. alırız

Buradaki aritmetik ortalama formülünü kullanırsanız, gerçekçi olmayacak ortalama bir fiyat elde edebilirsiniz:

geometrik ortalamaözellik seçeneklerinin tüm değerlerinin ürününden N derecesinin kökü çıkarılarak hesaplanır:

nerede x 1 ,x 2 , … ,xN değişken özelliğin (seçenekler) bireysel değerleridir ve

N nüfus birimlerinin sayısıdır.

Bu tür bir ortalama, zaman serilerinin ortalama büyüme oranlarını hesaplamak için kullanılır.

Kök kare ortalama varyasyonun bir göstergesi olan standart sapmayı hesaplamak için kullanılır ve aşağıda tartışılacaktır.

Nüfusun yapısını belirlemek için, aşağıdakileri içeren özel ortalamalar kullanılır. medyan ve moda veya sözde yapısal ortalamalar. Aritmetik ortalama, öznitelik değerlerinin tüm varyantlarının kullanımına dayalı olarak hesaplanırsa, medyan ve mod, sıralı (sıralı) seride belirli bir ortalama konumu işgal eden varyantın değerini karakterize eder. İstatistiksel popülasyonun birimlerinin sıralaması, incelenen özelliğin varyantlarının artan veya azalan düzeninde gerçekleştirilebilir.

Medyan (Ben) sıralanan serinin ortasındaki varyanta karşılık gelen değerdir. Bu nedenle, medyan, her iki tarafında bu seride eşit sayıda popülasyon birimi olması gereken sıralı serinin varyantıdır.

Medyanı bulmak için, önce aşağıdaki formülü kullanarak sıralı serideki seri numarasını belirlemeniz gerekir:

N, serinin hacmidir (nüfus birimlerinin sayısı).

Dizi tek sayıda üyeden oluşuyorsa, medyan N Me numaralı varyanta eşittir. Dizi çift sayıda üyeden oluşuyorsa, ortanca, ortada bulunan iki bitişik seçeneğin aritmetik ortalaması olarak tanımlanır.

Misal. 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10 sıralı bir seri verildi. Serinin hacmi N = 9'dur, bu da N Me = (9 + 1) / 2 = 5 anlamına gelir. = 6, yani. beşinci seçenek. Bir satıra 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, yani üye sayısı çift olan seriler (N = 8), ardından N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Yani medyan, dördüncü ve beşinci seçeneklerin toplamının yarısına eşittir, yani. Ben = (9 + 11) / 2 = 10.

Ayrık bir varyasyon serisinde, medyan, birikmiş frekanslar tarafından belirlenir. İlkinden başlayarak değişken frekansları ortanca sayı aşılana kadar toplanır. Son toplanan seçeneklerin değeri medyan olacaktır.

Misal. Tablo 12'deki verileri kullanarak ceza davası başına ortalama sanık sayısını bulun.

Karar. Bu durumda varyasyon serisinin hacmi N = 154, dolayısıyla N Me = (154 + 1) / 2 = 77.5 olur. Birinci ve ikinci seçeneklerin frekanslarını toplayarak şunu elde ederiz: 75 + 43 = 118, yani. ortanca sayıyı geçtik. Yani Ben = 2.

Dağılımın aralık varyasyon serisinde, önce medyanın bulunacağı aralığı belirtin. O arıyor medyan . Bu, kümülatif frekansı, aralık varyasyon serisinin hacminin yarısını aşan ilk aralıktır. Daha sonra medyanın sayısal değeri aşağıdaki formülle belirlenir:

nerede x ben medyan aralığın alt sınırıdır; i medyan aralığın değeridir; S Ben-1 medyandan önce gelen aralığın kümülatif frekansıdır; ben medyan aralığın frekansıdır.

Misal. Tablo 13'te sunulan istatistiklere dayanarak, hırsızlıktan hüküm giymiş suçluların medyan yaşını bulun.

Karar.İstatistiksel veriler, bir aralık varyasyon serisi ile temsil edilir; bu, ilk önce medyan aralığı belirlediğimiz anlamına gelir. Nüfusun hacmi N = 162, bu nedenle, ortanca aralık 18-28 aralığıdır, çünkü bu, birikmiş frekansı (15 + 90 = 105), aralık varyasyon serisinin hacminin yarısını (162: 2 = 81) aşan ilk aralıktır. Şimdi medyanın sayısal değeri yukarıdaki formülle belirlenir:

Böylece hırsızlıktan hüküm giyenlerin yarısı 25 yaşın altında.

moda (ay) genellikle popülasyonun birimlerinde bulunan özniteliğin değerini adlandırın. Moda, en büyük dağılıma sahip özelliğin değerini belirlemek için kullanılır. Ayrık bir seri için mod, en yüksek frekansa sahip varyant olacaktır. Örneğin, Tablo 3'te sunulan ayrık bir seri için ay= 1, seçeneklerin bu değeri en yüksek frekansa karşılık geldiğinden - 75. Aralık serisinin modunu belirlemek için önce modal aralık (en yüksek frekansa sahip aralık). Daha sonra, bu aralık içinde, bir mod olabilen özelliğin değeri bulunur.

