Į mūsų svetainės „YouTube“ kanalą, kad sužinotumėte apie visas naujas vaizdo įrašų pamokas.

Pirmiausia prisiminkime pagrindines laipsnių formules ir jų savybes.

Skaičiaus sandauga a atsitinka n kartų, šią išraišką galime parašyti kaip a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Galia arba eksponentinės lygtys - tai lygtys, kuriose kintamieji yra laipsniais (arba laipsniais), o pagrindas yra skaičius.

Eksponentinių lygčių pavyzdžiai:

Šiame pavyzdyje skaičius 6 yra pagrindas, jis visada yra apačioje ir kintamasis x laipsnis ar matas.

Pateiksime daugiau eksponentinių lygčių pavyzdžių.
2 x *5=10
16x-4x-6 = 0

Dabar pažiūrėkime, kaip sprendžiamos eksponentinės lygtys?

Paimkime paprastą lygtį:

2 x = 2 3

Tokį pavyzdį galima išspręsti net mintyse. Matyti, kad x=3. Juk norint, kad kairė ir dešinė pusės būtų lygios, vietoj x reikia dėti skaičių 3.
Dabar pažiūrėkime, kaip šis sprendimas turėtų būti priimtas:

2 x = 2 3
x = 3

Norėdami išspręsti šią lygtį, pašalinome tuo pačiu pagrindu(tai yra, deuces) ir surašė, kas liko, tai yra laipsniai. Gavome atsakymą, kurio ieškojome.

Dabar apibendrinkime savo sprendimą.

Eksponentinės lygties sprendimo algoritmas:
1. Reikia patikrinti tas pats ar lygties pagrindai dešinėje ir kairėje. Jei priežastys nėra vienodos, ieškome variantų, kaip išspręsti šį pavyzdį.
2. Kai pagrindai yra tokie patys, prilyginti laipsnį ir išspręskite gautą naują lygtį.

Dabar išspręskime keletą pavyzdžių:

Pradėkime nuo paprasto.

Kairėje ir dešinėje pusėse esantys pagrindai yra lygūs skaičiui 2, o tai reiškia, kad galime atmesti pagrindą ir sulyginti jų laipsnius.

x+2=4 Paaiškėjo paprasčiausia lygtis.
x = 4 - 2
x=2
Atsakymas: x=2

Šiame pavyzdyje matote, kad bazės skiriasi, tai yra 3 ir 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Pirmiausia perkeliame devynis į dešinę pusę, gauname:

Dabar reikia padaryti tuos pačius pagrindus. Žinome, kad 9=3 2 . Naudokime laipsnio formulę (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Gauname 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 dabar matote, kad kairėje ir dešinioji pusė pagrindai yra vienodi ir lygūs trims, vadinasi, galime juos atmesti ir sulyginti laipsnius.

3x=2x+16 gavo paprasčiausią lygtį
3x-2x=16
x=16
Atsakymas: x=16.

Pažiūrėkime į tokį pavyzdį:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Visų pirma, mes žiūrime į pagrindus, pagrindai skiriasi dviem ir keturiais. Ir mes turime būti tokie patys. Keturkampį transformuojame pagal formulę (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Taip pat naudojame vieną formulę a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Pridėkite prie lygties:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Dėl tų pačių priežasčių pateikėme pavyzdį. Bet mums trukdo kiti skaičiai 10 ir 24. Ką su jais daryti? Atidžiau pažiūrėjus matosi, kad kairėje pusėje kartojame 2 2x, štai atsakymas - galime dėti 2 2x iš skliaustų:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Apskaičiuokime išraišką skliausteliuose:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Visą lygtį padaliname iš 6:

Įsivaizduokite 4 = 2 2:

2 2x \u003d 2 2 bazės yra vienodos, išmeskite jas ir sulyginkite laipsnius.
2x \u003d 2 pasirodė pati paprasčiausia lygtis. Padaliname iš 2, gauname
x = 1
Atsakymas: x = 1.

Išspręskime lygtį:

9 x - 12*3 x +27 = 0

Transformuokime:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Gauname lygtį:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Pagrindai mums vienodi, lygūs trims Šiame pavyzdyje matyti, kad pirmasis trigubas turi laipsnį du kartus (2x) nei antrasis (tik x). Tokiu atveju galite nuspręsti pakeitimo metodas. Skaičius su mažiausiu laipsniu pakeičiamas taip:

Tada 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Lygtyje su t visus laipsnius pakeičiame x:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Gauname kvadratinę lygtį. Išsprendžiame per diskriminantą, gauname:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Atgal į kintamąjį x.

Mes priimame t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Tai yra,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Rasta viena šaknis. Ieškome antrojo, nuo t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Atsakymas: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Svetainėje galite skiltyje PADĖTI NUSPRĘSTI užduoti dominančius klausimus, mes tikrai jums atsakysime.

Prisijunkite prie grupės

eksponentinės lygtys. Kaip žinote, USE apima paprastas lygtis. Kai kuriuos jau apsvarstėme - tai logaritminiai, trigonometriniai, racionalūs. Čia yra eksponentinės lygtys.

Neseniai paskelbtame straipsnyje dirbome su eksponentinėmis išraiškomis, tai bus naudinga. Pačios lygtys išsprendžiamos paprastai ir greitai. Reikia tik žinoti eksponentų savybes ir ... Apie taiToliau.

Išvardijame eksponentų savybes:

Bet kurio skaičiaus nulinė galia yra lygi vienetui.

Šios savybės pasekmė:

Dar šiek tiek teorijos.

Eksponentinė lygtis yra lygtis, kurios eksponente yra kintamasis, tai yra, ši lygtis yra tokios formos:

f(x) išraiška, kurioje yra kintamasis

Eksponentinių lygčių sprendimo būdai

1. Dėl transformacijų lygtis gali būti sumažinta iki formos:

Tada taikome turtą:

2. Gavus formos lygtį a f (x) = b panaudojus logaritmo apibrėžimą, gauname:

3. Dėl transformacijų galite gauti formos lygtį:

Taikomas logaritmas:

Išreikškite ir suraskite x.

Užduotyse NAUDOTI parinktis pakaks naudoti pirmąjį metodą.

Tai yra, reikia pavaizduoti kairę ir dešinę dalis kaip laipsnius su ta pačia baze, o tada sulyginame rodiklius ir išsprendžiame įprastą tiesinę lygtį.

Apsvarstykite lygtis:

Raskite 4 lygties šaknį 1-2x = 64.

