Как да решаваме експоненциални уравнения и неравенства. експоненциални уравнения

В този урок ще разгледаме решението на по-сложни експоненциални уравнения, припомним основните теоретични положения относно експоненциалната функция.

1. Дефиниция и свойства на експоненциална функция, техника за решаване на най-простите експоненциални уравнения

Припомнете си дефиницията и основните свойства на експоненциална функция. Именно върху свойствата се основава решението на всички експоненциални уравнения и неравенства.

Експоненциална функция е функция от формата , където основата е степента и тук x е независима променлива, аргумент; y - зависима променлива, функция.

Ориз. 1. Графика на експоненциалната функция

Графиката показва нарастващ и намаляващ експонент, илюстриращ експоненциалната функция при основа, по-голяма от едно и по-малка от единица, но по-голяма от нула, съответно.

И двете криви преминават през точката (0;1)

Свойства на експоненциалната функция:

Домейн: ;

Обхват от стойности: ;

Функцията е монотонна, нараства като , намалява като .

Монотонната функция приема всяка от стойностите си с една стойност на аргумента.

Когато аргументът се увеличава от минус до плюс безкрайност, функцията се увеличава от нула, включително, до плюс безкрайност. Напротив, когато аргументът се увеличава от минус до плюс безкрайност, функцията намалява от безкрайност до нула, включително.

2. Решение на типични експоненциални уравнения

Припомнете си как се решават най-простите експоненциални уравнения. Тяхното решение се основава на монотонността на експоненциалната функция. Почти всички сложни експоненциални уравнения се свеждат до такива уравнения.

Равенството на степените с равни основи се дължи на свойството на експоненциалната функция, а именно нейната монотонност.

Метод на решение:

Изравняване на основите на степените;

Приравнете експонентите.

Нека да преминем към по-сложни експоненциални уравнения, нашата цел е да сведем всяко от тях до най-простото.

Нека да се отървем от корена от лявата страна и да намалим градусите до същата основа:

За да се намали сложното експоненциално уравнение до просто, често се използва промяна на променливи.

Нека използваме свойството степен:

Представяме подмяна. Нека тогава. При такава подмяна е очевидно, че y приема стриктно положителни стойности. Получаваме:

Умножаваме полученото уравнение по две и прехвърляме всички членове в лявата страна:

Първият корен не удовлетворява интервала от y стойности, ние го изхвърляме. Получаваме:

Нека приведем градусите до същия индикатор:

Представяме подмяна:

Нека тогава . С тази замяна е очевидно, че y приема строго положителни стойности. Получаваме:

Знаем как да решаваме подобни квадратни уравнения, пишем отговора:

За да сте сигурни, че корените са намерени правилно, можете да проверите според теоремата на Vieta, тоест да намерите сумата от корените и техния продукт и да проверите със съответните коефициенти на уравнението.

Получаваме:

3. Техника за решаване на хомогенни експоненциални уравнения от втора степен

Нека изучим следния важен тип експоненциални уравнения:

Уравненията от този тип се наричат ​​хомогенни от втора степен по отношение на функциите f и g. От лявата му страна има квадратен тричлен по отношение на f с параметър g или квадратен трином по отношение на g с параметър f.

Метод на решение:

Това уравнение може да се реши като квадратно, но е по-лесно да се направи обратното. Трябва да се разгледат два случая:

В първия случай получаваме

Във втория случай имаме право да разделим на най-висока степен и получаваме:

Трябва да въведем промяна на променливите, получаваме квадратно уравнениес уважение до:

Забележете, че функциите f и g могат да бъдат произволни, но ни интересува случаят, когато това са експоненциални функции.

4. Примери за решаване на хомогенни уравнения

Нека преместим всички членове в лявата част на уравнението:

Тъй като експоненциалните функции придобиват строго положителни стойности, имаме право незабавно да разделим уравнението на , без да разглеждаме случая, когато:

Получаваме:

Представяме подмяна: (според свойствата на експоненциалната функция)

Получаваме квадратно уравнение:

Определяме корените според теоремата на Виета:

Първият корен не удовлетворява интервала от y стойности, ние го изхвърляме, получаваме:

Нека използваме свойствата на степента и да намалим всички степени до прости бази:

Лесно е да забележите функциите f и g:

Тъй като експоненциалните функции придобиват строго положителни стойности, имаме право незабавно да разделим уравнението с , без да разглеждаме случая, когато .

Много хора смятат, че експоненциалните неравенства са нещо толкова сложно и неразбираемо. И че да се научиш да ги решаваш е почти голямо изкуство, което само Избраните могат да разберат...