Değeri şu formülle bulunur:

nerede x Ay mod aralığının alt sınırıdır; i mod aralığının değeridir; f Ay mod aralığının frekansıdır; f Mo-1 moddan önceki aralığın frekansıdır; f Mo+1 kipi izleyen aralığın frekansıdır.

Misal. Verileri tablo 13'te sunulan hırsızlıktan hüküm giymiş suçluların yaş modunu bulun.

Karar. En yüksek frekans 18-28 aralığına karşılık gelir, bu nedenle mod bu aralıkta olmalıdır. Değeri yukarıdaki formülle belirlenir:

Böylece hırsızlıktan hüküm giyen en fazla suçlu 24 yaşında.

Ortalama değer, incelenen olgunun bütünlüğünün genelleştirici bir özelliğini verir. Bununla birlikte, aynı ortalama değerlere sahip iki popülasyon, incelenen özelliğin değerindeki dalgalanma (varyasyon) derecesi açısından birbirinden önemli ölçüde farklılık gösterebilir. Örneğin, bir mahkemede aşağıdaki hapis cezaları verildi: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 yıl ve diğerinde - 5, 5, 6, 6, 7, 7 , 7 , 8, 8, 8 yaşında. Her iki durumda da aritmetik ortalama 6.7 yıldır. Bununla birlikte, bu toplamlar, verilen hapis cezasının bireysel değerlerinin ortalama değere göre yayılmasında birbirinden önemli ölçüde farklıdır.

Ve bu farklılığın oldukça büyük olduğu ilk mahkeme için, ortalama hapis cezası tüm nüfusu iyi yansıtmamaktadır. Bu nedenle, özniteliğin bireysel değerleri birbirinden çok az farklıysa, aritmetik ortalama bu popülasyonun özelliklerinin oldukça belirleyici bir özelliği olacaktır. Aksi takdirde, aritmetik ortalama bu popülasyonun güvenilmez bir özelliği olacak ve pratikte uygulanması etkisiz olacaktır. Bu nedenle, incelenen özelliğin değerlerindeki varyasyonu hesaba katmak gerekir.

varyasyon- bunlar, belirli bir popülasyonun farklı birimlerindeki bir özelliğin aynı dönemde veya zamandaki değerlerindeki farklılıklardır. "Varyasyon" terimi Latince kökenlidir - farklılık, değişim, dalgalanma anlamına gelen variatio. Niteliğin bireysel değerlerinin, her bir durumda farklı şekillerde birleştirilen çeşitli faktörlerin (koşulların) birleşik etkisi altında oluşması gerçeğinin bir sonucu olarak ortaya çıkar. Bir özelliğin varyasyonunu ölçmek için çeşitli mutlak ve göreli göstergeler kullanılır.

Varyasyonun ana göstergeleri şunları içerir:

1) varyasyon aralığı;

2) ortalama doğrusal sapma;

3) dispersiyon;

4) standart sapma;

5) varyasyon katsayısı.

Her biri üzerinde kısaca duralım.

Açıklık varyasyonu R, bu popülasyonun birimleri için özniteliğin en büyük ve en küçük değerleri arasındaki fark olarak tanımlanan hesaplama kolaylığı açısından en erişilebilir mutlak göstergedir:

Varyasyon aralığı (dalgalanma aralığı) - önemli gösterge işaretin dalgalanmaları, ancak uygulamasının kapsamını sınırlayan yalnızca aşırı sapmaları görmeyi mümkün kılar. Bir özelliğin varyasyonunun dalgalanmasına bağlı olarak daha doğru bir şekilde karakterize edilmesi için diğer göstergeler kullanılır.

Ortalama doğrusal sapmaözelliğin bireysel değerlerinin ortalamadan sapmalarının mutlak değerlerinin aritmetik ortalamasını temsil eder ve formüllerle belirlenir:

1) için gruplanmamış veri

2) için varyasyon serisi

Bununla birlikte, en yaygın olarak kullanılan varyasyon ölçüsü, dağılım . Çalışılan özelliğin değerlerinin ortalama değerine göre yayılmasının ölçüsünü karakterize eder. Varyans, karesi alınan sapmaların ortalaması olarak tanımlanır.

basit varyans gruplandırılmamış veriler için:

.

ağırlıklı varyans varyasyon serisi için:

Yorum. Pratikte, varyansı hesaplamak için aşağıdaki formülleri kullanmak daha iyidir:

Basit bir varyans için

.