Būtina įsitikinti, kad kairėje ir dešinėje dalyse yra eksponentinės išraiškos su ta pačia baze. 64 galime pavaizduoti kaip 4 laipsniu 3. Gauname:

4 1–2x = 4 3

1 - 2x = 3

– 2x = 2

x = - 1

Egzaminas:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Atsakymas: -1

Raskite 3 lygties šaknį x-18 = 1/9.

Yra žinoma, kad

Taigi 3 x-18 = 3 -2

Bazės yra lygios, galime sulyginti rodiklius:

x - 18 \u003d - 2

x = 16

Egzaminas:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Atsakymas: 16

Raskite lygties šaknį:

Pavaizduokime trupmeną 1/64 kaip ketvirtį nuo trečiojo laipsnio:

2x - 19 = 3

2x = 22

x = 11

Egzaminas:

Atsakymas: 11

Raskite lygties šaknį:

Pavaizduokime 1/3 kaip 3 -1, o 9 kaip 3 kvadratą, gausime:

(3–1) 8–2x = 3 2

3–1∙ (8–2х) = 3 2

3 -8 + 2x \u003d 3 2

Dabar galime sulyginti rodiklius:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

Egzaminas:

Atsakymas: 5

26654. Raskite lygties šaknį:

Sprendimas:

Atsakymas: 8,75

Iš tiesų, kad ir kokia galia pakeltume teigiamą skaičių a, neigiamo skaičiaus jokiu būdu negalime gauti.

Bet kuri eksponentinė lygtis po atitinkamų transformacijų redukuojasi iki vienos ar kelių paprastų.Šiame skyriuje taip pat apsvarstysime kai kurių lygčių sprendimą, nepraleiskite to!Tai viskas. Sėkmės tau!

Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas.

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.

Paskaita: „Eksponentinių lygčių sprendimo metodai“.

1 . eksponentinės lygtys.

Lygtys, kurių eksponente yra nežinomųjų, vadinamos eksponentinėmis lygtimis. Paprasčiausia iš jų yra lygtis ax = b, kur a > 0 ir a ≠ 1.

1) b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Jei b > 0, naudojant funkcijos monotoniškumą ir šaknies teoremą, lygtis turi vieną šaknį. Norint jį rasti, b turi būti pavaizduotas kaip b = aс, ax = bс ó x = c arba x = logab.

Eksponentinės lygtys, atlikus algebrines transformacijas, sukuria standartines lygtis, kurios išsprendžiamos šiais metodais:

1) sumažinimo iki vienos bazės būdas;

2) vertinimo metodas;

3) grafinis metodas;

4) naujų kintamųjų įvedimo būdas;

5) faktorizavimo metodas;

6) eksponentinės – galios lygtys;

7) eksponentinis su parametru.

2 . Sumažinimo iki vieno pagrindo metodas.

Metodas remiasi tokia laipsnių savybe: jei du laipsniai yra lygūs ir jų bazės lygios, tai jų eksponentai yra lygūs, t.y., reikia bandyti lygtį redukuoti į formą

Pavyzdžiai. Išspręskite lygtį:

1 . 3x=81;

Įsivaizduok dešinioji pusė lygtis formoje 81 = 34 ir parašykite lygtį, lygiavertę pradinei 3 x = 34; x = 4. Atsakymas: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> ir eikite į rodiklių lygtį 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Atsakymas: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 0,2, 0,04, √5 ir 25 yra 5 laipsniai. Panaudokime tai ir pakeiskime pradinę lygtį taip:

, iš kur 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, iš kurio randame sprendimą x = -1. Atsakymas: -1.

5. 3x = 5. Pagal logaritmo apibrėžimą x = log35. Atsakymas: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Perrašykime lygtį į 32x+4,22x+4 = 32x.2x+8, t.y..png" width="181" height="49 src="> Taigi x - 4 =0, x = 4. Atsakymas: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Naudodamiesi laipsnių savybėmis, rašome lygtį forma e x+1 = 2, x =1. Atsakymas: 1.

Užduočių bankas Nr.1.

Išspręskite lygtį:

Testo numeris 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) be šaknų
	1) 7;1 2) be šaknų 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

2 testas

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) be šaknų 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Vertinimo metodas.

Šaknies teorema: jei funkcija f (x) didėja (mažėja) intervale I, skaičius a yra bet kokia šio intervalo f reikšmė, tada lygtis f (x) = a intervale I turi vieną šaknį.

Sprendžiant lygtis įvertinimo metodu, naudojama ši teorema ir funkcijos monotoniškumo savybės.

Pavyzdžiai. Išspręskite lygtis: 1. 4x = 5 - x.

Sprendimas. Perrašykime lygtį į 4x + x = 5.

1. jei x \u003d 1, tada 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 yra tiesa, tada 1 yra lygties šaknis.

Funkcija f(x) = 4x didėja R, o g(x) = x didėja R => h(x)= f(x)+g(x) didėja R kaip didėjančių funkcijų suma, taigi x = 1 yra vienintelė lygties 4x = 5 – x šaknis. Atsakymas: 1.

2.

Sprendimas. Perrašome lygtį į formą .

1. jei x = -1, tai , 3 = 3-tiesa, taigi x = -1 yra lygties šaknis.

2. įrodyti, kad jis yra unikalus.

3. F(x) = - mažėja R, o g(x) = - x - mažėja R => h(x) = f(x) + g(x) - mažėja R, nes suma mažėjančių funkcijų . Taigi pagal šaknies teoremą x = -1 yra vienintelė lygties šaknis. Atsakymas: -1.

Užduočių bankas Nr.2. išspręsti lygtį

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Naujų kintamųjų įvedimo metodas.

Metodas aprašytas 2.1 skyriuje. Naujo kintamojo įvedimas (pakeitimas) dažniausiai atliekamas po lygties sąlygų transformacijų (supaprastinimo). Apsvarstykite pavyzdžius.

Pavyzdžiai. R valgymo lygtis: 1. .

Perrašykime lygtį kitaip: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Sprendimas. Perrašykime lygtį kitaip:

Pažymėkite https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> – netinka.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> yra neracionali lygtis. Atminkite, kad

Lygties sprendimas yra x = 2,5 ≤ 4, taigi 2,5 yra lygties šaknis. Atsakymas: 2.5.

Sprendimas. Perrašykime lygtį į formą ir abi puses padalinkime iš 56x+6 ≠ 0. Gauname lygtį

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, taigi..png" width="118" height="56">

Kvadratinės lygties šaknys – t1 = 1 ir t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Sprendimas . Perrašome lygtį į formą

ir atkreipkite dėmesį, kad tai yra vienalytė antrojo laipsnio lygtis.