Пълни глупости! Експоненциалните неравенства са лесни. И те винаги са лесни за решаване. Е, почти винаги. :)

Днес ще анализираме тази тема нашироко. Този урок ще бъде много полезен за тези, които тепърва започват да разбират този раздел от училищната математика. Да започнем с прости задачи и да преминем към по-сложни въпроси. Днес няма да има грубост, но това, което ще прочетете, ще бъде достатъчно, за да разреши повечето неравенства във всякакъв вид контрол и самостоятелна работа. И на този изпит също.

Както винаги, нека започнем с определение. Експоненциално неравенство е всяко неравенство, което съдържа експоненциална функция. С други думи, винаги може да се сведе до неравенство на формата

\[((a)^(x)) \gt b\]

Където ролята на $b$ може да бъде обикновено число или може би нещо по-трудно. Примери? Да моля:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ четворна ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(х))). \\\край (подравняване)\]

Мисля, че смисълът е ясен: има експоненциална функция $((a)^(x))$, тя се сравнява с нещо и след това се иска да намери $x$. По-специално клинични случаивместо променливата $x$, те могат да поставят някаква функция $f\left(x \right)$ и по този начин да усложнят малко неравенството. :)

Разбира се, в някои случаи неравенството може да изглежда по-сериозно. Например:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Или дори това:

Като цяло сложността на такива неравенства може да бъде много различна, но в крайна сметка те все пак се свеждат до проста конструкция $((a)^(x)) \gt b$. И ние по някакъв начин ще се справим с такъв дизайн (в особено клинични случаи, когато нищо не идва на ум, логаритмите ще ни помогнат). Ето защо сега ще се научим как да решаваме такива прости конструкции.

Решение на най-простите експоненциални неравенства

Нека разгледаме нещо много просто. Например, ето го:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Очевидно числото вдясно може да се пренапише като степен на две: $4=((2)^(2))$. По този начин първоначалното неравенство се пренаписва в много удобна форма:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

И сега ръцете сърбят да "зачеркнат" двойките, стоящи в основите на градусите, за да получат отговора $x \gt 2$. Но преди да зачеркнем нещо, нека си спомним степените на две:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Както можете да видите, колкото по-голямо е числото в експонентата, толкова по-голямо е изходното число. — Благодаря, Кап! — ще възкликне един от учениците. Случва ли се по различен начин? За съжаление се случва. Например:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ дясно))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

И тук всичко е логично: какво повече степен, толкова повече пъти числото 0,5 се умножава само по себе си (т.е. разделено наполовина). Така получената последователност от числа намалява и разликата между първата и втората поредица е само в основата:

• Ако основата на степен $a \gt 1$, тогава с нарастването на експонентата $n$ числото $((a)^(n))$ също ще расте;
• Обратно, ако $0 \lt a \lt 1$, тогава с нарастването на експонентата $n$ числото $((a)^(n))$ ще намалява.

Обобщавайки тези факти, получаваме най-важното твърдение, на което се основава цялото решение на експоненциалните неравенства:

Ако $a \gt 1$, тогава неравенството $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ е еквивалентно на неравенството $x \gt n$. Ако $0 \lt a \lt 1$, тогава неравенството $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ е еквивалентно на неравенството $x \lt n$.

С други думи, ако основата е по-голяма от единица, можете просто да я премахнете - знакът за неравенство няма да се промени. И ако основата е по-малка от единица, тя също може да бъде премахната, но знакът на неравенството също ще трябва да бъде променен.

Имайте предвид, че не сме разгледали опциите $a=1$ и $a\le 0$. Защото в тези случаи има несигурност. Да предположим как да решим неравенство от вида $((1)^(x)) \gt 3$? Един към всяка степен отново ще даде една - никога няма да получим тройка или повече. Тези. няма решения.

С отрицателните основи е още по-интересно. Помислете например за следното неравенство:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

На пръв поглед всичко е просто:

Правилно? Но не! Достатъчно е да замените няколко четни и няколко нечетни числа вместо $x$, за да се уверите, че решението е грешно. Погледни:

\[\begin(подравняване) & x=4\Стрелка надясно ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Стрелка надясно ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Стрелка надясно ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Стрелка надясно ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(подравняване)\]

Както виждате, знаците се редуват. Но все още има дробни градуси и други калай. Как, например, бихте наредили да преброите $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (минус две, повдигнати до корен от седем)? Няма начин!