Ağırlıklı varyans için

Standart sapma varyansın karekökü:

Standart sapma, ortalamanın güvenilirliğinin bir ölçüsüdür. Standart sapma ne kadar küçük olursa, popülasyon o kadar homojen olur ve aritmetik ortalama tüm popülasyonu o kadar iyi yansıtır.

Yukarıda ele alınan dağılım ölçüleri (varyasyon aralığı, varyans, standart sapma), bir özelliğin dalgalanma derecesini yargılamanın her zaman mümkün olmadığı mutlak göstergelerdir. Bazı problemlerde göreli saçılma indislerini kullanmak gerekir. varyasyon katsayısı.

varyasyon katsayısı- standart sapmanın aritmetik ortalamaya oranının yüzdesi olarak ifade edilir:

Varyasyon katsayısı, yalnızca varyasyonun karşılaştırmalı bir değerlendirmesi için kullanılmaz. farklı işaretler ya da farklı popülasyonlarda aynı özellik değil, aynı zamanda popülasyonun homojenliğini karakterize etmek. Varyasyon katsayısı %33'ü geçmezse (normal dağılıma yakın dağılımlar için) istatistiksel popülasyon nicel olarak homojen kabul edilir.

Misal. Ceza infaz kurumunun bir ıslah kurumunda mahkemece verilen cezayı çekmek üzere teslim edilen 50 hükümlünün hapis cezalarına ilişkin veriler şu şekildedir: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3 , 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1 , 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Hapis terimlerine göre bir dağıtım serisi oluşturun.

2. Ortalama, varyans ve standart sapmayı bulun.

3. Varyasyon katsayısını hesaplayın ve çalışılan popülasyonun homojenliği veya heterojenliği hakkında bir sonuç çıkarın.

Karar. Kesikli bir dağılım serisi oluşturmak için değişkenleri ve frekansları belirlemek gerekir. Bu problemdeki seçenek hapis cezası, sıklığı ise bireysel seçeneklerin sayısıdır. Frekansları hesapladıktan sonra, aşağıdaki ayrık dağılım serilerini elde ederiz:

Ortalamayı ve varyansı bulun. İstatistiksel veriler ayrı bir varyasyon serisi ile temsil edildiğinden, bunları hesaplamak için aritmetik ağırlıklı ortalama ve varyans formüllerini kullanacağız. Alırız:

= = 4,1;

= 5,21.

Şimdi standart sapmayı hesaplıyoruz:

Varyasyon katsayısını buluyoruz:

Sonuç olarak, istatistiksel popülasyon nicel olarak heterojendir.

basit aritmetik ortalama

Ortalama değerler

Ortalama değerler istatistikte yaygın olarak kullanılmaktadır.

ortalama değer eylem ifadesinin bulunduğu genelleştirici bir göstergedir Genel Şartlar, incelenen olgunun gelişim kalıpları.

İstatistiksel ortalamalar, doğru istatistiksel olarak organize edilmiş bir gözlemin (sürekli ve örnek) kütle verileri temelinde hesaplanır. Bununla birlikte, niteliksel olarak homojen bir popülasyon (kütle fenomeni) için kütle verilerinden hesaplanırsa, istatistiksel ortalama nesnel ve tipik olacaktır. Örneğin, anonim şirketlerde ve devlete ait işletmelerde ortalama maaşı hesaplarsak ve sonucu tüm nüfusa genişletirsek, o zaman ortalama, heterojen bir nüfus üzerinden hesaplandığından hayalidir ve böyle bir ortalama her şeyi kaybeder. anlam.

Ortalamanın yardımıyla, bireysel gözlem birimlerinde şu veya bu nedenle ortaya çıkan özelliğin büyüklüğündeki farklılıkların yumuşatılması söz konusudur.

Örneğin, bireysel bir satıcının ortalama çıktısı birçok faktöre bağlıdır: nitelikler, hizmet süresi, yaş, hizmet biçimi, sağlık vb. Ortalama çıktı yansıtır Genel özellikleri bütün agrega.

Ortalama değer, özelliğin kendisiyle aynı birimlerde ölçülür.

Her ortalama değer, çalışılan popülasyonu herhangi bir özelliğe göre karakterize eder. Bir dizi temel özellik açısından incelenen popülasyonun eksiksiz ve kapsamlı bir resmini elde etmek için, fenomeni farklı açılardan tanımlayabilen bir ortalama değerler sistemine sahip olmak gerekir.

Mevcut Farklı çeşit orta:

aritmetik ortalama;

ortalama harmonik;

geometrik ortalama;

Kök kare ortalama;

ortalama kübik.

Yukarıda listelenen tüm türlerin ortalamaları sırasıyla basit (ağırlıksız) ve ağırlıklı olarak ayrılmıştır.

İstatistikte kullanılan ortalama türlerini düşünün.

Basit aritmetik ortalama (ağırlıksız), özelliğin bireysel değerlerinin toplamına, bu değerlerin sayısına bölünmesine eşittir.