Padalinkite lygtį iš 42x, gausime

Pakeiskite https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Atsakymas: 0; 0.5.

3 užduočių bankas. išspręsti lygtį

b)

G)

3 testas su atsakymų pasirinkimu. Minimalus lygis.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) -log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) be šaknų 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) be šaknų 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Testas #4 su atsakymų pasirinkimu. Bendras lygis.

A1	1) 2; 1 2) ½; 0 3) 2; 0 4) 0
А2 2x – (0,5) 2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) be šaknų

5. Faktorizacijos metodas.

1. Išspręskite lygtį: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , iš kur

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Sprendimas. Išimkime 6x kairėje lygties pusėje ir 2x dešinėje. Gauname lygtį 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Kadangi 2x >0 visiems x, galite padalyti abi šios lygties puses iš 2x, nebijodami prarasti sprendinių. Gauname 3x = 1 x = 0.

3.

Sprendimas. Lygtį išsprendžiame faktoringo būdu.

Mes pasirenkame dvinario kvadratą

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 yra lygties šaknis.

Lygtis x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

6 testas Bendras lygis.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3; 4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Eksponentinės – galios lygtys.

Prie eksponentinių lygčių pridedamos vadinamosios eksponentinės galios lygtys, t.y. (f(x))g(x) = (f(x))h(x) formos lygtys.

Jei žinoma, kad f(x)>0 ir f(x) ≠ 1, tai lygtis, kaip ir eksponentinė, sprendžiama sulyginant eksponentus g(x) = f(x).

Jei sąlyga neatmeta galimybės, kad f(x)=0 ir f(x)=1, tai sprendžiant eksponentinės galios lygtį turime atsižvelgti į šiuos atvejus.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Sprendimas. x2 +2x-8 - prasminga bet kuriam x, nes daugianomas, todėl lygtis yra lygiavertė aibei

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Eksponentinės lygtys su parametrais.

1. Kokioms parametro p reikšmėms turi lygtis 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) vienintelis sprendimas?

Sprendimas. Įveskime pokytį 2x = t, t > 0, tada (1) lygtis bus t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

(2) lygties diskriminantas yra D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

(1) lygtis turi unikalų sprendimą, jei (2) lygtis turi vieną teigiamą šaknį. Tai įmanoma šiais atvejais.

1. Jei D = 0, tai yra, p = 1, tada (2) lygtis bus t2 – 2t + 1 = 0, taigi t = 1, todėl (1) lygtis turi unikalų sprendimą x = 0.

2. Jei p1, tai 9(p – 1)2 > 0, tai (2) lygtis turi dvi skirtingas šaknis t1 = p, t2 = 4p – 3. Sistemų aibė tenkina uždavinio sąlygą

Sistemose pakeitę t1 ir t2, turime

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Sprendimas. Leisti būti tada (3) lygtis bus t2 – 6t – a = 0. (4)

Raskime parametro a reikšmes, kurioms bent viena (4) lygties šaknis tenkina sąlygą t > 0.

Įveskime funkciją f(t) = t2 – 6t – a. Galimi šie atvejai.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} kvadratinis trinaris f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

2 atvejis. (4) lygtis turi unikalų teigiamą sprendimą, jei

D = 0, jei a = – 9, tada (4) lygtis bus tokia: (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

3 atvejis. (4) lygtis turi dvi šaknis, bet viena iš jų netenkina nelygybės t > 0. Tai įmanoma, jei

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Taigi, esant a 0 lygtis (4) turi vieną teigiamą šaknį . Tada (3) lygtis turi unikalų sprendimą

Dėl< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

jeigu< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
jei a = – 9, tai x = – 1;

jei a  0, tada

Palyginkime (1) ir (3) lygčių sprendimo būdus. Atkreipkite dėmesį, kad sprendžiant (1) lygtį ji buvo sumažinta iki kvadratinė lygtis, kurio diskriminantas yra visas kvadratas; taigi pagal kvadratinės lygties šaknų formulę buvo iš karto apskaičiuojamos (2) lygties šaknys, o tada dėl šių šaknų padarytos išvados. (3) lygtis redukuota į kvadratinę lygtį (4), kurios diskriminantas nėra tobulas kvadratas, todėl sprendžiant (3) lygtį patartina naudoti teoremas apie kvadratinio trinalio šaknų vietą ir grafinis modelis. Atkreipkite dėmesį, kad (4) lygtį galima išspręsti naudojant Vieta teoremą.

Išspręskime sudėtingesnes lygtis.

3 užduotis. Išspręskite lygtį

Sprendimas. ODZ: x1, x2.

Pristatykime pakaitalą. Tegu 2x = t, t > 0, tada dėl transformacijų lygtis bus t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Raskite a reikšmes, kurioms bent viena šaknis lygtis (*) tenkina sąlygą t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Atsakymas: jei a > - 13, a  11, a  5, tai jei a - 13,

a = 11, a = 5, tada nėra šaknų.

Bibliografija.

1. Guzejevas edukacinių technologijų pagrindai.

2. Guzejevo technologija: nuo recepcijos iki filosofijos.

M. „Vadovas“ 1996 Nr.4

3. Guzejevas ir organizacinės ugdymo formos.

4. Guzejevas ir integralios ugdymo technologijos praktika.

M. „Liaudies švietimas“, 2001 m

5. Guzejevas iš pamokos – seminaro formų.

Matematika mokykloje Nr.2, 1987, 9 - 11 p.

6. Selevko edukacinės technologijos.

M. „Liaudies švietimas“, 1998 m

7. Epiševos moksleiviai mokosi matematikos.

M. „Švietimas“, 1990 m

8. Ivanovas rengti pamokas – dirbtuves.

Matematika 6 mokykloje, 1990, p. 37-40.

9. Smirnovo matematikos mokymo modelis.

Matematika 1 mokykloje, 1997, p. 32-36.

10. Tarasenko praktinio darbo organizavimo būdai.

Matematika 1 mokykloje, 1993, p. 27-28.

11. Apie vieną iš individualaus darbo rūšių.

Matematika 2 mokykloje, 1994, 63 - 64 p.

12. Chazankinas Kūrybiniai įgūdžiai moksleiviai.

Matematika 2 mokykloje, 1989, p. dešimt.