Следователно, за определеност, приемаме, че във всички експоненциални неравенства (и уравнения, между другото също) $1\ne a \gt 0$. И тогава всичко се решава много просто:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Стрелка надясно \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\край (подравняване) \вдясно.\]

Като цяло, запомнете още веднъж основното правило: ако основата в експоненциалното уравнение е по-голяма от единица, можете просто да я премахнете; и ако основата е по-малка от единица, тя също може да бъде премахната, но това ще промени знака на неравенството.

Примери за решение

И така, разгледайте няколко прости експоненциални неравенства:

\[\begin(подравняване) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\край (подравняване)\]

Основната задача е една и съща във всички случаи: да се сведат неравенствата до най-простата форма $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Ето какво ще правим сега с всяко неравенство, като в същото време ще повторим свойствата на степените и експоненциалната функция. Така че да тръгваме!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Какво може да се направи тук? Е, вляво вече имаме демонстративен израз - нищо не трябва да се променя. Но вдясно има някаква глупост: дроб и дори корен в знаменателя!

Запомнете обаче правилата за работа с дроби и степени:

\[\begin(подравняване) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\край (подравняване)\]

Какво означава? Първо, можем лесно да се отървем от дроба, като я превърнем в отрицателен показател. И второ, тъй като знаменателят е корен, би било хубаво да го превърнем в степен - този път с дробен степен.

Нека приложим тези действия последователно към дясната страна на неравенството и да видим какво се случва:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left((2)^(\frac( 1)(3))) \вдясно))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=(2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Не забравяйте, че при повишаване на степен на степен, степените на тези степени се събират. И като цяло, когато работите с експоненциални уравнения и неравенства, е абсолютно необходимо да знаете поне най-простите правила за работа с степени:

\[\begin(подравняване) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\край (подравняване)\]

Всъщност, последно правилотоку що кандидатствахме. Следователно нашето първоначално неравенство ще бъде пренаписано, както следва:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Стрелка надясно ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Сега се отърваваме от двойката в основата. Тъй като 2 > 1, знакът на неравенството остава същият:

\[\begin(подравняване) & x-1\le -\frac(1)(3)\rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

Това е цялото решение! Основната трудност изобщо не е в експоненциалната функция, а в компетентната трансформация на оригиналния израз: трябва внимателно и възможно най-бързо да го доведете до най-простата му форма.

Помислете за второто неравенство:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Добре добре. Тук чакаме десетичните дроби. Както съм казвал много пъти, във всякакви изрази със степени трябва да се отървете от десетичните дроби - често това е единственият начин да видите бързо и лесно решение. Ето от какво ще се отървем:

\[\begin(подравняване) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ вдясно))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Стрелка надясно ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\вляво(\frac(1)(10) \вдясно))^(2)). \\\край (подравняване)\]

Пред нас отново е най-простото неравенство, и то дори с основата 1/10, т.е. по-малко от един. Е, премахваме основите, като едновременно променяме знака от "по-малко" на "по-голям" и получаваме:

\[\begin(подравняване) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\край (подравняване)\]

Получихме окончателния отговор: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Моля, имайте предвид, че отговорът е точно множеството и в никакъв случай не е конструкцията на формата $x \lt -1$. Защото формално такава конструкция изобщо не е множество, а неравенство по отношение на променливата $x$. Да, много е просто, но не е отговорът!

Важна забележка. Това неравенство би могло да бъде решено и по друг начин – чрез свеждане на двете части до степен с основа по-голяма от единица. Погледни:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Стрелка надясно ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Стрелка надясно ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

След такава трансформация отново получаваме експоненциално неравенство, но с основа 10 > 1. А това означава, че можете просто да зачеркнете десетката - знакът на неравенството няма да се промени. Получаваме:

\[\begin(подравняване) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\край (подравняване)\]

Както можете да видите, отговорът е абсолютно същият. В същото време се спасихме от необходимостта да сменяме табелата и като цяло да помним някои правила там. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Въпреки това, не позволявайте това да ви плаши. Каквото и да има в индикаторите, технологията за решаване на самото неравенство остава същата. Следователно първо отбелязваме, че 16 = 2 4 . Нека пренапишем първоначалното неравенство, като вземем предвид този факт:

\[\begin(подравняване) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(подравняване)\]

Ура! Получаваме обичайното квадратно неравенство! Знакът не се е променил никъде, тъй като основата е двойка - число, по-голямо от едно.

Функционални нули на числовата права

Подреждаме знаците на функцията $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - очевидно нейната графика ще бъде парабола с разклонения нагоре, така че ще има „плюсове ” отстрани. Интересува ни областта, където функцията е по-малка от нула, т.е. $x\in \left(2;5 \right)$ е отговорът на първоначалния проблем.