Bir özelliğin ayrı değerlerine varyantlar denir ve х i (
); popülasyon birimlerinin sayısı n ile gösterilir, özelliğin ortalama değeri - ile . Bu nedenle, basit aritmetik ortalama:

veya

örnek 1 tablo 1

Vardiya başına işçiler tarafından A ürünlerinin üretimine ilişkin veriler

Bu örnekte, değişken özniteliği, vardiya başına ürünlerin serbest bırakılmasıdır.

Özelliğin (16, 17, vb.) sayısal değerlerine değişken denir. Bu grubun işçileri tarafından ürünlerin ortalama çıktısını belirleyelim:

PCS.

Bir özelliğin bireysel değerlerinin olduğu durumlarda basit bir aritmetik ortalama kullanılır, yani. veriler gruplandırılmaz. Veriler dağılım serileri veya gruplamalar şeklinde sunulursa, ortalama farklı şekilde hesaplanır.

Aritmetik ağırlıklı ortalama

Aritmetik ağırlıklı ortalama, özniteliğin (varyant) her bir bireysel değerinin çarpımlarının toplamına karşılık gelen frekansa eşittir, tüm frekansların toplamına bölünür.

Dağılım serisindeki özdeş özellik değerlerinin sayısına frekans veya ağırlık denir ve f i ile gösterilir.

Buna göre aritmetik ağırlıklı ortalama şöyle görünür:

veya

Formülden, ortalamanın yalnızca özniteliğin değerlerine değil, aynı zamanda frekanslarına da bağlı olduğu görülebilir, yani. nüfusun kompozisyonu, yapısı hakkında.

Örnek 2 Tablo 2

İşçi ücreti verileri

Kesikli dağılım serisinin verilerine göre, özniteliğin (seçeneklerin) aynı değerlerinin birkaç kez tekrarlandığı görülebilir. Yani, değişken x 1 toplamda 2 kez ve değişken x 2 - 6 kez vb. oluşur.

Çalışan başına ortalama ücreti hesaplayın:

Her işçi grubu için ücret fonu, seçenekler ve sıklığın ürününe eşittir (
) ve bu ürünlerin toplamı tüm işçilerin toplam ücret fonunu verir (
).

Hesaplama basit aritmetik ortalama formülü kullanılarak yapılsaydı, ortalama kazanç 3.000 ruble olurdu. (). Elde edilen sonuç ilk verilerle karşılaştırıldığında, ortalama ücretin önemli ölçüde daha yüksek olması gerektiği açıktır (işçilerin yarısından fazlası 3.000 ruble'nin üzerinde ücret almaktadır). Bu nedenle, bu gibi durumlarda basit aritmetik ortalamanın hesaplanması hatalı olacaktır.

İşleme sonucunda elde edilen istatistiksel malzeme, yalnızca ayrık dağılım serileri şeklinde değil, aynı zamanda kapalı veya açık aralıklı aralıklı varyasyon serileri şeklinde de sunulabilir.

Bu tür seriler için aritmetik ortalamanın hesaplanmasını düşünün.

Ortalama:

Anlamına gelmek

Anlamına gelmek- bir dizi sayı veya fonksiyonun sayısal özelliği; - değerlerinin en küçüğü ile en büyüğü arasına alınmış bir sayı.

1 Temel bilgiler 2 Matematikte araçların hiyerarşisi 3 Olasılık teorisi ve istatistikte 4 Ayrıca bkz. 5 Not

Temel bilgiler

Ortalamalar teorisinin oluşumunun başlangıç ​​noktası, Pisagor okulu tarafından oranların incelenmesiydi. Aynı zamanda, ortalama ve orantı kavramları arasında kesin bir ayrım yapılmadı. Aritmetik bir bakış açısıyla oranlar teorisinin gelişimine önemli bir ivme, Yunan matematikçiler - Geraslı Nicomachus (MS I. yüzyılın sonu - II. yüzyılın başı) ve İskenderiyeli Pappus (MS III. Yüzyıl) tarafından verildi. Ortalama kavramının gelişimindeki ilk aşama, ortalamanın sürekli bir oranın merkezi üyesi olarak kabul edilmeye başlandığı aşamadır. Ancak, ilerlemenin merkezi değeri olarak ortalama kavramı, birbirlerini takip ettikleri sıraya bakılmaksızın, n terimlik bir diziye göre ortalama kavramını türetmeyi mümkün kılmaz. Bu amaçla, ortalamaların resmi bir genelleştirilmesine başvurmak gerekir. Bir sonraki aşama, sürekli oranlardan ilerlemelere geçiştir - aritmetik, geometrik ve harmonik.