13. Scanavi. Leidykla, 1997 m

14. ir kt.. Algebra ir analizės pradžia. Didaktinė medžiaga dėl

15. Krivonogovo matematikos užduotys.

M. „Rugsėjo pirmoji“, 2002 m

16. Čerkasovas. Vadovas aukštųjų mokyklų studentams ir

stojant į universitetus. „A S T – spaudos mokykla“, 2002 m

17. Zhevnyak stojantiesiems į universitetus.

Minskas ir RF „Apžvalga“, 1996 m

18. Raštu D. Pasiruošimas matematikos egzaminui. M. Rolfas, 1999 m

19. ir kt.. Mokymasis spręsti lygtis ir nelygybes.

M. „Intelektas – centras“, 2003 m

20. ir kt. Mokomoji medžiaga, skirta pasirengti E G E.

M. „Intelektas – centras“, 2003 ir 2004 m

21 ir kt. CMM variantai. Rusijos Federacijos gynybos ministerijos bandymų centras, 2002, 2003 m

22. Goldbergo lygtys. „Kvantas“ Nr.3, 1971 m

23. Volovičius M. Kaip sėkmingai dėstyti matematiką.

Matematika, 1997 Nr.3.

24 Okunev už pamoką, vaikai! M. Švietimas, 1988 m

25. Yakimanskaya - orientuotas ugdymas mokykloje.

26. Liimets dirba pamokoje. M. Žinios, 1975 m

Pavyzdžiai:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Kaip išspręsti eksponentines lygtis

Sprendžiant bet kurią eksponentinę lygtį, mes stengiamės ją pateikti į formą \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \), tada pereiname prie rodiklių lygybės, tai yra:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Pavyzdžiui:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Svarbu! Remiantis ta pačia logika, tokiam perėjimui keliami du reikalavimai:
- numeris in kairė ir dešinė turi būti vienodi;
- laipsniai į kairę ir į dešinę turi būti „gryni“, tai yra, neturėtų būti daugybos, dalybos ir pan.

Pavyzdžiui:

Norėdami pateikti lygtį į formą \(a^(f(x))=a^(g(x))\) ir naudojami.

Pavyzdys . Išspręskite eksponentinę lygtį \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Sprendimas:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Žinome, kad \(27 = 3^3\). Turėdami tai omenyje, mes transformuojame lygtį.
\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Pagal šaknies savybę \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) gauname, kad \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Be to, naudojant laipsnio savybę \((a^b)^c=a^(bc)\, gauname \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Taip pat žinome, kad \(a^b a^c=a^(b+c)\). Pritaikius tai kairėje pusėje, gauname: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1,5 + x-1) = 3^ (x + 0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Dabar atsiminkite, kad: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Ši formulė taip pat gali būti naudojama išvirkščia pusė: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Tada \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Pritaikę savybę \((a^b)^c=a^(bc)\) dešinėje pusėje, gauname: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		O dabar pas mus bazės lygios ir nėra trukdančių koeficientų ir pan. Taigi galime pereiti.
		Pavyzdys . Išspręskite eksponentinę lygtį \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) Sprendimas: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Vėlgi, mes naudojame laipsnio savybę \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) priešinga kryptimi. \(4^x4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Dabar atsiminkite, kad \(4=2^2\). \((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\) Naudodami laipsnio savybes transformuojame: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\) Atidžiai žiūrime į lygtį ir matome, kad pakeitimas \(t=2^x\) pasiūlo čia save. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Tačiau radome reikšmes \(t\) ir mums reikia \(x\). Grįžtame prie X, atlikdami atvirkštinį pakeitimą. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Paverskite antrąją lygtį naudodami neigiamos galios savybę... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...ir spręskite iki atsakymo. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Atsakymas : \(-1; 1\). Lieka klausimas – kaip suprasti, kada kurį metodą taikyti? Tai ateina su patirtimi. Tuo tarpu jūs to neuždirbote, naudokitės bendra rekomendacija spręsti sudėtingas problemas – „jei nežinai, ką daryti – daryk, ką gali“. Tai yra, paieškokite, kaip iš principo galite transformuoti lygtį, ir pabandykite tai padaryti – o jei ji pasirodys? Svarbiausia yra atlikti tik matematiškai pagrįstas transformacijas. eksponentinės lygtys be sprendinių Pažvelkime į dar dvi situacijas, kurios dažnai glumina studentus: - teigiamas laipsnio skaičius lygus nuliui, pavyzdžiui, \(2^x=0\); - teigiamas laipsnio skaičius yra lygus neigiamam skaičiui, pavyzdžiui, \(2^x=-4\). Pabandykime tai išspręsti brutalia jėga. Jei x yra teigiamas skaičius, tada, kai x auga, visa galia \(2^x\) tik augs: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Taip pat praeityje. Yra neigiami x. Prisimindami savybę \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), patikriname: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Nepaisant to, kad su kiekvienu žingsniu skaičius mažėja, jis niekada nepasieks nulio. Taigi mūsų neišgelbėjo ir neigiamas laipsnis. Mes darome logišką išvadą: Teigiamas bet kurios laipsnio skaičius išliks teigiamu skaičiumi. Taigi, abi aukščiau pateiktos lygtys neturi sprendinių. eksponentinės lygtys su skirtingais pagrindais Praktikoje kartais yra eksponentinės lygtys su skirtingi pagrindai, neredukuojami vienas į kitą ir tuo pačiu su tais pačiais rodikliais. Jie atrodo taip: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), kur \(a\) ir \(b\) yra teigiami skaičiai. Pavyzdžiui: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Tokias lygtis galima nesunkiai išspręsti padalijus iš bet kurios lygties dalių (dažniausiai dalijant iš dešinės pusės, tai yra iš \ (b ^ (f (x)) \). Padalyti galite taip, nes teigiama skaičius yra teigiamas bet kokiu laipsniu (tai yra, mes nedalijame iš nulio.) Gauname: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Pavyzdys . Išspręskite eksponentinę lygtį \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Sprendimas: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Čia mes negalime penkių paversti trimis arba atvirkščiai (bent jau nenaudodami). Taigi negalime pasiekti formos \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Tuo pačiu metu rodikliai yra vienodi. Padalinkime lygtį iš dešinės pusės, tai yra iš \(3^(x+7)\) (galime tai padaryti, nes žinome, kad trigubas jokiu laipsniu nebus lygus nuliui). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Dabar atsiminkite savybę \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) ir naudokite ją iš kairės priešinga kryptimi. Dešinėje mes tiesiog sumažiname trupmeną. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Atrodė, kad negerėjo. Tačiau atminkite kitą laipsnio savybę: \(a^0=1\), kitaip tariant: "bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus \(1\)". Taip pat yra priešingai: „vienetą galima pavaizduoti kaip bet kurį skaičių, padidintą iki nulio laipsnio“. Mes naudojame tai, kad pagrindas dešinėje būtų toks pat kaip ir kairėje. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Atsikratome pamatų. Rašome atsakymą. Atsakymas : \(-7\). Kartais rodiklių „vienodumas“ nėra akivaizdus, ​​tačiau sumaniai panaudojus laipsnio savybes ši problema išsprendžiama. Pavyzdys . Išspręskite eksponentinę lygtį \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Sprendimas: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Lygtis gan liūdnai atrodo... Ne tik bazių nesumažės iki vienodo skaičiaus (septyni nebus lygūs \(\frac(1)(3)\)), bet ir skiriasi rodikliai... Tačiau naudokime kairįjį eksponentą deuce. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Turėdami omenyje savybę \((a^b)^c=a^(b c)\) , transformuokite kairėje: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Dabar, prisimindami neigiamos galios savybę \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), transformuojame dešinėje: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Aleliuja! Taškai vienodi! Veikdami pagal mums jau pažįstamą schemą, nusprendžiame prieš atsakydami. Atsakymas : \(2\).