И накрая, разгледайте друго неравенство:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Отново виждаме експоненциална функция с десетична дроб в основата. Нека преобразуваме тази дроб в обикновена дроб:

\[\begin(подравняване) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Стрелка надясно \\ & \Стрелка надясно ((0 ,2)^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

В този случай се възползвахме от забележката, направена по-рано - намалихме основата до числото 5\u003e 1, за да опростим по-нататъшното си решение. Нека направим същото с дясната страна:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ вдясно))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Нека пренапишем първоначалното неравенство, като вземем предвид и двете трансформации:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Стрелка надясно ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \вдясно)))\ge ((5)^(-2))\]

Основите от двете страни са еднакви и по-големи от едно. Няма други термини отдясно и отляво, така че просто „зачеркваме“ петиците и получаваме много прост израз:

\[\begin(подравняване) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(подравняване)\]

Тук трябва да внимавате. Много студенти обичат просто да извличат Корен квадратендвете части на неравенството и напишете нещо като $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ Никога не трябва да правите това, тъй като коренът на точен квадрат е модул, и в никакъв случай оригиналната променлива:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\вдясно|\]

Работата с модули обаче не е най-приятното изживяване, нали? Така че няма да работим. Вместо това просто преместваме всички термини наляво и решаваме обичайното неравенство, използвайки интервалния метод:

$\begin(подравняване) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(подравняване)$

Отново отбелязваме получените точки на числовата права и разглеждаме знаците:

Моля, обърнете внимание: точките са засенчени.

Тъй като решавахме нестрого неравенство, всички точки на графиката са засенчени. Следователно отговорът ще бъде: $x\in \left[ -1;1 \right]$ не е интервал, а сегмент.

Като цяло бих искал да отбележа, че няма нищо сложно в експоненциалните неравенства. Значението на всички трансформации, които извършихме днес, се свежда до прост алгоритъм:

• Намерете основата, до която ще намалим всички степени;
• Извършете внимателно трансформации, за да получите неравенство от формата $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Разбира се, вместо променливите $x$ и $n$ може да има много по-сложни функции, но това не променя смисъла;
• Зачеркнете основите на степените. В този случай знакът на неравенството може да се промени, ако основата $a \lt 1$.

Всъщност това е универсален алгоритъм за решаване на всички подобни неравенства. И всичко останало, което ще ви бъде разказано по тази тема, са само конкретни трикове и трикове за опростяване и ускоряване на трансформацията. Ето един от тези трикове, за които ще говорим сега. :)

рационализиращ метод

Помислете за друга група неравенства:

\[\begin(подравняване) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \вдясно))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Е, какво е толкова специално за тях? Освен това са и леки. Въпреки че, спри! Пи повдигнато ли е до степен? Що за глупости?

И как да вдигнем числото $2\sqrt(3)-3$ на степен? Или $3-2\sqrt(2)$? Съставителите на проблемите явно са изпили твърде много "Глог", преди да седнат на работа. :)

Всъщност няма нищо лошо в тези задачи. Нека ви напомня: експоненциалната функция е израз от формата $((a)^(x))$, където основата $a$ е всяко положително число, с изключение на едно. Числото π е положително - това вече го знаем. Числата $2\sqrt(3)-3$ и $3-2\sqrt(2)$ също са положителни - това е лесно да се види, ако ги сравним с нула.

Оказва се, че всички тези „ужасяващи“ неравенства не се различават от простите, обсъдени по-горе? И те го правят по същия начин? Да, абсолютно правилно. Въпреки това, използвайки техния пример, бих искал да разгледам един трик, който спестява много време за самостоятелна работа и изпити. Ще говорим за метода на рационализация. Така че внимание:

Всяко експоненциално неравенство от формата $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ е еквивалентно на неравенството $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ вдясно) \gt 0 $.