İstatistik tarihinde, ilk kez, ortalamaların yaygın olarak kullanılması, İngiliz bilim adamı W. Petty'nin adıyla ilişkilendirilir. W. Petty, ortalama değeri ekonomik kategorilerle ilişkilendirerek istatistiksel bir anlam vermeye çalışan ilk kişilerden biriydi. Ancak Petty, ortalama değer kavramının, tahsisinin bir tanımını üretmedi. A. Quetelet, ortalamalar teorisinin kurucusu olarak kabul edilir. Ortalamalar teorisini tutarlı bir şekilde geliştiren ve bunun için matematiksel bir temel getirmeye çalışan ilk kişilerden biriydi. A. Quetelet iki tür ortalama belirledi - gerçek ortalamalar ve aritmetik ortalamalar. Uygun şekilde ortalamalar, gerçekten var olan bir şeyi, bir sayıyı temsil eder. Aslında ortalamalar veya ortalama istatistiksel olanlar, aynı nitelikteki fenomenlerden türetilmelidir. iç anlam. Aritmetik ortalamalar, homojen de olsa farklı birçok sayı hakkında mümkün olan en yakın fikri veren sayılardır.

Her ortalama türü, basit bir ortalama veya ağırlıklı ortalama olabilir. Ortalama formun seçiminin doğruluğu, çalışma nesnesinin maddi doğasından kaynaklanmaktadır. Ortalaması alınan özelliğin tek tek değerleri tekrarlanmıyorsa basit ortalama formülleri kullanılır. ne zaman pratik araştırmaİncelenen özelliğin bireysel değerleri, çalışılan popülasyonun birimlerinde birkaç kez meydana gelir, daha sonra bireysel özellik değerlerinin tekrarlanma sıklığı, güç ortalamalarının hesaplama formüllerinde bulunur. Bu durumda bunlara ağırlıklı ortalama formülleri denir.

Wikimedia Vakfı. 2010.

6-7. sınıf matematik programında aritmetik ve geometrik ortalama konusuna yer verilmektedir. Paragrafın anlaşılması oldukça kolay olduğu için hızlı bir şekilde geçilir ve sonuç şudur: okul yılıöğrenciler unutur. Ancak bunun için temel istatistik bilgisi gereklidir. sınavı geçmek, yanı sıra uluslararası SAT sınavları için. evet ve için Günlük yaşam gelişmiş analitik düşünce asla acıtmaz.

Sayıların aritmetik ve geometrik ortalaması nasıl hesaplanır

Bir sayı dizisi olduğunu varsayalım: 11, 4 ve 3. Aritmetik ortalama, tüm sayıların toplamının, verilen sayıların sayısına bölümüdür. Yani 11, 4, 3 sayıları için cevap 6 olacaktır. 6 nasıl elde edilir?

Çözüm: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Payda, ortalaması bulunacak sayıların sayısına eşit bir sayı içermelidir. Üç terim olduğu için toplam 3'e bölünebilir.

Şimdi geometrik ortalama ile ilgilenmemiz gerekiyor. Diyelim ki bir dizi sayı var: 4, 2 ve 8.

Geometrik ortalama, verilen sayıların sayısına eşit derecede bir kökün altındaki tüm verilen sayıların ürünüdür.Yani 4, 2 ve 8 sayıları için cevap 4'tür. :

Çözüm: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Her iki seçenekte de özel sayılar örnek alındığı için tam cevaplar alınmıştır. Bu her zaman böyle değildir. Çoğu durumda, yanıtın yuvarlanması veya kökte bırakılması gerekir. Örneğin, 11, 7 ve 20 sayıları için aritmetik ortalama ≈ 12.67 ve geometrik ortalama ∛ 1540'tır. Ve 6 ve 5 sayıları için cevaplar sırasıyla 5.5 ve √30 olacaktır.

Aritmetik ortalama geometrik ortalamaya eşit olabilir mi?

Elbette olabilir. Ama sadece iki durumda. Yalnızca bir veya sıfırdan oluşan bir sayı dizisi varsa. Cevabın sayılarına bağlı olmaması da dikkat çekicidir.

Birimlerle ispat: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetik ortalama).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrik ortalama).

Sıfırlarla ispat: (0 + 0) / 2=0 (aritmetik ortalama).

√(0 × 0) = 0 (geometrik ortalama).

Başka bir seçenek yoktur ve olamaz.

Ortalama değerler istatistikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Ortalama değerler, ticari faaliyetin niteliksel göstergelerini karakterize eder: dağıtım maliyetleri, kar, karlılık vb.

Orta Bu en yaygın genellemelerden biridir. Ortalamanın özünün doğru anlaşılması, ortalamanın tek ve rastgele bir ortalama aracılığıyla genel ve gerekli olanı tanımlamayı, ekonomik gelişme kalıplarının eğilimini tanımlamayı mümkün kıldığı bir piyasa ekonomisindeki özel önemini belirler.

ortalama değer - bunlar, genel koşulların eyleminin ifadesini, incelenen olgunun kalıplarını buldukları genelleştirici göstergelerdir.