Kas yra eksponentinė lygtis? Pavyzdžiai.

Taigi, eksponentinė lygtis... Naujas unikalus eksponatas mūsų bendroje įvairiausių lygčių parodoje!) Kaip ir beveik visada, bet kurio naujo matematinio termino raktinis žodis yra atitinkamas jį apibūdinantis būdvardis. Taigi ir čia. Pagrindinis žodis termine „eksponentinė lygtis“ yra žodis "demonstracinis". Ką tai reiškia? Šis žodis reiškia, kad nežinomasis (x) yra bet kokio laipsnio atžvilgiu. Ir tik ten! Tai nepaprastai svarbu.

Pavyzdžiui, šios paprastos lygtys:

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Ar net šie monstrai:

2 sin x = 0,5

Prašau nedelsiant atkreipti dėmesį į vieną svarbų dalyką: į pagrindu laipsniai (apačioje) - tik skaičiai. Bet į rodikliai laipsniai (viršuje) – daugybė išraiškų su x. Visiškai bet kokia.) Viskas priklauso nuo konkrečios lygties. Jei staiga, be rodiklio (tarkim, 3 x \u003d 18 + x 2), lygtyje kažkur kitur pasirodys x, tada tokia lygtis jau bus lygtis mišrus tipas . Tokios lygtys neturi aiškių sprendimo taisyklių. Todėl šioje pamokoje mes jų nenagrinėsime. Mokinių džiaugsmui.) Čia nagrinėsime tik „gryna“ forma eksponencines lygtis.

Paprastai tariant, net ir grynos eksponentinės lygtys ne visais atvejais ir ne visada yra aiškiai išsprendžiamos. Tačiau tarp daugybės eksponentinių lygčių yra tam tikrų tipų kuriuos galima ir reikia spręsti. Būtent šių tipų lygtis mes apsvarstysime kartu su jumis. O pavyzdžius būtinai išspręsime.) Taigi įsitaisome patogiai ir – kelyje! Kaip ir kompiuterių „šaulių“, mūsų kelionė eis per lygius.) Nuo elementaraus iki paprasto, nuo paprasto iki vidutinio ir nuo vidutinio iki sudėtingo. Pakeliui jūsų lauks ir slaptas lygis – nestandartinių pavyzdžių sprendimo gudrybės ir metodai. Tokių, apie kuriuos neskaitysi daugumoje mokyklinių vadovėlių... Na, o pabaigoje, žinoma, yra galutinis viršininkas namų darbų pavidalu.)

0 lygis. Kokia yra paprasčiausia eksponentinė lygtis? Paprasčiausių eksponentinių lygčių sprendimas.

Pirmiausia pažvelkime į kai kuriuos atvirus pradinius dalykus. Jūs turite kažkur pradėti, tiesa? Pavyzdžiui, ši lygtis:

2 x = 2 2

Net ir be jokių teorijų, remiantis paprasta logika ir sveiku protu, aišku, kad x = 2. Kitaip niekaip, tiesa? Jokia kita x reikšmė nėra gera... Dabar atkreipkime dėmesį į tai sprendimo įrašasši nuostabi eksponentinė lygtis:

2 x = 2 2

X = 2

Kas mums atsitiko? Ir atsitiko štai kas. Mes, tiesą sakant, ėmėme ir ... tiesiog išmetėme tuos pačius pagrindus (du)! Visiškai išmestas. Ir, kas patinka, pataikyk tiesiai į akis!

Taip, iš tikrųjų, jei eksponentinės lygties kairėje ir dešinėje yra tas pats skaičiai bet kokiu laipsniu, tada šiuos skaičius galima atmesti ir tiesiog sulyginti eksponentus. Matematika leidžia.) Ir tada galima atskirai dirbti su rodikliais ir išspręsti daug paprastesnę lygtį. Tai puiku, tiesa?

Čia yra pagrindinė bet kokios (taip, tiksliai bet kurios!) eksponentinės lygties sprendimo idėja: naudojant identiškas transformacijas, būtina užtikrinti, kad kairė ir dešinė lygtyje būtų tas pats baziniai skaičiai įvairių laipsnių. Ir tada jūs galite saugiai pašalinti tuos pačius pagrindus ir sulyginti eksponentus. Ir dirbkite su paprastesne lygtimi.

Ir dabar mes prisimename geležinę taisyklę: galima pašalinti tuos pačius pagrindus, jei ir tik tada, kai lygtyje kairėje ir dešinėje baziniai skaičiai yra išdidžioje vienatvėje.

Ką tai reiškia nuostabioje izoliacijoje? Tai reiškia be jokių kaimynų ir koeficientų. paaiškinu.

Pavyzdžiui, lygtyje

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Jūs negalite pašalinti trynukų! Kodėl? Nes kairėje turime ne tik vienišus tris laipsnius, bet dirbti 3 3 x-5 . Papildomas trigubas trukdo: koeficientas, supranti.)

Tą patį galima pasakyti ir apie lygtį

5 3 x = 5 2 x +5 x

Čia irgi visos bazės vienodos – penkios. Bet dešinėje mes neturime nė vieno laipsnio penkių: yra laipsnių suma!