Това е целият метод. :) Мислехте ли, че ще има някаква следваща игра? Нищо подобно! Но този прост факт, написан буквално на един ред, значително ще опрости нашата работа. Погледни:

\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Стрелка надолу \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \вдясно) \вдясно)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Тук вече няма експоненциални функции! И не е нужно да помните дали знакът се променя или не. Но те са нов проблем: какво да правя с шибания множител \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Не знаем каква е точната стойност на пи. Капитанът обаче сякаш загатва очевидното:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\приблизително 3,14... \gt 3\Надясно \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

Като цяло, точната стойност на π не ни притеснява много - за нас е важно само да разберем, че във всеки случай $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, т.е. е положителна константа и можем да разделим двете страни на неравенството по нея:

\[\begin(подравняване) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Както можете да видите, в определен момент трябваше да разделим на минус едно и знакът на неравенството се промени. Накрая разширих квадратния тричлен според теоремата на Виета - очевидно е, че корените са равни на $((x)_(1))=5$ и $((x)_(2))=- 1$. Тогава всичко се решава по класическия метод на интервалите:

Решаваме неравенството по метода на интервалите

Всички точки са пробити, защото първоначалното неравенство е строго. Ние се интересуваме от областта с отрицателни стойности, така че отговорът е $x\in \left(-1;5 \right)$. Това е решението. :)

Да преминем към следващата задача:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Тук всичко е просто, защото вдясно има единица. И помним, че единица е всяко число, повдигнато на степен нула. Дори ако това число е ирационален израз, стоящ в основата вляво:

\[\begin(подравняване) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3\вдясно))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \вдясно))^(0)); \\\край (подравняване)\]

Така че нека рационализираме:

\[\begin(подравняване) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Остава само да се справим със знаците. Множителят $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ не съдържа променливата $x$ - това е просто константа и трябва да разберем нейния знак. За да направите това, обърнете внимание на следното:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Стрелка надолу \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \вдясно)=0 \\\край(матрица)\]

Оказва се, че вторият фактор не е просто константа, а отрицателна константа! И когато се раздели на него, знакът на първоначалното неравенство ще се промени на обратното:

\[\begin(подравняване) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Сега всичко става съвсем очевидно. корени квадратен триномвдясно: $((x)_(1))=0$ и $((x)_(2))=2$. Отбелязваме ги на числовата права и разглеждаме знаците на функцията $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Случаят, когато ни интересуват страничните интервали

Интересуват ни интервалите, отбелязани със знак плюс. Остава само да запишете отговора:

Нека да преминем към следващия пример:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ вдясно))^(16-x))\]

Е, тук всичко е съвсем очевидно: основите са степени на едно и също число. Затова ще напиша всичко накратко:

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Стрелка надолу \\ ((\ляво(((3)^(-1)) \вдясно))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrix)\]

\[\begin(подравняване) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ ляв(16-х\дясно))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Както можете да видите, в процеса на трансформациите трябваше да умножим по отрицателно число, така че знакът на неравенството се промени. В самия край отново приложих теоремата на Виета за разлагане на квадратен трином. В резултат на това отговорът ще бъде следният: $x\in \left(-8;4 \right)$ - желаещите могат да проверят това чрез начертаване на числова права, маркиране на точки и знаци за броене. Междувременно ще преминем към последното неравенство от нашия „набор“:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Както можете да видите, основата отново е ирационално число и единицата отново е отдясно. Следователно, ние пренаписваме нашето експоненциално неравенство, както следва:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ вдясно))^(0))\]

Нека рационализираме:

\[\begin(подравняване) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Съвсем очевидно е обаче, че $1-\sqrt(2) \lt 0$, тъй като $\sqrt(2)\приблизително 1.4... \gt 1$. Следователно вторият фактор отново е отрицателна константа, с която и двете части на неравенството могат да бъдат разделени:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \надолу \ \\край(матрица)\]

\[\begin(подравняване) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Променете на друга база

Отделен проблем при решаването на експоненциални неравенства е търсенето на „правилната“ основа. За съжаление, на пръв поглед върху задачата, далеч не винаги е очевидно какво да вземем за основа и какво да направим като степен на тази основа.

Но не се притеснявайте: тук няма магия и "тайни" технологии. В математиката всяко умение, което не може да бъде алгоритмизирано, може лесно да се развие чрез практика. Но за това трябва да решавате проблеми различни ниватрудности. Например, това са:

\[\begin(подравняване) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ край (подравняване)\]

Труден? Страшен? Да, по-лесно е от пиле на асфалта! Да опитаме. Първо неравенство:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Е, тук мисля, че всичко е ясно:

Пренаписваме първоначалното неравенство, намалявайки всичко до основата "две":

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Стрелка надясно \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Да, да, правилно разбрахте: току-що приложих описания по-горе метод на рационализация. Сега трябва да работим внимателно: получихме дробно-рационално неравенство (това е това, което има променлива в знаменателя), така че преди да приравните нещо на нула, трябва да намалите всичко до общ знаменател и да се отървете от постоянния фактор .

\[\begin(подравняване) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(подравняване)\]

Сега използваме стандартния интервален метод. Нули в числителя: $x=\pm 4$. Знаменателят отива на нула само когато $x=0$. Общо има три точки, които трябва да бъдат отбелязани на числовата права (всички точки се изрязват, тъй като знакът за неравенство е строг). Получаваме:

По-сложен случай: три корена

Както може би се досещате, щрихването маркира интервалите, на които изразът отляво приема отрицателни стойности. Следователно два интервала ще влязат в крайния отговор наведнъж:

Краищата на интервалите не са включени в отговора, тъй като първоначалното неравенство е било строго. Не се изисква допълнително потвърждаване на този отговор. В това отношение експоненциалните неравенства са много по-прости от логаритмичните: няма DPV, няма ограничения и т.н.