İstatistiksel ortalamalar, doğru istatistiksel olarak organize edilmiş kütle gözleminin (sürekli ve seçici) kütle verileri temelinde hesaplanır. Bununla birlikte, niteliksel olarak homojen bir popülasyon (kütle fenomeni) için kütle verilerinden hesaplanırsa, istatistiksel ortalama nesnel ve tipik olacaktır. Örneğin, kooperatiflerde ve devlete ait işletmelerde ortalama ücretleri hesaplar ve sonucu tüm nüfusa yayarsak, o zaman ortalama, heterojen bir nüfus için hesaplandığından hayalidir ve böyle bir ortalama tüm anlamını kaybeder.

Ortalamanın yardımıyla, bireysel gözlem birimlerinde şu veya bu nedenle ortaya çıkan özelliğin büyüklüğündeki farklılıkların yumuşatılması söz konusudur.

Örneğin, bir satış elemanının ortalama çıktısı birçok faktöre bağlıdır: nitelikler, hizmet süresi, yaş, hizmet biçimi, sağlık vb.

Ortalama çıktı, tüm nüfusun genel özelliğini yansıtır.

Ortalama değer, çalışılan özelliğin değerlerinin bir yansımasıdır, bu nedenle bu özellik ile aynı boyutta ölçülür.

Her ortalama değer, çalışılan popülasyonu herhangi bir özelliğe göre karakterize eder. Bir dizi temel özellik açısından incelenen popülasyonun eksiksiz ve kapsamlı bir resmini elde etmek için, genellikle fenomeni farklı açılardan tanımlayabilen bir ortalama değerler sistemine sahip olmak gerekir.

Çeşitli ortalamalar vardır:

aritmetik ortalama;

geometrik ortalama;

ortalama harmonik;

Kök kare ortalama;

kronolojik ortalama.

İstatistikte en yaygın olarak kullanılan bazı ortalama türlerini düşünün.

Aritmetik ortalama

Basit aritmetik ortalama (ağırlıksız), özelliğin bireysel değerlerinin toplamına, bu değerlerin sayısına bölünmesine eşittir.

Özelliğin bireysel değerlerine değişken denir ve x () ile gösterilir; popülasyon birimlerinin sayısı n ile gösterilir, özelliğin ortalama değeri - ile . Bu nedenle, basit aritmetik ortalama:

Kesikli dağılım serisinin verilerine göre, özniteliğin (seçeneklerin) aynı değerlerinin birkaç kez tekrarlandığı görülebilir. Yani, değişken x toplamda 2 kez ve değişken x - 16 kez, vb.

Dağılım serisindeki bir özelliğin özdeş değerlerinin sayısına frekans veya ağırlık denir ve n sembolü ile gösterilir.

Çalışan başına ortalama ücreti hesaplayın ruble olarak:

Her işçi grubu için ücret faturası, seçeneklerin ve sıklığın çarpımına eşittir ve bu ürünlerin toplamı tüm işçilerin toplam ücret faturasını verir.

Buna göre, hesaplamalar genel bir biçimde sunulabilir:

Elde edilen formüle ağırlıklı aritmetik ortalama denir.

İşleme sonucunda elde edilen istatistiksel malzeme, yalnızca ayrık dağılım serileri şeklinde değil, aynı zamanda kapalı veya açık aralıklı aralıklı varyasyon serileri şeklinde de sunulabilir.

Gruplandırılmış veriler için ortalamanın hesaplanması, ağırlıklı aritmetik ortalama formülüne göre yapılır:

Ekonomik istatistik uygulamasında, bazen ortalamayı grup ortalamalarına veya nüfusun bireysel bölümlerinin ortalamalarına (kısmi ortalamalar) göre hesaplamak gerekir. Bu gibi durumlarda, toplam ortalamanın olağan aritmetik ağırlıklı ortalama olarak hesaplandığı temel alınarak grup veya kısmi ortalamalar seçenekler (x) olarak alınır.

Aritmetik ortalamanın temel özellikleri .

Aritmetik ortalamanın bir takım özellikleri vardır:

1. x özniteliğinin her bir değerinin frekanslarındaki n kez bir azalma veya artıştan, aritmetik ortalamanın değeri değişmeyecektir.

Tüm frekanslar bir sayıya bölünür veya çarpılırsa, ortalamanın değeri değişmez.

2. Özelliğin bireysel değerlerinin toplam çarpanı, ortalamanın işaretinden çıkarılabilir:

3. İki veya daha fazla miktarın ortalama toplamı (fark), ortalamalarının toplamına (farkına) eşittir:

4. x \u003d c ise, burada c sabit bir değerdir, o zaman
.

5. X özelliğinin değerlerinin x aritmetik ortalamasından sapmalarının toplamı sıfıra eşittir:

Ortalama harmonik.