Trumpai tariant, mes turime teisę pašalinti tas pačias bazes tik tada, kai mūsų eksponentinė lygtis atrodo taip ir tik taip:

af (x) = a g (x)

Tokio tipo eksponentinė lygtis vadinama paprasčiausias. Arba moksliškai, kanoninis . Ir kad ir kokia būtų iškreipta lygtis prieš mus, mes, vienaip ar kitaip, ją sumažinsime iki tokios paprastos (kanoninės) formos. Arba tam tikrais atvejais agregataišios rūšies lygtys. Tada mūsų paprasčiausia lygtis gali būti bendras vaizdas perrašyti taip:

F(x) = g(x)

Štai ir viskas. Tai bus lygiavertė transformacija. Tuo pačiu metu absoliučiai bet kokios išraiškos su x gali būti naudojamos kaip f(x) ir g(x). Nesvarbu.

Galbūt ypač smalsus studentas paklaus: kodėl mes taip lengvai ir paprastai atmetame tuos pačius pagrindus kairėje ir dešinėje ir sulyginame eksponentus? Intuicija yra intuicija, bet staiga kažkokioje lygtyje ir dėl kokių nors priežasčių šis požiūris pasirodys klaidingas? Ar visada legalu mėtyti tuos pačius pagrindus? Deja, už griežtą matematinį atsakymą į tai palūkanos Klausti jums reikia pakankamai giliai ir rimtai įsigilinti bendroji teorijaįrenginio ir funkcijų elgseną. Ir kiek konkrečiau – reiškinyje griežtas monotoniškumas. Visų pirma, griežtas monotoniškumas eksponentinė funkcijay= a x. Nes tai eksponentinė funkcija ir jo savybėmis grindžiamas eksponentinių lygčių sprendimas, taip.) Išsamus atsakymas į šį klausimą bus pateiktas atskiroje specialioje pamokoje, skirtoje sudėtingų nestandartinių lygčių sprendimui naudojant skirtingų funkcijų monotoniškumą.)

Išsamiai paaiškinti šį klausimą dabar reiškia tik ištraukti vidutinio moksleivio smegenis ir anksčiau laiko išgąsdinti sausa ir sunkia teorija. Aš to nedarysiu.) Šiuo metu mūsų pagrindinė užduotis yra Išmokite spręsti eksponentines lygtis! Pats paprasčiausias! Todėl tol, kol neprakaituosime ir drąsiai išmesime tas pačias priežastis. Tai yra gali, laikykis mano žodžio!) Ir tada jau sprendžiame ekvivalentinę lygtį f (x) = g (x). Paprastai jis yra paprastesnis nei pradinis eksponentinis.

Žinoma, daroma prielaida, kad žmonės jau žino, kaip išspręsti bent , ir lygtis, jau be x rodikliuose.) Kas dar nežino kaip, drąsiai uždarykite šį puslapį, eikite atitinkamomis nuorodomis ir užpildykite senos spragos. Priešingu atveju jums bus sunku, taip ...

Aš tyliu apie neracionalias, trigonometrines ir kitas žiaurias lygtis, kurios taip pat gali atsirasti šalinant bazes. Tačiau neišsigąskite, kol kas atviro alavo laipsniais nesvarstysime: dar per anksti. Mes mokysime tik paprasčiausias lygtis.)

Dabar apsvarstykite lygtis, kurioms reikia papildomų pastangų, kad jas sumažintumėte iki paprasčiausių. Norėdami juos atskirti, pavadinkime juos paprastos eksponentinės lygtys. Taigi pereikime į kitą lygį!

1 lygis. Paprastosios eksponentinės lygtys. Pripažink laipsnius! natūralūs rodikliai.

Pagrindinės taisyklės sprendžiant bet kokias eksponentines lygtis yra laipsnio tvarkymo taisyklės. Be šių žinių ir įgūdžių niekas neveiks. Deja. Taigi, jei kyla problemų su laipsniais, pradžiai esate laukiami. Be to, mums taip pat reikia. Šios transformacijos (net dvi!) yra pagrindas sprendžiant visas matematikos lygtis apskritai. Ir ne tik vitrinos. Taigi, kas pamiršo, pasivaikščiokite ir nuoroda: aš juos užsidėjau ne be priežasties.

Tačiau vien veiksmų su galiomis ir identiškų transformacijų neužtenka. Tai taip pat reikalauja asmeninio stebėjimo ir išradingumo. Mums reikia to paties pagrindo, ar ne? Taigi mes išnagrinėjame pavyzdžius ir ieškome jų aiškia ar užmaskuota forma!

Pavyzdžiui, ši lygtis:

3 2x – 27x +2 = 0

Pirmas žvilgsnis pagrindu. Jie skirtingi! Treji ir dvidešimt septyneri. Tačiau panikuoti ir pulti į neviltį dar anksti. Laikas tai prisiminti

27 = 3 3

Skaičiai 3 ir 27 yra laipsnio giminės! Be to, artimieji.) Todėl mes turime visas teises užrašyti:

27 x +2 = (3 3) x+2

Ir dabar mes sujungiame savo žinias apie veiksmai su galiomis(ir aš jus perspėjau!). Yra tokia labai naudinga formulė:

(am) n = a mn

Dabar, jei paleisite jį kurso metu, paprastai viskas gerai:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3 (x +2)

Pradinis pavyzdys dabar atrodo taip:

3 2 x – 3 3 (x +2) = 0

Puiku, laipsnių pagrindai susilygino. Ko mes siekėme. Pusė darbo atlikta.) O dabar pradedame pagrindinę tapatybės transformaciją – perkeliame 3 3 (x +2) į dešinę. Elementarių matematikos veiksmų niekas neatšaukė, taip.) Gauname:

3 2 x = 3 3 (x + 2)

Kas suteikia mums tokią lygtį? Ir tai, kad dabar mūsų lygtis yra sumažinta į kanoninę formą: kairėje ir dešinėje yra tie patys skaičiai (trigubai) laipsniais. Ir abu trynukai – nuostabioje izoliacijoje. Drąsiai pašaliname trynukus ir gauname:

2x = 3 (x+2)

Mes išsprendžiame tai ir gauname:

X=-6

Tai viskas. Tai yra teisingas atsakymas.)