Да преминем към следващата задача:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Тук също няма проблеми, тъй като вече знаем, че $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, така че цялото неравенство може да се пренапише така:

\[\begin(подравняване) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\Стрелка надясно ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\вляво(-2\вдясно)\вдясно. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(подравняване)\]

Моля, обърнете внимание: в третия ред реших да не губя време за дреболии и веднага да разделя всичко на (−2). Minul влезе в първата скоба (сега има плюсове навсякъде), а двойката беше намалена с постоянен множител. Точно това трябва да направите, когато правите реални изчисления на независими и контролна работа- няма нужда да рисувате директно всяко действие и трансформация.

След това влиза в действие познатият метод на интервалите. Нули на числителя: но няма такива. Защото дискриминантът ще бъде отрицателен. От своя страна знаменателят е настроен на нула само когато $x=0$ — точно както последния път. Е, ясно е, че фракцията ще вземе положителни стойности вдясно от $x=0$ и отрицателни вляво. Тъй като се интересуваме само от отрицателни стойности, крайният отговор е $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

И какво трябва да се направи с десетичните дроби в експоненциални неравенства? Точно така: отървете се от тях, като ги превърнете в обикновени. Тук превеждаме:

\[\begin(подравняване) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Стрелка надясно ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\вляво(\frac(4)(25) \вдясно))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Стрелка надясно ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)(4) \вдясно))^(x)). \\\край (подравняване)\]

Е, какво получихме в основите на експоненциалните функции? И имаме две взаимно реципрочни числа:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Стрелка надясно ((\left(\frac(25)(4) \ дясно))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ ляв(\frac(4)(25) \вдясно))^(-x))\]

По този начин, първоначалното неравенство може да бъде пренаписано, както следва:

\[\begin(подравняване) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \вдясно))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\край (подравняване)\]

Разбира се, при умножаване на степени с една и съща база, техните показатели се сумират, което се случи във втория ред. В допълнение, ние сме представили единицата вдясно, също като мощност в база 4/25. Остава само да се рационализира:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Стрелка надясно \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Имайте предвид, че $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, т.е. вторият фактор е отрицателна константа и когато се раздели на нея, знакът на неравенството ще се промени:

\[\begin(подравняване) & x+1-0\le 0\Стрелка надясно x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right). \\\end(align)\]

И накрая, последното неравенство от текущия "набор":

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

По принцип идеята за решение тук също е ясна: всички експоненциални функции, които съставляват неравенството, трябва да бъдат намалени до основата "3". Но за това трябва да се побъркате малко с корени и степени:

\[\begin(подравняване) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\край (подравняване)\]

Като се имат предвид тези факти, първоначалното неравенство може да бъде пренаписано, както следва:

\[\begin(подравняване) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2)) \вдясно))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\край (подравняване)\]

Обърнете внимание на 2-ри и 3-ти ред на изчисления: преди да направите нещо с неравенство, не забравяйте да го приведете до формата, за която говорихме от самото начало на урока: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Докато имате леви или десни леви множители, допълнителни константи и т.н., не може да се извършва рационализация и "зачеркване" на основанията! Безброй задачи бяха извършени погрешно поради неразбиране на този прост факт. Самият аз постоянно наблюдавам този проблем с моите ученици, когато тепърва започваме да анализираме експоненциални и логаритмични неравенства.

Но да се върнем на нашата задача. Нека се опитаме този път да се справим без рационализация. Запомнете: основата на степента е по-голяма от една, така че тройките могат просто да бъдат зачертани - знакът за неравенство няма да се промени. Получаваме:

\[\begin(подравняване) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(подравняване)\]

Това е всичко. Краен отговор: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Открояване на стабилен израз и замяна на променлива

В заключение предлагам да се решат още четири експоненциални неравенства, които вече са доста трудни за неподготвени ученици. За да се справите с тях, трябва да запомните правилата за работа със степени. По-специално изваждането на общи фактори извън скоби.