Aritmetik ortalama ile birlikte, istatistikler, özelliğin karşılıklı değerlerinin aritmetik ortalamasının karşılığı olan harmonik ortalamayı kullanır. Aritmetik ortalama gibi, basit ve ağırlıklı olabilir.

Ortalamalarla birlikte, varyasyon serisinin özellikleri mod ve medyandır.

Moda - bu, çalışılan popülasyonda en sık tekrarlanan özelliğin (varyant) değeridir. Ayrık dağıtım serileri için mod, en yüksek frekansa sahip varyantın değeri olacaktır.

Eşit aralıklı aralıklı dağılım serileri için mod şu formülle belirlenir:

nerede
- modu içeren aralığın ilk değeri;

- mod aralığının değeri;

- modsal aralık frekansı;

- moddan önceki aralığın sıklığı;

- modu takip eden aralığın sıklığı.

Medyan varyasyon satırının ortasında bulunan varyanttır. Dağılım serisi kesikliyse ve tek sayıda üyeye sahipse, medyan sıralı serinin ortasında yer alan değişken olacaktır (sıralı bir seri, popülasyon birimlerinin artan veya azalan düzende düzenlenmesidir).

içindeki her insan modern dünya, kış için kredi almayı veya sebze stoklamayı planlayan, periyodik olarak "ortalama" gibi bir kavramla karşı karşıya kalıyor. Ne olduğunu, hangi türleri ve sınıfları olduğunu ve neden istatistik ve diğer disiplinlerde kullanıldığını öğrenelim.

Ortalama değer - bu nedir?

Benzer bir ad (SV), herhangi bir nicel değişken özniteliği tarafından belirlenen bir dizi homojen fenomenin genelleştirilmiş bir özelliğidir.

Ancak, bu tür belirsiz tanımlardan uzak insanlar, bu kavramı ortalama bir miktar olarak anlarlar. Örneğin, bir banka çalışanı kredi çekmeden önce, potansiyel bir müşteriden, yıl için ortalama gelir, yani bir kişinin kazandığı toplam para miktarı hakkında veri sağlamasını kesinlikle isteyecektir. Tüm yıl için kazançların toplanıp ay sayısına bölünmesiyle hesaplanır. Böylece banka, müşterisinin borcunu zamanında ödeyip ödeyemeyeceğini belirleyebilecektir.

Neden kullanılıyor?

Kural olarak, belirli bir karakterizasyonun nihai bir karakterizasyonunu vermek için ortalama değerler yaygın olarak kullanılmaktadır. sosyal fenomenler, masif olan. Yukarıdaki örnekte olduğu gibi bir kredi durumunda olduğu gibi daha küçük hesaplamalar için de kullanılabilirler.

Bununla birlikte, çoğu zaman ortalamalar hala küresel amaçlar için kullanılmaktadır. Bunlardan bir örnek, vatandaşların bir takvim ayı boyunca tükettiği elektrik miktarının hesaplanmasıdır. Elde edilen verilere dayanarak, daha sonra devletten yararlanan nüfus kategorileri için maksimum normlar belirlenir.

Ayrıca, ortalama değerler yardımıyla, belirli servisler için bir garanti süresi Ev aletleri, arabalar, binalar vb. Bu şekilde toplanan verilere dayanarak, bir zamanlar modern çalışma ve dinlenme standartları geliştirildi.

Aslında, herhangi bir fenomen modern hayat kitlesel nitelikte olan , bir şekilde veya başka bir şekilde, söz konusu kavramla mutlaka bağlantılıdır.

Uygulamalar

Bu fenomen, hemen hemen tüm kesin bilimlerde, özellikle deneysel niteliktekilerde yaygın olarak kullanılmaktadır.

Tıpta, mühendislikte, yemek pişirmede, ekonomide, politikada vb. alanlarda ortalamayı bulmak büyük önem taşır.

Bu tür genellemelerden elde edilen verilere dayanarak, tıbbi müstahzarlar, müfredat, asgari geçim ücreti ve maaşları belirleyin, çalışma programları oluşturun, mobilya, giysi ve ayakkabı, hijyen malzemeleri ve çok daha fazlasını üretin.

Matematikte bu terime "ortalama değer" denir ve kararları uygulamak için kullanılır. çeşitli örnekler ve görevler. Bunların en basiti adi kesirlerle toplama ve çıkarmadır. Sonuçta, bilindiği gibi, çözmek için benzer örnekler Her iki kesir de ortak bir paydaya indirgenmelidir.

Ayrıca, kesin bilimlerin kraliçesinde, anlamca yakın olan “rastgele bir değişkenin ortalama değeri” terimi sıklıkla kullanılır. Çoğu kişi için, daha çok olasılık teorisinde düşünülen "beklenti" olarak bilinir. Benzer bir olgunun istatistiksel hesaplamalar yaparken de geçerli olduğunu belirtmekte fayda var.