Ir dabar mes suprantame sprendimo eigą. Kas mus išgelbėjo šiame pavyzdyje? Mus išgelbėjo žinojimas apie trigubo laipsnius. Kaip tiksliai? Mes nustatyta numeris 27 užšifruoti trys! Šis triukas (to paties pagrindo šifravimas pagal skirtingi skaičiai) yra viena populiariausių eksponentinėse lygtyse! Nebent pats populiariausias. Taip, ir taip pat, beje. Štai kodėl stebėjimas ir gebėjimas atpažinti kitų skaičių laipsnius skaičiais yra toks svarbus eksponentinėse lygtyse!

Praktinis patarimas:

Turite žinoti populiarių skaičių galias. Į veidą!

Žinoma, kiekvienas gali pakelti du į septintą laipsnį arba tris į penktą. Ne mano galvoje, taigi bent jau juodraštyje. Bet eksponentinėse lygtyse daug dažniau reikia ne kelti iki laipsnio, o, priešingai, išsiaiškinti, koks skaičius ir kiek slepiasi už skaičiaus, tarkime, 128 ar 243. O tai jau daugiau suprantate, sudėtingesnis nei paprastas eksponentas. Pajuskite skirtumą, kaip sakoma!

Kadangi gebėjimas atpažinti laipsnius veide pravers ne tik šiame, bet ir šiuose lygiuose, štai jums nedidelė užduotis:

Nustatykite, kokios galios ir kokie skaičiai yra skaičiai:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Atsakymai (žinoma, išsibarstę):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Taip taip! Nenustebkite, kad atsakymų yra daugiau nei užduočių. Pavyzdžiui, 2 8, 4 4 ir 16 2 yra 256.

2 lygis. Paprastosios eksponentinės lygtys. Pripažink laipsnius! Neigiami ir trupmeniniai rodikliai.

Šiame lygyje mes jau iki galo panaudojame savo žinias apie laipsnius. Būtent į šį žavų procesą įtraukiame neigiamus ir trupmeninius rodiklius! Taip taip! Turime sukaupti galią, tiesa?

Pavyzdžiui, ši baisi lygtis:

Vėlgi, pirmiausia pažiūrėkite į pagrindus. Pagrindai skirtingi! Ir šį kartą jie nė iš tolo nepanašūs vienas į kitą! 5 ir 0,04... O bazėms panaikinti reikia tų pačių... Ką daryti?

Viskas gerai! Tiesą sakant, viskas yra taip pat, tik ryšys tarp penkių ir 0,04 vizualiai prastai matomas. Kaip mums išeiti? Ir pereikime prie įprastos trupmenos skaičiuje 0,04! Ir ten, matai, viskas susiformuoja.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Oho! Pasirodo, 0,04 yra 1/25! Na, kas galėjo pagalvoti!)

Na, kaip? Dabar lengviau matyti ryšį tarp skaičių 5 ir 1/25? Tai štai kas...

O dabar pagal operacijų taisykles su įgaliojimais neigiamas rodiklis galima parašyti tvirta ranka:

Tai yra puiku. Taigi patekome į tą pačią bazę – penkias. Dabar nepatogų skaičių 0,04 lygtyje pakeičiame 5 -2 ir gauname:

Vėlgi, pagal operacijų su įgaliojimais taisykles dabar galime rašyti:

(5 -2) x -1 = 5 -2 (x -1)

Tik tuo atveju primenu (staiga, kas nežino), kad pagrindinės veiksmų su laipsniais taisyklės galioja bet koks rodikliai! Įskaitant ir neigiamus.) Taigi drąsiai imkite ir padauginkite rodiklius (-2) ir (x-1) pagal atitinkamą taisyklę. Mūsų lygtis gerėja ir gerėja:

Viskas! Be vienišų penketukų laipsniais kairėje ir dešinėje, nieko kito nėra. Lygtis sumažinama iki kanoninės formos. O paskui – raižytu takeliu. Išimame penketukus ir sulyginame rodiklius:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Pavyzdys beveik baigtas. Lieka elementari viduriniųjų klasių matematika - atidarome (teisingai!) skliaustus ir renkame viską kairėje:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Mes išsprendžiame tai ir gauname dvi šaknis:

x 1 = 1; x 2 = 3

Tai viskas.)

Dabar pagalvokime dar kartą. Šiame pavyzdyje vėl turėjome atpažinti tą patį skaičių įvairiais laipsniais! Būtent, norėdami pamatyti užšifruotą penketuką skaičiuje 0,04. Ir šį kartą į neigiamas laipsnis! Kaip mes tai padarėme? Judant – jokiu būdu. Tačiau po perėjimo iš dešimtainė trupmena 0,04 iki paprastosios trupmenos 1/25 viskas buvo paryškinta! Ir tada visas sprendimas praėjo kaip laikrodis.)

Todėl dar vienas žalias praktinis patarimas.

Jei eksponentinėje lygtyje yra dešimtainių trupmenų, tai nuo dešimtainių trupmenų pereiname prie paprastųjų. Paprastose trupmenose daug lengviau atpažinti daugelio populiarių skaičių galias! Po atpažinimo pereiname nuo trupmenų prie laipsnių su neigiamais eksponentais.

Atminkite, kad toks apgaulė eksponentinėse lygtyse pasitaiko labai, labai dažnai! Ir žmogus nėra temoje. Jis žiūri, pavyzdžiui, į skaičius 32 ir 0,125 ir susierzina. Jam nežinoma, kad tai ta pati dviratė, tik in įvairaus laipsnio... Bet jūs jau kalbate apie temą!)

Išspręskite lygtį:

Į! Atrodo, tylus siaubas... Tačiau išvaizda apgauna. Tai pati paprasčiausia eksponentinė lygtis, nepaisant jos bauginančios išvaizda. Ir dabar aš jums tai parodysiu.)

Pirma, mes susiduriame su visais skaičiais, esančiais bazėse ir koeficientuose. Akivaizdu, kad jie skiriasi, taip. Bet vis tiek rizikuojame ir stengiamės juos padaryti tas pats! Pabandykime prieiti tą patį skaičių skirtingais laipsniais. Ir, pageidautina, mažiausio įmanomo skaičiaus. Taigi, pradėkime iššifruoti!

Na, su keturiais iš karto viskas aišku – tai 2 2 . Taigi, jau kažkas.)

Su trupmena 0,25 – dar neaišku. Reikia patikrinti. Mes naudojame praktinius patarimus – pereikite nuo dešimtainio į paprastą:

0,25 = 25/100 = 1/4

Jau daug geriau. Kol kas jau aiškiai matosi, kad 1/4 yra 2 -2. Puiku, o skaičius 0,25 taip pat panašus į dviženklį.)