Но най-важното е да се научите да разбирате: какво точно може да бъде поставено в скоби. Такъв израз се нарича стабилен - може да се обозначи с нова променлива и по този начин да се отърве от експоненциалната функция. И така, нека разгледаме задачите:

\[\begin(подравняване) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(подравняване)\]

Нека започнем с първия ред. Нека запишем това неравенство отделно:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Обърнете внимание, че $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, така че правилната странаможе да се пренапише:

Забележете, че няма други експоненциални функции освен $((5)^(x+1))$ в неравенството. И като цяло променливата $x$ не се среща никъде другаде, така че нека представим нова променлива: $((5)^(x+1))=t$. Получаваме следната конструкция:

\[\begin(подравняване) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(подравняване)\]

Връщаме се към оригиналната променлива ($t=((5)^(x+1))$), като в същото време помним, че 1=5 0 . Ние имаме:

\[\begin(подравняване) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\край (подравняване)\]

Това е цялото решение! Отговор: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Да преминем към второто неравенство:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Тук всичко е същото. Обърнете внимание, че $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . След това лявата страна може да бъде пренаписана:

\[\begin(подравняване) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \вдясно. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Стрелка надясно ((3)^(x))\ge 9\Стрелка надясно ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Стрелка надясно x\in \left[ 2;+\infty \вдясно). \\\край (подравняване)\]

Приблизително така трябва да съставите решение за реален контрол и независима работа.

Е, нека опитаме нещо по-трудно. Например, ето едно неравенство:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Какъв е проблемът тук? На първо място, основите на експоненциалните функции отляво са различни: 5 и 25. Въпреки това, 25 = 5 2, така че първият член може да бъде трансформиран:

\[\begin(подравняване) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(подравняване )\]

Както можете да видите, отначало доведохме всичко до една и съща основа, а след това забелязахме, че първият член лесно се свежда до втория - достатъчно е просто да разширим степента. Сега можем спокойно да въведем нова променлива: $((5)^(2x+2))=t$ и цялото неравенство ще бъде пренаписано по следния начин:

\[\begin(подравняване) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(подравняване)\]

Отново няма проблем! Краен отговор: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Преминаваме към последното неравенство в днешния урок:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Първото нещо, което трябва да се отбележи, е, разбира се, десетиченв основата на първа степен. Необходимо е да се отървете от него и в същото време да доведете всички експоненциални функции до една и съща основа - числото "2":

\[\begin(подравняване) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Стрелка надясно ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\ляво(((2)^(-1)) \вдясно))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Стрелка надясно ((16)^(x+1,5))=((\ляво((2)^(4)) \вдясно))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(подравняване)\]

Чудесно, направихме първата крачка - всичко доведе до една и съща основа. Сега трябва да подчертаем стабилния израз. Обърнете внимание, че $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Ако въведем нова променлива $((2)^(4x+6))=t$, тогава първоначалното неравенство може да се пренапише, както следва:

\[\begin(подравняване) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\край (подравняване)\]

Естествено може да възникне въпросът: как разбрахме, че 256 = 2 8 ? За съжаление, тук просто трябва да знаете степените на две (и в същото време степените на три и пет). Е, или разделете 256 на 2 (можете да разделите, тъй като 256 е четно число), докато получим резултата. Ще изглежда нещо подобно:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(подравняване )\]

Същото е и с тройката (числа 9, 27, 81 и 243 са нейните правомощия) и със седемте (числата 49 и 343 също би било хубаво да се запомнят). Е, петте също имат „красиви“ степени, които трябва да знаете:

\[\begin(подравняване) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\край (подравняване)\]

Разбира се, всички тези числа, ако желаете, могат да бъдат възстановени в ума, просто като се умножат последователно един по друг. Когато обаче трябва да решите няколко експоненциални неравенства и всяко следващо е по-трудно от предишното, тогава последното нещо, за което искате да помислите, са степените на някои числа там. И в този смисъл тези проблеми са по-сложни от „класическите“ неравенства, които се решават по интервалния метод.

Урок и презентация на тема: "Експоненциални уравнения и експоненциални неравенства"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения! Всички материали се проверяват от антивирусна програма.

Учебни помагала и симулатори в онлайн магазин "Интеграл" за 11 клас
Интерактивно помагало за 9-11 клас "Тригонометрия"
Интерактивно помагало за 10-11 клас "Логаритми"

Дефиниране на експоненциални уравнения

Момчета, изучавахме експоненциални функции, научихме техните свойства и изградихме графики, анализирахме примери за уравнения, в които се срещат експоненциални функции. Днес ще изучаваме експоненциални уравнения и неравенства.