İstatistiklerde ortalama değer

Bununla birlikte, çoğu zaman incelenen kavram istatistikte kullanılır. Bildiğiniz gibi, bu bilimin kendisi hesaplama ve analizde uzmanlaşmıştır. nicel özellikler kitlesel sosyal olaylar. Bu nedenle, istatistiklerdeki ortalama değer, ana hedeflerine ulaşmak için özel bir yöntem olarak kullanılır - bilgilerin toplanması ve analizi.

Bu istatistiksel yöntemin özü, söz konusu özelliğin bireysel benzersiz değerlerini belirli bir dengeli ortalama değerle değiştirmektir.

Bir örnek ünlü yemek şakasıdır. Bu nedenle, Salı günleri belirli bir fabrikada öğle yemeği için patronları genellikle etli güveç yer ve sıradan işçiler haşlanmış lahana yer. Bu verilere dayanarak, tesis personelinin salı günleri ortalama olarak lahana ruloları yediği sonucuna varabiliriz.

Bu örnek biraz abartılı olsa da, ortalama değer arama yönteminin ana dezavantajını gösterir - nesnelerin veya kişiliklerin bireysel özelliklerinin seviyelendirilmesi.

Ortalamalar yalnızca toplanan bilgileri analiz etmek için değil, aynı zamanda daha ileri eylemleri planlamak ve tahmin etmek için de kullanılır.

Ayrıca elde edilen sonuçları değerlendirmek için de kullanılır (örneğin, ilkbahar-yaz sezonu için buğday yetiştirme ve hasat planının uygulanması).

Nasıl hesaplanır

Her ne kadar, SW türüne bağlı olarak, farklı formüller onun hesaplamaları, genel teori istatistikler, kural olarak, bir özelliğin ortalama değerini hesaplamak için yalnızca bir yöntem kullanılır. Bunu yapmak için önce tüm fenomenlerin değerlerini bir araya getirmeli ve ardından ortaya çıkan toplamı sayılarına bölmelisiniz.

Bu tür hesaplamaları yaparken, ortalama değerin her zaman popülasyonun ayrı bir birimi olarak aynı boyuta (veya birimlere) sahip olduğunu hatırlamakta fayda var.

Doğru hesaplama için koşullar

Yukarıda tartışılan formül çok basit ve evrenseldir, bu nedenle hata yapmak neredeyse imkansızdır. Ancak, her zaman iki yönü dikkate almaya değer, aksi takdirde elde edilen veriler gerçek durumu yansıtmaz.

CB sınıfları

Ana sorulara cevap bulduktan sonra: "Ortalama değer - nedir?", "Nerede kullanılır?" ve "Bunu nasıl hesaplayabilirim?", hangi sınıfların ve CB türlerinin bulunduğunu bilmeye değer.

Her şeyden önce, bu fenomen 2 sınıfa ayrılmıştır. Bunlar yapısal ve güç ortalamalarıdır.

Güç SW türleri

Yukarıdaki sınıfların her biri sırayla türlere ayrılmıştır. Güç sınıfında dört tane var.

• Orta aritmetik değer- Bu en yaygın SV türüdür. Veri kümesindeki dikkate alınan özniteliğin toplam hacminin, bu kümenin tüm birimleri arasında eşit olarak dağıtıldığının belirlenmesinde ortalama bir terimdir.

  Bu tür alt türlere ayrılmıştır: basit ve ağırlıklı aritmetik SV.

• Ortalama harmonik değer, söz konusu özelliğin karşılıklı değerlerinden hesaplanan basit aritmetik ortalamanın karşılığı olan bir göstergedir.

  Özelliğin ve ürünün bireysel değerlerinin bilindiği ancak frekans verilerinin bilinmediği durumlarda kullanılır.

• Geometrik ortalama, çoğunlukla ekonomik olayların büyüme oranlarının analizinde kullanılır. Belirli bir miktarın bireysel değerlerinin çarpımını toplamdan ziyade değişmeden tutmayı mümkün kılar.

  Aynı zamanda basit ve dengeli olur.

• Kök ortalama kare değeri, çıktının ritmini karakterize eden varyasyon katsayısı gibi göstergelerin bireysel göstergelerinin hesaplanmasında kullanılır.

  Ayrıca, yardımı ile boruların, tekerleklerin ortalama çapları, bir karenin ortalama kenarları ve benzeri rakamlar hesaplanır.

  Diğer tüm ortalama SW türleri gibi, kök ortalama kare basit ve ağırlıklıdır.

Yapısal miktar türleri

Ortalama SW'lere ek olarak, yapısal türler genellikle istatistikte kullanılır. Değişken bir özniteliğin değerlerinin göreli özelliklerini hesaplamak için daha uygundurlar ve iç yapı dağıtım hatları.

Böyle iki tip var.