Kol kas viskas gerai. Tačiau lieka pats blogiausias skaičius - kvadratinė šaknis iš dviejų! Ką daryti su šiuo pipiru? Ar tai taip pat gali būti pavaizduota kaip dviejų galia? Ir kas žino...

Na, mes vėl lipame į savo žinių apie laipsnius lobyną! Šį kartą papildomai susiejame savo žinias apie šaknis. Nuo 9 klasės jūs ir aš turėjome ištverti, kad bet kurią šaknį, jei norite, visada galima paversti laipsniu su trupmena.

Kaip šitas:

Mūsų atveju:

Kaip! Pasirodo, dviejų kvadratinė šaknis yra 2 1/2. Viskas!

Tai gerai! Visi mūsų nepatogūs skaičiai iš tikrųjų pasirodė esąs užšifruotas dvitaškis.) Nesiginčiju, kažkur labai įmantriai užšifruota. Bet mes taip pat didiname savo profesionalumą spręsdami tokius šifrus! Ir tada jau viskas aišku. Skaičius 4, 0,25 ir dviejų šaknį savo lygtyje pakeičiame laipsniu du:

Viskas! Visų laipsnių bazės pavyzdyje tapo vienodos – dvi. Ir dabar naudojami standartiniai veiksmai su laipsniais:

esua n = esu + n

a m:a n = a m-n

(am) n = a mn

Kairėje pusėje gausite:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2 + 2 (5 x -16)

Dešinėje pusėje bus:

Ir dabar mūsų blogio lygtis pradėjo atrodyti taip:

Tiems, kurie nesuprato, kaip tiksliai pasirodė ši lygtis, klausimas nėra susijęs su eksponentinėmis lygtimis. Klausimas apie veiksmus su galiomis. Aš skubiai paprašiau pakartoti tų, kurie turi problemų!

Čia yra finišo linija! Gauta kanoninis požiūris eksponentinė lygtis! Na, kaip? Ar aš jus įtikinau, kad tai nėra taip baisu? ;) Nuimame dvejetus ir sulyginame rodiklius:

Belieka tik išspręsti šią tiesinę lygtį. Kaip? Žinoma, identiškų transformacijų pagalba.) Išspręskite tai, kas jau yra! Abi dalis padauginkite iš dviejų (kad pašalintumėte trupmeną 3/2), perkelkite terminus su X į kairę, be X į dešinę, atveskite panašius, suskaičiuokite – ir būsite laimingi!

Viskas turėtų pasirodyti gražiai:

X=4

Dabar persvarstykime sprendimą. Šiame pavyzdyje mus išgelbėjo perėjimas iš kvadratinė šaknis į laipsnis su rodikliu 1/2. Be to, tik toks gudrus pakeitimas padėjo mums visur pasiekti tą patį pagrindą (deuce), kuris išgelbėjo situaciją! Ir jei ne tai, mes turėtume visas galimybes sustingti amžinai ir niekada nesusidoroti su šiuo pavyzdžiu, taip ...

Todėl nepamirštame ir kitų praktinių patarimų:

Jei eksponentinėje lygtyje yra šaknų, tada nuo šaknų pereiname prie laipsnių su trupmeniniais rodikliais. Labai dažnai tik tokia transformacija paaiškina tolesnę situaciją.

Žinoma, neigiamos ir trupmeninės galios jau yra daug sudėtingesnės nei prigimtinės galios. Bent jau vizualinio suvokimo ir ypač atpažinimo iš dešinės į kairę prasme!

Aišku, kad tiesiogiai pakelti, pavyzdžiui, dvejetą iki -3 ar keturių iki -3/2, nėra tokia didelė problema. Tiems, kurie žino.)

Bet eik, pavyzdžiui, iškart tai supranti

0,125 = 2 -3

Arba

Čia galioja tik praktika ir turtinga patirtis, taip. Ir, žinoma, aiškus vaizdas, Kas yra neigiamas ir trupmeninis rodiklis. Taip pat - praktinių patarimų! Taip, taip, tie žalias.) Tikiuosi, kad jie vis dėlto padės jums geriau orientuotis visoje margoje laipsnių įvairovėje ir žymiai padidins jūsų sėkmės tikimybę! Taigi neapleiskime jų. Aš ne veltui žaliai Kartais rašau.)

Kita vertus, jei tapsite „tu“ net ir turėdami tokias egzotines galias kaip neigiamas ir trupmeninis, tuomet jūsų galimybės sprendžiant eksponenlines lygtis nepaprastai išsiplės ir jūs jau galėsite susidoroti su beveik bet kokio tipo eksponeninėmis lygtimis. Na, jei ne bet kokia, tai 80 procentų visų eksponentinių lygčių – tikrai! Taip, taip, aš nejuokauju!

Taigi, mūsų pirmoji pažinties su eksponentinėmis lygtimis dalis baigėsi. logiška išvada. Ir kaip tarpinę treniruotę tradiciškai siūlau šiek tiek išspręsti savarankiškai.)

1 pratimas.

Kad mano žodžiai apie neigiamų ir trupmeninių galių iššifravimą nebūtų veltui, siūlau pažaisti nedidelį žaidimą!

Išreikškite skaičių kaip dviejų laipsnį:

Atsakymai (netvarkingai):

Įvyko? gerai! Tada atliekame kovinę misiją – sprendžiame pačias paprasčiausias ir paprasčiausias eksponentines lygtis!

2 užduotis.

Išspręskite lygtis (visi atsakymai yra netvarka!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

Atsakymai:

x=16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Įvyko? Tikrai, daug lengviau!

Tada išsprendžiame tokį žaidimą:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x 7 x

Atsakymai:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

Ir šie pavyzdžiai vieno liko? gerai! Jūs augate! Tada čia yra dar keli pavyzdžiai, kuriais galite užkąsti:

Atsakymai:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

Ir ar tai nuspręsta? Na, pagarba! Nuimu kepurę.) Taigi pamoka nenuėjo veltui, o pradinį eksponentinių lygčių sprendimo lygį galima laikyti sėkmingai įvaldytu. Pirmyn – kiti lygiai ir sudėtingesnės lygtys! Ir naujos technikos bei požiūriai. Ir nestandartinių pavyzdžių. Ir naujų staigmenų.) Visa tai – kitoje pamokoje!

Kažkas neveikė? Taigi greičiausiai problemos yra . Arba į . Arba abu vienu metu. Čia aš bejėgis. Dar kartą galiu pasiūlyti tik viena – nepatingėkite ir pasivaikščiokite po nuorodas.)

Tęsinys.)