Определение. Уравнения от вида: $a^(f(x))=a^(g(x))$, където $a>0$, $a≠1$ се наричат ​​експоненциални уравнения.

Спомняйки си теоремите, които изучавахме в темата "Експоненциална функция", можем да представим нова теорема:
Теорема. експоненциално уравнение$a^(f(x))=a^(g(x))$, където $a>0$, $a≠1$ е еквивалентно на уравнението $f(x)=g(x)$.

Примери за експоненциални уравнения

Пример.
Решаване на уравнения:
а) $3^(3x-3)=27$.
б) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
в) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Решение.
а) Знаем добре, че $27=3^3$.
Нека пренапишем нашето уравнение: $3^(3x-3)=3^3$.
Използвайки горната теорема, получаваме, че нашето уравнение се свежда до уравнението $3x-3=3$, решавайки това уравнение, получаваме $x=2$.
Отговор: $x=2$.

Б) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Тогава нашето уравнение може да бъде пренаписано: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5 ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2x+0,2=$0,2.
$x=0$.
Отговор: $x=0$.

В) Оригиналното уравнение е еквивалентно на уравнението: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ и $x_2=-3$.
Отговор: $x_1=6$ и $x_2=-3$.

Пример.
Решете уравнението: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
Решение:
Ще извършим последователно поредица от действия и ще приведем двете части на нашето уравнение към едни и същи основи.
Нека извършим серия от операции от лявата страна:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Да преминем към дясната страна:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Оригиналното уравнение е еквивалентно на уравнението:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Отговор: $x=0$.

Пример.
Решете уравнението: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Решение:
Нека пренапишем нашето уравнение: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Нека направим промяна на променливите, нека $a=3^x$.
В новите променливи уравнението ще приеме формата: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ и $a_2=3$.
Нека извършим обратната промяна на променливите: $3^x=-12$ и $3^x=3$.
В последния урок научихме, че експоненциалните изрази могат да приемат само положителни стойности, запомнете графиката. Това означава, че първото уравнение няма решения, второто има едно решение: $x=1$.
Отговор: $x=1$.

Нека направим бележка за начините за решаване на експоненциални уравнения:
1. Графичен метод.Представяме двете части на уравнението като функции и изграждаме техните графики, намираме пресечните точки на графиките. (Използвахме този метод в миналия урок).
2. Принципът на равенството на показателите.Принципът се основава на факта, че два израза с еднакви основи са равни само ако степените (показателите) на тези бази са равни. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Метод за промяна на променливите. Този методтрябва да се използва, ако уравнението при промяна на променливите опростява формата си и е много по-лесно за решаване.

Пример.
Решете системата от уравнения: $\begin (случаи) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end(cases)$.
Решение.
Разгледайте двете уравнения на системата поотделно:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Помислете за второто уравнение:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Нека използваме метода за промяна на променливите, нека $y=2^(x+y)$.
Тогава уравнението ще приеме вида:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ и $y_2=-3$.
Нека да преминем към първоначалните променливи, от първото уравнение получаваме $x+y=2$. Второто уравнение няма решения. Тогава нашата първоначална система от уравнения е еквивалентна на системата: $\begin (случаи) x+3y=0, \\ x+y=2. \end(cases)$.
Извадете второто уравнение от първото, получаваме: $\begin (случаи) 2y=-2, \\ x+y=2. \end(cases)$.
$\begin (случаи) y=-1, \\ x=3. \end(cases)$.
Отговор: $(3;-1)$.

експоненциални неравенства

Да преминем към неравенствата. При решаване на неравенства е необходимо да се обърне внимание на основата на степента. Има два възможни сценария за развитие на събитията при решаване на неравенства.

Теорема. Ако $a>1$, тогава експоненциалното неравенство $a^(f(x))>a^(g(x))$ е еквивалентно на неравенството $f(x)>g(x)$.
Ако $0 a^(g(x))$ е еквивалентен на $f(x)

Пример.
Решете неравенствата:
а) $3^(2x+3)>81$.
б) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) в) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Решение.
а) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Нашето неравенство е еквивалентно на неравенството:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) В нашето уравнение основата със степен по-малка от 1, тогава при замяна на неравенство с еквивалентно е необходимо да се промени знакът.
$2x-4>2$.
$x>3$.

В) Нашето неравенство е еквивалентно на неравенството:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Нека използваме метода на интервалното решение:
Отговор: $(-∞;-5]U)